1、4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲要求 1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内_绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的_；分类：角按旋转方向分为_、_和_(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S_ 一条射线图形正角负角零角|k360，kZ(3)象限角：使角的顶点与重合，角的始边与_重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 2弧度制(1)定义：把长度等于_长的弧所对的圆心
2、角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个_，负角的弧度数是一个_，零角的弧度数是_ x轴的非负半轴正数负数0半径原点(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的_，_和_ 正弦线余弦线正切线(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦【思考辨析】判断下 面结论是 否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()【答案】(1)(2)(3)(4)(5
3、)(3)角 终边上点 P 的坐标为12，32，那么 sin 32，cos 12；同理角 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sin y0，cos x0.()(4)0，2，则 tan sin .()(5)为第一象限角，则 sin cos 1.()1角870的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限【解析】由8701 080210，知870角和210角终边相同，在第三象限【答案】C 2下列与94 的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k 45(kZ)Bk36094(kZ)Ck360315(kZ)Dk 54(kZ)【答案】C【解析】与94 的终边相同的角可以写成 2
4、k94(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案 C 正确【答案】C 3(教材改编)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2C.2sin 1D2sin 1【解析】设圆的半径为 r，则 sin 11r，r 1sin 1，2 弧度的圆心角所对弧长为 2r 2sin 1.4(2017潍坊二模)集合 k 4 k 2，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()【答案】C【解析】当 k2n(nZ)时，2n4 2n2，此时 表示的范围与4 2 表示的范围一样；当 k2n1(nZ)时，2n4 2n2，此时 表示的范围与4 2 表示的范围一样 5函数 y 2
5、cos x1的定义域为_【解析】2cos x10，cos x12.由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)x2k3，2k3(kZ)【答案】2k 3，2k 3(kZ)题型一 角的集合表示及象限角的判定【例 1】(1)给出下列四个命题：34 是第二象限角；43 是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1 个 B2 个C3 个D4 个(2)(易错题)若角 是第二象限角，则2 是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角【解析】(1)34 是第三象限角，故错误；43 3，从而43 是第三象限角，故正确；40036040，从而正确；
6、31536045，从而正确【答案】(1)C(2)C(2)是第二象限角，2 2k2k，kZ，4 k2 2 k，kZ.当 k 为偶数时，2 是第一象限角；当 k 为奇数时，2 是第三象限角【方法规律】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0，2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限 跟踪训练 1(1)设集合 Mxxk218045，kZ，Nxxk4 18045，kZ，那么()AMNBMNCNMDMN(2)已
7、知角 45，在区间720，0内与角 有相同终边的角 _【解析】(1)方法一 由于 Mxxk2 18045，kZ，45，45，135，225，Nxxk418045，kZ，45，0，45，90，135，180，225，显然有 MN，故选 B.方法二 由于 M 中，xk218045k9045(2k1)45，2k1 是奇数；【答案】(1)B(2)675或315 而 N 中，xk418045k4545(k1)45，k1 是整数，因此必有 MN，故选 B.(2)由终边相同的角关系知 k36045，kZ，取 k2，1，得 675或 315.题型二 弧度制的应用【例2】已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l
8、.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】(1)603 rad，lR3 10103(cm)(2)由题意得2RR1012R24 R1，8(82舍去)，R4，12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l2R20.所以 S12lR12(202R)R10RR2(R5)225，所以当 R5 时，S 取得最大值 25，此时 l10，2.【方法规律】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最
9、大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 跟踪训练 2(1)将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.3B.6C3D6(2)已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为_cm 和圆心角为_弧度时，扇形面积最大【解析】(1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故 A、B 不正确；又因为拨快 10 分钟，故应转过的角为圆周的16.即为1623.(2)设扇形圆心角为，半径为 r，则 2r|r4，|4r2.【答案】(1)C(2)1 2 S 扇形12|r22rr2(r1)21，当
10、r1 时，(S 扇形)max1，此时|2.题型三 三角函数的概念 命题点1 三角函数定义的应用【例3】(1)(2017山东日照一中测试)角的终边经过点P(sin 10，cos 10)，则的可能取值为()A10B80 C10D80(2)点 P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动23 弧长到达Q 点，则 Q 点的坐标为()A.12，32B.32，12C.12，32D.32，12【解析】(1)sin 100，cos 100，点 P(sin 10，cos 10)是第四象限的点，r|OP|（sin 10）2（cos 10）21，cos xrsin 10cos 80cos(80)，sin yrcos
11、 10sin 80sin(80)，【答案】(1)D(2)A 满足条件的 80k360(kZ)，综合选项，得 80.(2)由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足 xcos23 12，ysin23 32.命题点2 三角函数值的符号【例4】(1)(2017 湖南衡阳八中第一次月考)已知点P(cos，tan)在第三象限，则角的终边在()A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限(2)设 是第三象限角，且cos2 cos2，则2 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【解析】(1)由题意得cos 0，tan 0cos 0，sin 0，所以角 的终边在第二象限 故选 B.【答案】(
12、1)B(2)B(2)由 是第三象限角，知2 为第二或第四象限角，cos2 cos2，cos2 0，综上知2 为第二象限角 命题点 3 由角的终边上一点 P 的坐标求三角函数值【例 5】如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为45，则 cos _【解析】因为 A 点纵坐标 yA45，且 A 点在第二象限，又因为圆 O 为单位圆，所以 A 点横坐标 xA35，由三角函数的定义可得 cos 35.【答案】35【方法规律】(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.
13、(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围 跟踪训练3(1)已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在()Ax轴上By轴上 C直线yx上D直线yx上(2)已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2，3B(2，3)C2，3)D2，3【答案】(1)A(2)A【解析】(1)|cos|1，角 的终边在 x 轴上(2)cos 0，sin 0，角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上 3a
14、90，a20，2a3.故选 A.思想与方法系列 6数形结合思想在三角函数中的应用【典例】(1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点 P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于 C(2，1)时，OP 的坐标为_(2)(2017 合 肥 调 研)函 数 y lg(3 4sin2x)的 定 义 域 为_【思维点拨】(1)点 P 转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找 P 点坐标和三角形边长的关系(2)求函数的定义域可转化为解不等式 32 sin x 32，利用三角函数线可直观清晰得出 x 的范围【解析】(1)如图所示，过
15、圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA2，即圆心角PCA2，则PCB22，所以|PB|sin22 cos 2，|CB|cos22 sin 2，所以 xP2|CB|2sin 2，yP1|PB|1cos 2，所以OP(2sin 2，1cos 2)(2)34sin2x0，sin2x34，32 sin x 32.利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，xk3，k3(kZ)【温馨提醒】(1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位
16、圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置.【答案】(1)(2sin 2，1cos 2)(2)k 3，k 3(kZ)方法与技巧 1在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值 2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧 失误与防范 1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
