1、四川省雅安市2021届高三数学下学期5月第三次诊断考试试题 理(本试卷满分150分，答题时间120分钟)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名。考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸。试题卷上答题无效。3.考试结束后，将答题卡收回。一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.若复数z满足z(12i)3i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为A.
2、1i B.1i C.1i D.1i2.设集合Ay|y2x1，xR，Bx|x210，则ABA.1，1) B.(1，1) C.(1，1 D.1，13.已知sin()，则cos(2)A. B. C. D.4.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶(我国南宋时期的数学家，四川人)算法的一个实例，若输入n，x的值分别为3，4，则输出v的值为A.25 B.100 C.400 D.65.已知变量x，y之间的线性回归方程为0.7x10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示：则下列说法错误的是A.变量x，y之间呈负相关关系 B.可以预测，当x30时，10.7C.m4 D.该回归直线必过点(9，4)6.在多项
3、式(x1)(2x1)4的展开式中，含x2项的系数为A.32 B.32 C.16 D.167.已知定义在区间(0，)上的函数f(x)2x2m，g(x)3lnxx，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为A.2 B.5 C.1 D.08.函数ya3x(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在双曲线(m0，n0)上，则mn的最大值为A.6 B.4 C.2 D.19.已知函数f(x)2sin(x)(A0，0，|0)的焦点为F，点A、B为抛物线上的两个动点，且AFB60，过弦AB的中点M作拋物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为A. B. C.2 D.112.设k0，若存在正实数
4、x，使得不等式log4xk2kx10成立，则k的最大值为A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)将答案填在答题卡相应的横线上。13.在平面直角坐标系下，若x，y满足约束条件，则其可行域的面积为 。14.在ABC中，已知向量(1，3)，(2，t)，|1，则角B的余弦值为 。15.已知圆C：(x2)2y21及点A(0，2)，点P、Q分别是直线xy0和圆C上的动点，则|PA|PQ|的最小值为 。16.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：异面直线C1P与B1C所成的角不为定值； 二面角PBC1D的大小为定值；三棱锥D
5、BPC1的体积为定值； 平面A1CP平面DBC1。其中真命题的序号为 。三。解答题(本大题共6小题，共70分)解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等比数列an的公比为q(q1)，前n项和为Sn，S314，且3a2是2a3与4a1的等差中项。(1)求an的通项公式；(2)设bn，bn的前n项和为Tn，证明：Tn。18.(12分)成雅高速铁路(又称成雅高铁)是川藏铁路的重要组成部分，于2018年12月顺利通车，它的开通改变了成都到雅安没有直达铁路的历史，在出行人群中越来越受欢迎。现交通部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中采
6、用乘坐成雅高铁出行的占。(1)请完成22列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐成雅高铁出行与年龄有关”？(2)为提升服务质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法选取5人免费到雅安参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份。由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖每人得800元，40岁以上的旅客若中奖每人得1000元，设旅客抽奖所得的总金额为X元，求X的分布列与数学期望E(X)。参考公式：，nabcd，参考数据如表：19.(12分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PCD90，PAABAC1。(1)求证：ACCD；(2)点E在棱PC
7、上，满足DAE60，求二面角BAED的余弦值。20.(12分)已知椭圆C：的离心率为，且过点P(0，1)。(1)求椭圆C的标准方程；(2)过定点M(1，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，已知点N(4，)，设直线AN、BN的斜率分别为k1、k2，判断k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由。21.(12分)已知函数f(x)lnx，g(x)ax1(aR)。(1)若方程f(x)g(x)0存在两个不等的实根，求a的取值范围。(2)设函数h(x)f(x)g(x)，x1，x2是函数h(x)的两个零点，证明：h(x1x2)0），1分转化为函数T(x)与直线ya在(0，)上有两个不同交点，2
8、分T(x)(x0)，故当x(0,1)时，T(x)0；当x(1，)时，T(x)0，故T(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，4分所以T(x)maxT(1)1.又T0，故当x时，T(x)0. 5分可得a(0,1)6分另解：则：，1分当时，恒成立，不满足题意；3分当时，单调递减，则，当5分综上：6分(2)证明：h(x)a， 因为x1，x2是ln xax10的两个根，故ln x1ax110，ln x2ax210a，.8分要证h(x1x2)1，即证ln x1ln x20，即证(ax11)(ax21)0，即只需证明 a成立，即证.9分不妨设0x1x2，故ln 0，则h(t)在(0,1)上单调
9、递增，则(t) (1)0，故（*）式成立，即要证不等式得证12分22. 解 ：（1）直线l的直角坐标方程为：2分曲线C的极坐标方程为：，即，化为直角坐标方程：.将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到曲线：. 5分（2）直线的极坐标方程为，展开可得：.可得直角坐标方程：.可得参数方程：（为参数）. 7分代入曲线的直角坐标方程可得：.解得，.10分23.解：（1）或解出或无解, 所以，原不等式的解集为0，15分另解：（1）当时，等价于，则或无解综上，原不等式的解集为0，15分（2）当时，因为，所以恒成立，即恒成立，所以满足的解集为；而，当时，当时，作出的图像如上图所示，要使的解集为，则需或，解得或；综上可得：a的取值范围是. 10 分
