1、简单的线性规划问题(20分钟35分)1.已知x,y满足约束条件,则z=2x-y的最小值为()A.2B.4C.D.【解析】选C.作出x,y满足约束条件所表示的平面区域,如图所示:由于z=2x-y可得y=2x-z,则-z表示目标函数在y轴上的截距,截距越大,z越小,作直线l:y=2x,然后把直线l向下平移,由题意可得,直线平移过A时,z最小,由,可得A,此时z=.2.已知实数x,y满足,则z=x2+y2的取值范围是()A.5,9B.5,13C.,3D.,【解析】选B.实数x,y满足的可行域如图所示,其中A(1,2),B(2,3),则目标函数z=x2+y2的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方
2、.由图形可知在点B(2,3)取得最大值,zmax=4+9=13.A到原点距离最小,zmin=1+4=5.则z=x2+y2的取值范围为5,13.3.已知x,y满足条件,若z=x+2y的最小值为0,则m=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由x,y满足条件,作出可行域,又目标函数z=x+2y表示直线y=-x+在y轴上的截距的二倍,因此截距越小,z就越小;由图象可得,当直线y=-x+过点A时,在y轴上的截距最小;由解得A(m,1-m),所以zmin=m+2(1-m)=2-m,又z=x+2y的最小值为0,所以2-m=0,解得m=2. 4.(2019全国卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的
3、最大值是.【解析】由约束条件求出可行域(图略),令z=0,可得直线3x-y=0,结合图象可得当直线过点(3,0)时达到最大值,即zmax=9.答案:9【补偿训练】若实数x,y满足,则2x+y的最小值是,最大值是.【解析】画出实数x,y满足的平面区域,得到如图所示阴影部分及其边界,其中A(4,4),B(1,1);设z=F(x,y)=2x+y,将直线l:z=2x+y进行平移,观察y轴上的截距的变化,当l经过点B时,目标函数z达到最小值,且z最小值=F(1,1)=21+1=3.当l经过点A时,目标函数z达到最大值,且z最大值=F(4,4)=24+4=12.答案:3125.已知实数x,y满足条件若z=
4、ax+y的最小值为-8,则实数a=.【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数z=ax+y为y=-ax+z,若a0,可得当直线y=-ax+z过O(0,0)时,z有最小值为0,不合题意;若a0,可得当直线y=-ax+z过C(4,0)时,z有最小值为4a,由4a=-8,得a=-2.答案:-2【补偿训练】实数x,y满足若3x+y的最大值为7,则m=.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).令z=3x+y得y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,由图象可知当3x+y=7时,由解得即B(1,4),同时B也在2x-y+m=0上,解得m=-2x+y=-21+4=2.答案:26.若变量x,y满足约
5、束条件,求:(1)z=的取值范围;(2)z=x-2y+3的最大值.【解析】作出可行域,如图所示,由 ,解得点A(2,0);由,解得点B(1,1);由,解得点C(3,3).(1)z=的取值范围,可看作可行域内的点P(x,y)与定点M(-3,-2)连线的斜率的范围,可知在点A(2,0),C(3,3)处取得最优解,则zmin=,zmax=,所以 z.(2)可知 z=x-2y+3在点A(2,0)处取得最大值,则zmax=2-0+3=5.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知实数x,y满足约束条件则z=x+3y的最大值为()A.4B.2C.D.0【解析】选C.如图,作出可行域,当直
6、线l:x+3y=0平移至经过点A时,z=x+3y取得最大值.2.已知实数x,y满足则z=2x-2y-1的取值范围是()A.B.0,5C.D.【解析】选D.不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=2x-2y-1得y=x-,平移直线y=x-,由平移可知当直线y=x-经过点C时,直线y=x-的截距最小,此时z取得最大值,由解得即C(2,-1),此时z=2x-2y-1=4+2-1=5,也可知当直线y=x-经过点A时,直线y=x-的截距最大,此时z取得最小值,由得即A,代入z=2x-2y-1得z=2-2-1=-,故z.3.已知实数x,y满足约束条件若目标函数z=的最小值为,则正实数a的值为()A
7、.4B.3C.2D.1【解析】选D.目标函数z=1+2,设k=,则k的几何意义是可行域内的点与定点D(-1,-1)的斜率,若目标函数z=的最小值为,即z=1+2k的最小值是,由1+2k=,得k=,即k的最小值是,作出不等式组对应的平面区域如图:由斜率的意义知过D的直线经过B(3a,0)时,直线的斜率最小,此时k=,得3a+1=4,得a=1.4.已知变量x,y满足约束条件则目标函数z=的最大值为()A.B.C.D.【解析】选C.由约束条件作出可行域如图,目标函数z=;联立解得C(3,1),由图可知,点C与定点P(1,0)的连线斜率最小,则z的最大值为=.5.如图所示,目标函数z=mx-y的可行域
8、为四边形OACD(含边界),若存在唯一的点C,使目标函数z取得最小值,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.由z=mx-y知m代表直线的斜率,又kAC=-,kCD=-,又存在唯一的点C,使目标函数z取得最小值.所以-m0)的最大值为5,且取到最大值时的最优解是唯一的,则a的取值是.【解析】由实数x,y满足作出可行域如图:目标函数z=ax+y可化为y=-ax+z,因为y=-ax+z表示斜率为-a的直线,且-a0,由图象可知,当y=-ax+z经过点C时,z取到最大值,点C坐标满足解得C点坐标为(4,3),代入z=ax+y,得到a=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.变量
9、x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.【解析】由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1),由解得B(5,2).(1)因为z=,所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zmin=kOB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域中的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域中的点到原点的距离中,dmin=|OC|=,dmax=|OB|=,所以2z29.10.已知平面区域D由以P(1,2),R(3,5),Q(-3,4)为顶点的三角形内部和边界组成.(1)写出表示区域D的不等式组;(2)设点(x,y)在区域D内变动
10、,求目标函数z=2x+y的最小值;(3)若在区域D内有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=mx+y(m0)取得最小值,求m的值.【解析】(1)首先求三直线PQ,QR,RP的方程.易得直线PQ的方程为x+2y-5=0;直线QR的方程为x-6y+27=0;直线RP的方程为3x-2y+1=0.注意到PQR内任一点(x,y)应在直线RP,PQ的上方,而在QR的下方,故应有(2)由已知得直线:y=-2x+z,z取最小值时,此直线的纵截距最小.作直线l:2x+y=0,将直线l沿区域D平行移动,过点Q时,z有最小值,所以zmin=-2;(3)直线z=mx+y(m0)的斜率为-m,结合可行域可知,直线z=mx+y(m0)与直线PR重合时,线段PR上任意一点都可使z=mx+y(m0)取得最小值,又kPR=,因此,-m=,即m=-.
