1、学案4 数 列 求 和考点1考点2考点3填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测返回目录考 纲 解 读 数列求和 1.掌握等差、等比数列的求和公式.2.了解非等差、等比数列求和的几种常用方法.等差数列、等比数列前n项和公式的考查一直是高考中数列考查的重点内容，同时，数列与其他知识的综合问题中考查错位相减、裂项求和也时有出现，是复习中另一个注意方面.预测2012年高考,错位相减法求和仍是高考重点,同时注意裂项相消法求和.考 向 预 测 返回目录返回目录1.等差数列的前n项和公式是采用方法推导的，等比数列的前n项和公式是用方法推导的.2.数列an的前n项和Sn与an的关系为
2、an=.3.求数列的前n项和，一般有下列几种方法：（1）等差数列的前n项和公式：倒序相加乘公比错位相减S1(n=1)Sn-Sn-1(n2).（2）等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=;当q1时，Sn=.（3）拆项求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.（4）裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.返回目录 q-1)q-(1an1d21)-n(n+na1=2)a+n(a=Sn1n1na q-1qa-an1（5）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.（6）倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法.（7）
3、自然数求和公式有：1+2+n=;12+22+n2=.返回目录61)+1)(2n+n(n21)+n(n根据数列an的通项公式，求其前n项和Sn.（1）an=10n-1;（2）an=n(n+1).【分析】若数列为等差数列、等比数列，或能转化为等差、等比数列，或转化为能用其他公式的，用公式法求和.考点1 公式法求和返回目录【解析】（1）Sn=a1+a2+an=（101+102+10n）-n=（2）Sn=a1+a2+an=（12+1）+（22+2）+（n2+n）=(12+22+n2)+(1+2+n)=n(n+1)(n+2).n.-1)-(10910n-10-1)10-10(1nn=31返回目录在数列求
4、和中，常用的公式有：（1）等差数列：na1 q=1q1.（3）1+2+n=（4）12+22+n2=n(n+1)(2n+1).d.21)-n(nna2)an(aS1n1n+=+=q-1qa-aq-1)q-(1a n1n1=（2）等比数列:Sn=.21)n(n+61返回目录已知数列log2(an-1),nN*为等差数列,且a1=3,a3=9.（1）求数列an的通项公式；（2）证明:nn1n231221-1a-a1a-a1a-a1=+返回目录(1)设等差数列log2(an-1)的公差为d.由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28,即d=1.所以log2(an-1)=1+(n
5、-1)1=n,即an=2n+1.(2)证明:因为，nn1nn1n212-21a-a1=+nn321n1n231221-121-12121-2121212121a-a1a-a1a-a1=+=+n所以返回目录2010年高考课标全国卷设数列an满足a1=2,an+1-an=32 2n-1.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn.【分析】由an与an+1的关系可用累加法求数列通项公式，由an特点选择恰当方法求Sn.考点2 错位相减法求和返回目录【解析】(1)由已知,当n1时,an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22
6、n-3+2)+2=2 2(n+1)-1.而a1=2,符合上式,所以数列an的通项公式为an=22n-1.(2)由bn=nan=n22n-1知Sn=12+223+325+n22n-1,从而22Sn=123+225+327+n22n+1.-得(1-22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1,即Sn=(3n-1)22n+1+2.91返回目录（1）一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.（2）用乘公比错位相减法求和时，应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐
7、”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.返回目录设数列an的前n项和为Sn=2n2,bn为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn=，求数列cn的前n项和Tn.nnba返回目录（1）当n=1时，a1=S1=2；当n2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2.故an的通项公式为an=4n-2，即an是首项a1=2，公差d=4的等差数列.设bn的公比为q，则b1qd=b1，d=4，q=.
8、故bn=b1qn-1=2，即bn的通项公式为bn=.41-1n41-1n42返回目录（2）cn=（2n-1）4n-1，Tn=c1+c2+cn=1+341+542+（2n-1）4n-1，4Tn=14+342+543+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n.两式相减得3Tn=-1-2（41+42+43+4n-1）+（2n-1）4n=（6n-5）4n+5.Tn=（6n-5）4n+5.-1nnn422-4nba=3191返回目录【分析】由条件，设首项为a1,公差为d,建立方程组求解a1,d,则an可求，Sn可求，由bn中bn与an关系选择恰当求法.考点3 裂项相消法求和2010年高考山东卷已知等差数列
9、an满足：a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.1a12n 返回目录【解析】(1)设等差数列an的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7 a1=32a1+10d=26,d=2.所以an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+2=n2+2n.21)-n(n解得返回目录(2)由(1)知an=2n+1,所以bn=所以Tn=即数列bn的前n项和Tn=1n1n141)1n(n1411)1n2(11a122n)1n(4n1n11411n1n1312121141)1n(4n返回目录(1)利用裂项相消法
10、求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项等，实际上，裂项法求和时消项的规律具有对称性，即前剩多少项后就剩多少项；前剩第几项，后就剩倒数第几项.再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.(2)一般情况如下,若an是等差数列，则此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和.(3)要注意掌握常用的裂项方法和技巧.2nn2nn1nn1nna1a1d21aa1,a1a1d1aa1返回目录设数列an的前n项和为Sn，点(n，)(nN*)均在函数y=3x-2的图象上.（1）求数列an的通项公式；（2），Tn是数
11、列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.nSn1nnnaa3b+=20m返回目录（1）依题意得=3n-2，即Sn=3n2-2n.当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5；当n=1时，a1=S1=312-21=1=61-5,an=6n-5(nN*).nSn返回目录（2）由(1)得bn=故Tn=b1+b2+bn因此，使得(nN*)成立的m必须满足,即m10.故满足要求的最小正整数m为10.1nnaa3+).16n1-5-6n1(21 5-1)6(n5)-(6n3+=+=21=)16n1-5-6n1()131-71()71-1(+)16n1-1(21+=20m)1+6n1-(12120m21 返回目录1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求前n项和的数列来求之.2.掌握由通项公式确定求和方法，如积的倒数和用裂项相消法，形如an=nq n-1用错位相减法等.返回目录
