1、中数网 2005年普通高等学校招生全国III数学理科（必修+选修）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷球的表面积公式S=4 其中R表示球的半径，球的体积公式V= ，其中R表示球的半径参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CPk(1P)nk 一、选择题：每小题5分，共60分.1已知为第三象限角，则所在的象限是（ ） A第一或第二象限 B第二或第三象限C第一或第三象
2、限 D第二或第四象限2已知过点A(2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（ ）A0 B8 C2 D103在的展开式中的系数是（ ）A14 B14 C28 D284设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为（ ）A B C D5（ ）ABCD6若，则（ ）Aabc Bcba Ccab Dbac7设,且,则（ ）A B CD8=（ ）A B C1 D9已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到 x轴的距离为（ ）A B C D10设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线
3、交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A B C D11不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）A3个 B4个 C6个 D7个12计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则AB=（ ）A6E B72 C5F DB0第卷二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13已知复数 .14已知向量，且A、B、C三点共线，则k= .15设l为平面
4、上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E= .16已知在ABC中，ACB=90，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是 三.解答题：共74分.17(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.18(本小题满分12分)如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是
5、正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD （）证明AB平面VAD； （）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小19（本小题满分12分）ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列， （）求cotA+cotC的值； （）设的值.20(本小题满分12分)在等差数列中，公差的等差中项.已知数列成等比数列，求数列的通项21（本小题满分14分）设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线. （）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； （）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.22（本小题满分12分）已知函数 （）求的单调区间和值域； （）
6、设，函数使得成立，求a的取值范围.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）参考答案一、1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.C 10.C 11.D 12.B二、13、，14、，15、 16、3三、解答题：17解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意.各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件 （）由题意得： P（AB）=P(A)P(B)=0.05P（AC）=P(A)P(C)=0.1P（BC）=P(B)P(C)=0.125解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0
7、.5 所以, 甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 （）记A的对立事件为B的对立事件为，C的对立事件为，则，于是所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.18证明：方法一：（）证明： （）解：取VD的中点E，连结AF，BE，VAD是正三形， AEVD，AE=AB平面VAD， ABAE.又由三垂线定理知BEVD. 因此，tanAEB=即得所求二面角的大小为方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. （）证明：不防设作A（1，0，0），则B（1，1，0）， ， 由得ABVA. 又ABAD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直. AB平面VAD
8、. （）解：设E为DV中点，则，由因此，AEB是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为19解：（）由由b2=ac及正弦定理得 于是 （）由由余弦定理 b2=a2+c22ac+cosB 得a2+c2=b2+2accosB=5.20解：依题设得 ，整理得d2=a1d， 得 所以， 由已知得d，3d，k1d，k2d，kndn是等比数列.由所以数列 1，3，k1，k2，kn，也是等比数列，首项为1，公比为等比数列，即得到数列21解：（）两点到抛物线的准线的距离相等.抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，上述条件等价于， 上述条件等价于 即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F.（II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点N的坐标为，则由即得l在y轴上截距的取值范围为（）.22解：（I）对函数求导，得 令解得当变化时，的变化情况如下表：0（0，）（，1）10+43所以，当时，是减函数；当时，是增函数.当时，的值域为4，3.（II）对函数求导，得因为，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又即时有任给，存在使得，则即解式得 ；解式得又，故a的取值范围为第 7 页 共 7 页
