1、第2课时等差数列的性质A级必备知识基础练1.(2022安徽亳州高二期末)已知an为等差数列,公差d=2,a2+a4+a6=18,则a5+a7=()A.8B.12C.16D.202.已知等差数列an的公差为d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m=()A.12B.8C.6D.43.在等差数列an中,a1+a4+a7=18,a2+a5+a8=14,则a3+a6+a9的值为()A.10B.9C.8D.74.周髀算经中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,
2、立夏当日日影长为2.5尺,则春分当日日影长为()A.4.5尺B.5尺C.5.5尺D.6尺5.(多选题)若an是等差数列,则下列数列为等差数列的是()A.an2B.an+1-anC.2an+n2D.2an6.已知等差数列an的公差为d,若a1+a2+a3=9,a2+a4=8,则d=,a1=.7.已知公差为正整数的等差数列an满足下列两个条件:a3+a5+a7=93;满足an100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值.B级关键能力提升练8.在等差数列an中,若a2+a4+a6+a8+a10=40,则a7-12a8的值为()A.4B.6C.8D.109.在等差数列an中,a1+a5+a7+a
3、9+a13=100,a6-a2=12,则a1=()A.1B.2C.3D.410.(2022吉林延边二中高二期中)在等差数列an中,若a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则a4+a10等于()A.45B.50C.75D.6011.(多选题)已知等差数列an的公差d0,且满足a1+a2+a3+a101=0,则下列各式一定成立的有()A.a1+a1010B.a2+a100=0C.a3+a1000D.a51=012.(多选题)(2022江西临川一中高二月考)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、
4、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列.问五人各得多少钱?”关于这个问题,下列说法正确的是()A.甲得钱是戊得钱的2倍B.乙得钱比丁得钱多12钱C.甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D.丁、戊得钱的和比甲得钱多13钱13.已知数列an是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+a13+a14=77,则公差d=.14.已知等差数列an是递增数列,且a1=1,a3a5=91,则an的通项公式为,满足am+am+1+am+2+am+5=123的正整数m=.15.已知an是等差数列,且满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=6
5、6,求数列an的通项公式.16.设数列an是等差数列,ap=q,aq=p(pq),试求ap+q.C级学科素养创新练17.(2022江苏启东高二期末)我国古代数学名著孙子算经载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的整数从小到大组成数列an,所有被5除余2的正整数从小到大组成数列bn,把数列an与bn的公共项从小到大排列得到数列cn,则下列说法正确的是()A.a1+b2=c2B.b8-a2=c4C.b22=c8D.a6b2=c9参考答案第2课时等差数列的性质1.Da2+a4+a6=18,3a4=18,解得a4=6.
6、a6=a4+2d=10,a5+a7=2a6=20.故选D.2.B由等差数列性质得,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,则a8=8.又d0,m=8.3.A设b1=a1+a4+a7=18,b2=a2+a5+a8=14,b3=a3+a6+a9.因为an是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=214-18=10,即a3+a6+a9=10.故选A.4.D设十二节气自冬至起的日影长构成的等差数列为an,则立春当日日影长为a4=9.5,立夏当日日影长为a10=2.5,所以春分当日日影长为a7=12(
7、a4+a10)=6.故选D.5.BD设等差数列an的公差为d.对于A,an+12-an2=(an+1-an)(an+an+1)=d(an+an+1)不一定是常数,an2不一定是等差数列;对于B,an+1-an=d,an+1-an为常数列,an+1-an为等差数列;对于C,2an+1+(n+1)2-(2an+n2)=2d+2n+1,2an+n2不是等差数列;对于D,2an+1-2an=2d,2an是等差数列.6.12a1+a2+a3=9,且a1+a3=2a2,a2=3.a2+a4=2a3=8,a3=4,d=a3-a2=4-3=1,a1=a2-d=3-1=2.7.解因为a3+a5+a7=93,所以
8、3a5=93,所以a5=31,所以an=a5+(n-5)d=31+(n-5)d.解不等式31+(n-5)d100,得n69d+5.因为n的最小值是15,所以1469d+515,所以69100,故C错误.故选BD.12.AC依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,a=1,d=-16,a-2d=1-2-16=43,a-d=1-16=76,a+d=1+-16=56,a+2d=1+2-16=23,甲得43钱,乙得76钱,丙得1钱,丁得56钱,戊得23钱.则甲
9、得钱是戊得钱的2倍,故A正确;乙得钱比丁得钱多76-56=13钱,故B错误;甲、丙得钱的和是乙得钱的43+176=2倍,故C正确;丁、戊得钱的和比甲得钱多56+23-43=16钱,故D错误.故选AC.13.23a4+a7+a10=3a7=17,a7=173.a4+a5+a6+a13+a14=11a9=77,a9=7,公差d=a9-a79-7=23.14.an=3n-25设an的公差为d(d0).由条件可得a3a5=(1+2d)(1+4d)=91,解得d=3或d=-154(舍去),因此an=1+(n-1)3=3n-2.am+am+1+am+2+am+5=3(am+am+5)=33m-2+3(m+
10、5)-2=18m+33=123,解得m=5.15.解an是等差数列,且a2+a3+a4=18,3a3=18,a3=6.a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,a2+a4=12,a2a4=11,解得a2=11,a4=1或a2=1,a4=11.当a2=11,a4=1时,a1=16,d=-5,an=a1+(n-1)d=16+(n-1)(-5)=-5n+21.当a2=1,a4=11时,a1=-4,d=5,an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)5=5n-9.综上,an=-5n+21或an=5n-9.16.解设数列an的公差为d,ap=aq+(p-q)d,d=ap-aqp-q=q-pp-q=-1.
11、从而ap+q=ap+qd=q+q(-1)=0,ap+q=0.17.C根据题意,数列an是首项为2,公差为3的等差数列,an=2+3(n-1)=3n-1;数列bn是首项为2,公差为5的等差数列,bn=2+5(n-1)=5n-3.把数列an与bn的公共项从小到大排列得到数列cn,故数列cn是首项为2,公差为15的等差数列,cn=2+15(n-1)=15n-13.a1+b2=2+25-3=9,c2=152-13=17,a1+b2c2,故A错误;b8-a2=58-3-32+1=32,c4=154-13=47,b8-a2c4,故B错误;b22=522-3=107,c8=158-13=107,b22=c8,故C正确;a6b2=(36-1)(52-3)=119,c9=159-13=122,a6b2c9,故D错误.故选C.
