1、名师专题讲座处理带电粒子在磁场中运动临界极值问题的二种方法一、放缩法1适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化(2)轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度 v0 越大，运动半径也越大可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线 PP上2方法界定以入射点 P 为定点，圆心位于 PP直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”(2016南京质检)如图所示，宽度为 d 的匀强有界磁场，磁感应强度为 B，MM和 NN是
2、磁场左右的两条边界线现有一质量为 m，电荷量为 q 的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，45.要使粒子不能从右边界 NN射出，求粒子入射速率的最大值尝试解答 用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如图所示，当其运动轨迹与界线 NN边相切于 P 点时，这时粒子具有最大入射速率 vmax.由图可知 R(1cos45)d，又 Bqvmaxmv2maxR，联立可得：vmax2 2Bqdm.答案 2 2Bqdm跟踪训练1.如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是 cd 边的中点一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间
3、t0 刚好从 c 点射出磁场现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计下列说法中正确的是()A若该带电粒子从 ab 边射出，它经历的时间可能为 t0B若该带电粒子从 bc 边射出，它经历的时间可能为5t03C若该带电粒子从 cd 边射出，它经历的时间为5t03D若该带电粒子从 ad 边射出，它经历的时间可能为2t03解析 作出从 ab 边射出的轨迹、从 bc 边射出的轨迹、从 cd 边射出的轨迹和从 ad 边射出的轨迹.由带正电的粒子从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 刚好从 c 点射出磁场可知，带
4、电粒子在磁场中做圆周运动的周期是 2t0.由图可知，从 ab 边射出经历的时间一定不大于5t06；从 bc 边射出经历的时间一定不大于4t03；从 cd边射出经历的时间一定是5t03；从 ad 边射出经历的时间一定不大于t03，C 正确答案 C2(2015浙江六校联考)如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，其边界 AB、CD 相距为 d，在左边界的 Q 点处有一质量为 m、带电量为 q 的负粒子沿与左边界成 30的方向射入磁场，粒子重力不计求：(1)带电粒子能从 AB 边界飞出的最大速度；(2)若带电粒子能垂直 CD 边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场
5、中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压 U 应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？(3)若带电粒子的速度是(2)中的 3倍，并可以从 Q 点沿纸面各个方面射入磁场，则粒子能打到 CD 边界的距离大小？解析(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 R1，运动速度为 v0.粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几何关系知R1R1cos30d又 qv0Bmv20R1解得 v0Bqdm1cos3022 3Bqdm所以粒子能从左边界射出时的最大速度为vmv022 3Bqdm(2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示由几何关系知R2dcos30由洛伦兹力提供向心力得 Bqv2m
6、v22R2由动能定理得qU012mv22解得 UB2qd22mcos2302B2qd23m所加电压满足的条件 U2B2qd23m粒子转过的圆心角为 60，所用时间为T6，而 T2mBq因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间t2T62m3Bq(3)当粒子速度是(2)中的 3倍时，解得 R32d由几何关系可得粒子能打到 CD 边界的范围如图丙所示粒子打到 CD 边界的距离l22dcos302 3d答案(1)22 3Bqdm(2)U2B2qd23m 2m3Bq(3)2 3d二、滚动圆法1适用条件(1)速度大小不变，方向发生变化粒子源发出的粒子以相同的速率、不同的方向进入匀强磁场时，带电粒子在匀强磁场
7、中运动的轨迹不同，但轨迹半径相同(2)轨迹圆圆心共圆粒子速度大小不变，方向改变，则 rmvqB大小不变，但轨迹的圆心位置变化，相当于圆心在绕着入射点滚动(如图所示)2方法界定以入射点 P 点为固定点，作为轨迹圆的圆心，滚动轨迹圆分析和边界的相交位置确定临界位置，这种方法称为“滚动圆法”(2015长江质检)如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小 B0.60 T，磁场内有一块平面感光板 ab，板面与磁场方向平行，在距 ab 的距离 l16 cm 处，有一个点状的 放射源 S，它向各个方向发射 粒子，粒子的速率都是 v3.0106 m/s.已知 粒子的电荷量与质量之
8、比qm5.0107 C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的 粒子，求 ab 上被 粒子打中的区域的长度尝试解答 粒子从 S 点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中均沿逆时针方向做匀速圆周运动，可求出它们的运动轨道半径 R，由 qvBmv2R，得 Rvq/mB，代入数值得 R10 cm，可见 2RlR.由于朝不同方向发射的 粒子的圆轨迹都过 S，可先考查速度沿负 y 方向的 粒子，其轨迹圆心在 x 轴上的 A1 点，将 粒子运动轨迹的圆心 A1 点开始，沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如图所示由图可知，当轨迹圆的圆心移至A3 点时，粒子运动轨迹与 ab 相交处 P2 到 S 的距离为
9、 2R，P2即为粒子打中 ab 上区域的右边最远点，由题中几何关系得：NP2 2R2l2.当 粒子的轨迹的圆心由 A3 点移至 A4 点的过程中，粒子运动轨迹均会与 ab 相交，当移动 A4 点后将不再与 ab 相交了，这说明圆心位于 A4 点的轨迹圆，与 ab 相切的 P1 点为粒子打中区域的左边最远点可过 A4 点作平行于 ab 的直线 cd，再过 A4 作 ab 的垂线，它与 ab 的交点即为 P1，同样由几何关系可知：NP1 R2lR2.则所求长度为 P1P2NP1NP2，代入数值得 P1P220 cm.答案 20 cm在 xOy 平面内有许多电子(质量为 m、电荷量为e)，从坐标原点
10、 O 不断地以相同的速率 v0 沿不同方向射入第一象限，如图所示现加一个垂直于 xOy 平面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场区域后都能平行于 x 轴并指向 x 轴正方向运动求符合该条件磁场的最小面积尝试解答 本题关键是作好图，由题意可知，电子是以一定速度从原点 O 沿任意方向射入第一象限的，故而可以应用“平移法”，先考查速度沿y 方向的电子，其运动轨迹的圆心在 x轴上的 A1 点，半径为 Rmv0Be 的圆该电子沿圆弧 OP 运动至 P 点时即朝 x 轴的正方向，可见这段圆弧就是符合条件的磁场上边界如果将电子运动轨迹的圆心由 A1 点开始，沿着“轨迹圆心圆”顺时针方向移
11、动，如图中 A2、A3、A4.这些轨迹圆最高点的切线方向均平行于 x 轴并指向 x 轴正方向因此，将“轨迹圆心圆”在第四象限的那一段向上圆弧 A1A2A3A4 平移至 OP 两点，即为符合条件的磁场下边界上、下边界就构成一个叶片形磁场区域，如图中的右下角图，则符合条件的磁场最小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的 2 倍Smin214R212R2 22mv0eB2.答案 22mv0eB2跟踪训练1.如图所示，在屏 MN 的上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里P 为屏上的一个小孔PC与 MN 垂直一群质量为 m、带电荷量为q 的粒子(不计重力)，以相同的速率 v，从 P
12、处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域粒子入射方向在与磁场 B 垂直的平面内，且散开在与PC 夹角为 的范围内，则在屏 MN 上被粒子打中的区域的长度为()A.2mvqBB.2mvcosqBC.2mv1sinqBD.2mv1cosqB解析 如图做出任一方向的轨迹图，利用滚动圆的方式可以看出，沿 PC 方向射入磁场中的带负电的粒子打在 MN上的点离 P 点最远，为 PR2mvBq，沿两边界线射入磁场中的带负电的粒子打在 MN 上的点离 P 点最近，为 PQ2mvBq cos，故在屏 MN 上被粒子打中的区域的长度为 QRPRPQ2mv1cosqB，选项 D 正确答案 D2(2015江南十校联考)如图所
13、示，边界 OA 与 OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界 OA 上有一粒子源 S.某一时刻，从 S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界 OC 射出磁场已知AOC60，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T6(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间为()A.T3B.T2C.2T3D.5T6 解析 由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动由于粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，所对弦
14、长也越短，所以从 S 点作 OC 的垂线 SD，则 SD 为最短弦，可知粒子从 D 点射出时运行时间最短，如图所示根据最短时间为T6，可知OSD 为等边三角形，粒子圆周运动半径 RSD，过 S 点作 OA 垂线交 OC 于 E 点，由几何关系可知 SE2SD，SE 为圆弧轨迹的直径，所以从 E点射出，对应弦最长，运行时间最长，且 tT2，故 B 项正确答案 B3如图所示，半径 R10 cm 的圆形匀强磁场区域边界跟 y 轴相切于坐标系原点 O，磁感强度 B0.332 T，方向垂直于纸面向里在 O 处有一放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为 v3.2106 m/s 的 粒子，已知 粒子质量 m
15、6.641027 kg，电量 q3.21019 C.(1)画出 粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心点轨迹，并说明作图依据；(2)求出 粒子通过磁场空间的最大偏转角；(3)再以过 O 点并垂直于纸面的直线为轴转磁场区域，能使穿过磁场区且偏转角最大的 粒子射到 y 轴正方向上，则圆形磁场区的直径 OA 至少应转过多大角度？解析(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径为 r，由公式FBF 向得qBvmv2r解得 rmvqB0.2 m所以 r2R，粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心点的轨迹如图甲中虚线 l 所示(即以 O 为圆心，r 为半径的半圆弧ABC)(2)粒子在磁场中做圆弧运动的轨迹半径 r 大小一定，欲穿过磁场时偏转角最大，须圆弧轨道所夹的弦最长，如图甲所示(以 O为圆心所对应的 OA 弦最长)sin2Rr12解得 60(3)欲使穿过磁场且偏转最大的 粒子，能射入轴正方向上，必须使从 A 点射出的 粒子和 x 轴正方向的夹角大于90，根据几何关系可知圆形磁场至少应逆时针转过 60，如图乙所示答案(1)见解析图甲(2)60(3)60
