1、核心模块二 不等式专题七 基本不等式基本不等式作为 C 级考点，每年必考，但基本上都是作为工具在其他知识点里面出现年份填空题2017T10应用题中的最值2018T13三角形中边长和的最值2019T7，T19基本不等式的应用目标 1 基本不等式应用于一元函数的最值例 1(1)已知 x12，则函数 y4x22x12x1的最大值是_1 解析：y4x22x12x12x2x112x12x12x112x112x 1，由 x12可得 12x0，根据基本不等式可得(12x)112x2，当且仅当 12x112x，即 x0 时取等号，则 ymax1.点评：对于形如 ycx2dxfaxba0 的分式函数，都可以考虑
2、用基本不等式求最值如本题中分子的配凑比较困难，可以考虑设分母为 t，从而可以将所给函数转化为 yaxbxc 来研究；同样对于形如 yaxbcx2dxf(c0)的分式函数，我们也可以考虑设分子 axbt，将函数转化，然后利用基本不等式或导数处理(2)已知在 ABC 中，AB AC 3CA CB，则 1tanA 1tanB 1tanC的最小值为_132 解析：由ABAC3CACB，tanC3tanA，结合 tanBtan(AC)得 1tanA 1tanB 1tanC3tanA41312tanA，用基本不等式求得最小值为 132.【思维变式题组训练】1.已知函数 f(x)12x 100 x2，则 f
3、(x)的最大值为_25 解析：f(x)12x 100 x212 x2100 x212x2100 x222125025，当且仅当 x2100 x2，即 x5 2时取等号2.已知函数 f(x)x2ax11x1(aR)，若对于任意的 xN*，f(x)3 恒成立，则 a的取值范围是_83，解析：令 f(x)x2ax11x13(xN*)，则(3a)xx28，即 3ax8x.因为 x8x2 84 2，当且仅当 x2 2时取等号又因为 xN*，当 x1时，x8x9；当 x2 时，x8x6；当 x3 时，x8x3830，所以 tansincoscossin 1sinsincossin21tan2tan2112
4、tan 1tan 12 2 24，当且仅当 2tan 1tan，即 tan22 时，等号成立目标 2 给定条件下二元变量的最值问题例 2(1)若 log4(3a4b)log2ab，则 ab 的最小值是_722 3 解析：(1)由 log4(3a4b)log2ab，得 3a4b2ab，则4a3b2，所以ab12(ab)4a3b 1274ba 3ab 724ba 3ab 722 3，当且仅当4ba 3ab，即 a42 3，b2 33 时等号成立，故其最小值是722 3.(2)已知 x0，y0，则2xyx28y2xyx22y2的最大值是_23(2)2xyx28y2xyx22y23x3y4xy3x41
5、0 x2y216y43xy4yxx2y216y2x2103xy4yxxy4yx22.令 txy4yx xy0，则 t4，原式3tt22 3t2t 342423.也可直接换元后求导(3)已知 a，b 均为正数，且 aba2b0，则a24 2ab21b的最小值为_7(3)由 aba2b0 得2a1b1.又 a，b 均为正数，得 22a1b2a1b1，ab2 2，当且仅当 a2b 即 a4，b2 时取“”又因为a24 2ab21ba24 b22a1b a24 b212a24 b21ab1817，当且仅当 a2b 即 a4，b2 时取“”【思维变式题组训练】1.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分
6、别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，则 cosA2cosC 的最大值为_154 3 22 解析：由 a，b，c 成等差数列知，bac2，所以 cosAb2c2a22bc5c3a4c，cosCb2a2c22ab5a3c4a，所以 cosA2cosC5c3a4c5a3c2a154 3a4c3c2a 154 298154 3 22，当且仅当 a22c2 即 a 2c 时取等号2.若实数 x，y 满足 xy3x30 x12，则3x 1y3的最小值为_8 解析：解法 1：因为实数 x，y 满足 xy3x30 x12，所以 y3x3(y3)，所以3x 1y3y3 1y3y3 1y362y3 1y
7、368，当且仅当 y3 1y3，即 y4 时取等号，此时 x37，所以3x 1y3的最小值为 8.解法 2：因为实数 x，y 满足 xy3x30 x12，所以 y3x3(y3)，y33x60，所以3x 1y33x 13x63x6 13x6623x613x668，当且仅当3x6 13x6，即 x37时取等号，此时 y4，所以3x 1y3的最小值为 8.3.若实数 x，y 满足 2x2xyy21，则x2y5x22xy2y2的最大值为_24 解析：由 2x2xyy21，得(xy)(2xy)1.所以 5x22xy2y2(xy)2(2xy)2(2xy)(xy)22(x2y)22，所以x2y5x22xy2
8、y2x2yx2y22.当 x2y0 时，x2yx2y220；当 x2y0 时，x2yx2y221x2y2x2y 24，即 0 x2y5x22xy2y2 24；当 x2y0 时，x2yx2y221x2y2x2y1x2y2x2y 24，即 24x2yx2y220，所以 y10.又因为(x1)(y1)16，所以 x10，所以xy(x1)(y1)2 x1y18，当且仅当 x1y14，即 x5，y3 时等号成立6.设 x0，y0，x2y5，则x12y1xy的最小值为_.4 3 解析：因为 x0，y0，x2y5，所以x12y1 xy2xyx2y1 xy2xy6 xy2 xy3 xy4 3，当且仅当 x3，
9、y1 或 x2，y32时等号成立，故x12y1 xy的最小值为 4 3.7.已知，为锐角，且 tan2t，tan t15，则当 10tan3tan 取得最小值时，的值为_4 解析：因为，为锐角，所以 t0，故 10tan3tan20t t52 44，当且仅当 t10 时取等号，此时 tan15，tan23，tan()15231 2151.又，为锐角，所以 4.8.已知 a，b 为正实数，且(ab)24(ab)3，则1a1b的最小值为_2 2 解析：因为(ab)2(ab)24ab4(ab)34ab，所以 1a1b2abab24ab34abab24ab 4ab8，故1a1b22，当且仅当ab1，a
10、b24 即a 21，b 21时取得等号，所以1a1b的最小值为 2 2.9.已知正实数 a，b 满足 ab1，则2a21a2b24b的最小值为_11 解析：2a21a2b24b2a1a2b4b2(ab)1a4b(ab)ba4ab 72ba4ab 711，当且仅当ba4ab，即a13，b23时取“”，所以2a21a2b24b的最小值为 11.10.已知关于 x 的不等式 ax2bxc0(a，b，cR)的解集为x|3x4，则c25ab的最小值为_4 5 解析：依题意得 a2)的最大值解析：(1)y4x22x12x12x2x112x12x12x112x112x 1，由 x12可得 12x0，根据基本
11、不等式可得(12x)112x2，当且仅当 12x112x，即 x0 时取等号，则 ymax1.(2)设 t x2(t0)，则 xt22.所以 yt2t2112t1t122t1t 24.当且仅当 2t1t，即 t 22 时取“”故当 x32时，ymax 24.12.设二次函数 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数)的导函数为 f(x)对任意 xR，不等式 f(x)f(x)恒成立，求b2a2c2的最大值解析：因为 f(x)2axb，所以 f(x)f(x)，即 ax2(b2a)xcb0 恒成立，故a0，b2a24acb0，即a0，b24ac4a2，故b2a2c24ac4a2a2c2 4ca11c
12、a2.令 tca10.若 t0，则b2a2c20；若 t0，则b2a2c24tt22t24t2t2422 22 22，当且仅当 t 2ca1 且 b24ac4a2 时等号成立.b2a2c2的最大值为 2 22.13.如图所示的矩形区域长 6 m，宽 4 m现欲将矩形区域设计成钢化玻璃舞台，将中间阴影部分设计成可升降的舞台，若区域和区域完全相同，长与宽之比为，区域和区域完全相同，长与宽之比为，1，1，区域和的较短边长分别为 a m 和 b m.(1)试将 a 和 b 用，表示；(2)若 9，当，为何值时可升降舞台的面积最大？并求出最大面积解析：(1)由题意得6ab，4ba，解方程得 a461，b
13、641.(2)设可升降舞台的面积为 S.S64264124612.因为 9，整理得S64264124612249040216824810 402168，当且仅当810 40，当 92时 S 取得最大值为 6，此时 2.答：92，2 时可升降舞台的面积最大为 6 平方米14.如图，射线 OA 和 OB 均为笔直的公路，扇形 OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中 P，Q 分别在射线 OA 和 OB 上经测量得，扇形 OPQ 的圆心角(即POQ)为23、半径为 1 千米，为了方便菜农经营，打算在扇形 OPQ 区域外修建一条公路MN，分别与射线 OA，OB 交于 M，N 两点，并要求 MN 与扇
14、形弧PQ相切于点 S.设POS(单位：rad)，假设所有公路的宽度均忽略不计(1)试将公路 MN 的长度表示为 的函数，并写出 的取值范围；(2)试确定 的值，使得公路 MN 的长度最小，并求出其最小值解析：(1)因为 MN 与扇形弧PQ相切于点 S，所以 OSMN.在 RtOSM 中，因为 OS1，MOS，所以 SMtan.在 RtOSN 中，NOS23，所以 SNtan23 ，所以 MNtantan23 3tan213tan1，其中62.(2)解法 1(基本不等式)因为60.令 t 3tan10，则 tan 33(t1)，所以 MN 33 t4t2.由基本不等式得 MN 33 2t4t2 2 3，当且仅当 t4t，即 t2 时取“”此时 tan 3，由于62，故 3.解法 2(三角函数)MN 3tan213tan1 33sincoscos2332 sin212cos2123sin26 12.因为62，所以62656，故12sin26 1，所以当 sin26 1，即 3时，MNmin31122 3.答：(1)MN 3tan213tan1，其中62；(2)当 3时，MN 的长度最小，为 2 3千米
