1、第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 学 习 目 标核 心 素 养 1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形(重点)2根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线(重点、难点)1通过学习椭圆的几何性质，培养学生直观想象的数学素养.2借助椭圆的几何性质，培养数学运算及逻辑推理的数学素养.自 主 预 习 探 新 知 1椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 图形 标准方程x2a2y2b21(ab0)_1(ab0)y2a2x2b2范围_对称性对称轴为，对称中心为 顶点_轴长短轴长|B1
2、B2|，长轴长|A1A2|焦点_ 焦距|F1F2|axa且bybbxb且aya原点坐标轴A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)2a2b2cF1(0，c)，F2(0，c)F1(c,0)，F2(c,0)2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的(2)性质：离心率 e 的范围是当 e 越接近于 1 时，椭圆；当 e 越接近于时，椭圆就越接近于圆0离心率(0,1)越扁思考：(1)离心率 e 能否用ba表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？提示(1)e2c2a2a2b2a21ba2，所以 e1ba
3、2.(2)不是离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同1椭圆 6x2y26 的长轴的端点坐标是()A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0)C(6，0)，(6，0)D(0，6)，(0，6)D 椭圆方程可化为 x2y261，则长轴的端点坐标为(0，6)2椭圆x225y2161 的离心率是()A34B 541C45D35D a5，b4，c a2b23，e35.3若点 P(m，n)是椭圆x24y231 上任意一点，则 m 的取值范围是_，n 的取值范围是_2,2 3，3 由题意可知m24 n23 1，由m24 1 可知2m2；同理，由n23 1 可知 3n 3.合 作 探 究 释 疑 难 根据
4、椭圆的方程研究其几何性质【例 1】设椭圆方程 mx24y24m(m0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标解 椭圆方程可化为x24y2m1.(1)当 0m4 时，a2，b m，c 4m，eca 4m212，m3，b 3，c1，椭圆的长轴的长和短轴的长分别是 4,2 3，焦点坐标为 F11，0，F21，0，顶点坐标为 A12，0，A22，0，B1(0，3)，B2(0，3)(2)当 m4 时，a m，b2，c m4，eca m4m 12，解得 m163，a4 33，c2 33，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为8 33，4，焦点坐标为 F10，2 33，F20，2 33，顶
5、点坐标为A10，4 33，A20，4 33，B1(2,0)，B2(2,0)用标准方程研究几何性质的步骤 1将椭圆方程化为标准形式.2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出 a，b，c.,4写出椭圆的几何性质.提醒：长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 a，b，c 的两倍.跟进训练1(1)椭圆 x2y2m1 的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为()A14 B12 C2 D4(2)对椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)和椭圆 C2：y2a2x2b21(ab0)的几何性质的表述正确的是()A范围相同B顶点坐标相同C焦点坐标相同D离心率相同(1)A(2)D(1
6、)由题意可知 a21，b2m，由 a2b 可知 14m，m14.故选 A(2)结合椭圆的几何性质可知，C1 与 C2 的离心率相同，均为1b2a2，故选 D利用几何性质求椭圆的标准方程【例 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率 e 63；(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8；(3)经过点 M(1,2)，且与椭圆x212y261 有相同的离心率思路点拨(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一：先求离心率，根据离心率找到 a 与 b 的关系，再用待定系数法求解 法二：设与椭圆x2
7、12y261 有相同离心率的椭圆方程为x212y26k1(k10)或y212x26k2(k20)解(1)若焦点在 x 轴上，则 a3，eca 63，c 6，b2a2c2963.椭圆的方程为x29y231.若焦点在 y 轴上，则 b3，eca1b2a21 9a2 63，解得 a227.椭圆的方程为y227x291.所求椭圆的方程为x29y231 或y227x291.(2)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)如图所示，A1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为x232y2161.(3)法一：由
8、题意知 e21b2a212，所以b2a212，即 a22b2.设所求椭圆的方程为 x22b2y2b21 或 y22b2x2b21.将点 M(1,2)代入椭圆方程得 12b2 4b21 或 42b2 1b21，解得 b292或 b23.故所求椭圆方程为x29y2921 或y26x231.法二：设所求椭圆方程为x212y26k1(k10)或y212x26k2(k20)，将点 M 的坐标代入可得 11246k1 或 41216k2，解得 k134，k212，故x212y2634或y212x2612，即所求椭圆的标准方程为x29y2921 或y26x231.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采
9、用待定系数法，其步骤是：1确定焦点位置；2设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程；3根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程组求参数，列方程组时常用的关系式有 b2a2c2，eca等.跟进训练2若中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()Ax281y2721Bx281y291Cx281y2451Dx281y2361A 由 2a18 得 a9，又 ac2c，则 c3，b2a2c281972，椭圆方程为x281y2721.求椭圆的离心率 探究问题1已知 F 是椭圆的左焦点，A，B 分别是其在 x 轴正半轴和 y轴
10、正半轴上的顶点，P 是椭圆上的一点，且 PFx 轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？提示：由 OPAB 可知，kOPkAB，又 A(a,0)，B(0，b)，Pc，b2a.故bab2ac，即 bc，a 2c.eca 22.2设 A，B 是椭圆 C：x23y2m1 长轴的两个端点，若 P 是曲线C 上的动点，当 P 在何处时APB 最大？若 C 上存在点 P 满足APB120，如何求椭圆的离心率？提示：当 P 位于短轴的端点处时，APB 最大 如图 1，要使存在 P 使得APB120，只需APB120，即APO60，tanAPO 3，即 3m 3，03，m9.由 e1b2a213m可知 e63，1.
11、综上可知离心率 e63，1.图 2【例 3】设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为()A 36 B13C12 D 33思路点拨 设|PF2|m，在 RtPF1F2 中，依题意可求得|PF1|，|F1F2|，进而求得离心率 D 设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|3m，故离心率 eca2c2a|F1F2|PF1|PF2|3m2mm 33.1(变条件)若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“PF2F175，PF1F245”，求 C 的离心率解 在PF1F2 中，PF
12、1F245，PF2F175，F1PF260，设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，椭圆的长轴长为 2a，则在PF1F2 中，有msin 75nsin 452csin 60，mnsin 75sin 452csin 60，eca2c2asin 60sin 75sin 45 6 22.2(变条件，变设问)若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“C 上存在点 P，使F1PF2 为钝角”，求 C 的离心率的取值范围解 由题意，知 cb，c2b2.又 b2a2c2，c2a2c2，即 2c2a2.e2c2a212，e 22.故 C 的离心率的取值范围为22，1.求椭圆离心率的值或范围的两
13、种方法(1)直接法：若已知 a，c 的值，可直接利用公式 eca求解；若已知 a，b 或 b，c 的值，可借助于 a2b2c2 求出 c，a 的值，再代入公式 eca求解(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2b2c2，转化为关于 c，a 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围课 堂 小 结 提 素 养 1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆
14、的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用1判断正误(1)椭圆x2a2y2b21(ab)的长轴长为 a，短轴长为 b.()(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆()(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称()答案(1)(2)(3)2椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A(13,0)B(0，10)C(0，13)D(0，69)D 由题意可知 a13，b10，c 69，又焦点在 y 轴上，故选 D3如图，直线 l：x2y20 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B，该椭圆的离心率为()A15B25C 55D2 55D 由题意可知 F1(2,0)，B(0,1)，即 c2，b1，a2b2c25，eca 252 55，故选 D4椭圆y2a2x2b21(ab0)的两焦点为 F1(0，c)，F2(0，c)(c0)，离心率 e 32，焦点到椭圆上点的最短距离为 2 3，求椭圆的方程解 由题意知ca 32，ac2 3，解得a2，c 3，所以 b2a2c21，所以所求椭圆的方程为y24x21.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
