1、2015-2016学年四川省成都七中实验学校高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置）1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21C若x1或x1，则x21D若x1或x1，则x212设a，bR，则“|a|b”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3下列四个命题中真命题的个数是（）“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件命题“xR，sinx1”的否定是“xR，sinx1
2、”命题p：x1，+），lgx0，命题q：xR，x2+x+10，则pq为真命题A0B1C2D34已知直线l过圆x2+（y3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）Ax+y2=0Bxy+2=0Cx+y3=0Dxy+3=05椭圆的焦距为2，则m的值等于（）A5或3B8C5D或6如果实数x、y满足条件，那么2xy的最大值为（）A2B1C2D37过椭圆+=1（ab0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60，则椭圆的离心率为（）ABCD8执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A4B5C6D79我国发射的“神舟5号”宇宙飞船的运行轨
3、道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为（）ABCmnD2mn10命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da511节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）ABCD12已知圆O1：（x2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0r2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，
4、这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1e2），则e1+2e2的最小值是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不给分13过原点的直线与圆x2+y22x4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为14如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是15椭圆+=1（ab0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为16设P，Q分别为圆x2+（y6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是三、解答题：（本大题共6小题，
5、共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知p：（x2）（x+m）0，q：x2+（1m）xm0（1）若m=3，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围18表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良日期编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10空气质量指数（AQI）1794098124291332414249589PM2.5日均浓度（ug/m3）13558094801001903877066（1）
6、根据表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；（2）在表数据中、在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M为“抽取的两个日期中，当天PM2.5的24小时平均浓度小于75ug/m3”，求事件M发生的概率19已知直线y=x+1与椭圆（ab0）相交于A、B两点（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F1，求ABF1的面积20如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离21设直线l1：
7、y=k1x+1，l2：y=k2x1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0（1）证明l1与l2相交；（2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上22如图所示，椭圆C：（ab0）的一个焦点为 F（1，0），且过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（）求证：点M恒在椭圆C上；（）求AMN面积的最大值2015-2016学年四川省成都七中实验学校高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把正确
8、选项的代号填在答题卡的指定位置）1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21C若x1或x1，则x21D若x1或x1，则x21【考点】四种命题【分析】根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定【解答】解：原命题的条件是“若x21”，结论为“1x1”，则其逆否命题是：若x1或x1，则x21故选D2设a，bR，则“|a|b”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】“|a|b”ab或ab“ab”“|a|b”，正确，由于|a|a，可得|a|b反
9、之不成立，例如取a=3，b=2，虽然|a|b，但是32不成立【解答】解：“|a|b”ab或ab，“ab”“|a|b”，|a|a，|a|b反之不成立，例如取a=3，b=2，虽然|a|b，但是32不成立“|a|b”是“ab”的必要不充分条件故选：B3下列四个命题中真命题的个数是（）“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件命题“xR，sinx1”的否定是“xR，sinx1”命题p：x1，+），lgx0，命题q：xR，x2+x+10，则pq为真命题A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用充分、必要条件的概念验证即可利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可对命题p，q的真假分别
10、进行判断即可【解答】解：对于：当x=1成立时有1231+2=0即x23x+2=0成立，当x23x+2=0成立时有x=1或x=2不一定有x=1成立“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件故正确对于：命题“xR，sinx1”的否定是“xR，sinx1”故正确对于命题p：x1，+），lgx0，正确，命题q：xR，x2+x+10错误，因为x2+x+1=（x+）2+0恒成立，pq为真，故正确故选D4已知直线l过圆x2+（y3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）Ax+y2=0Bxy+2=0Cx+y3=0Dxy+3=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意可得所求直线l经过
11、点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是 y3=x0，即xy+3=0，故选：D5椭圆的焦距为2，则m的值等于（）A5或3B8C5D或【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a、b、c的值，即得焦距 2c 的值列出方程，从而求得n的值【解答】解：由椭圆得：2c=2得c=1依题意得4m=1或m4=1解得m=3或m=5m的值为3或5故选A6如果实数x、y满足条件，那么2xy的最大值为（）A2B1C2D3【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy表示直线
12、在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2xy=t过点A（0，1）时，t最大是1，故选B7过椭圆+=1（ab0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60，则椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】把x=c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据F1PF2=60推断出=整理得e2+2e=0，进而求得椭圆的离心率e【解答】解：由题意知点P的坐标为（c，）或（c，），F1PF2=60，=，即2ac=b2=（a2c2）e2+2e=0，e=或e=（舍去）故选B8执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为
13、2，则输出的S=（）A4B5C6D7【考点】程序框图【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，12成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，22成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时32不成立，输出S=7，故选：D9我国发射的“神舟5号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为（）ABCmnD2mn【考点】椭圆的简单性质【分析】因为“神舟5号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，所以近地点距地心为ac，远地点距地心为a+
14、c就可求出a，c的值，再根据椭圆中b2=a2c2求出b，就可得到短轴长【解答】解：“神舟5号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则近地点A距地心为ac，远地点B距地心为a+cac=m+R，a+c=n+R，a=+R，c=又b2=a2c2=mn+（m+n）R+R2=（m+R）（n+R）b=短轴长为2b=2故选A10命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da5【考点】命题的真假判断与应用【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件a|a4，从集合的角度充分不必要条件应为a|a4的真子集，由选择项不难得
15、出答案【解答】解：命题“x1，2，x2a0”为真命题，可化为x1，2，ax2，恒成立即只需a（x2）max=4，即“x1，2，x2a0”为真命题的充要条件为a4，而要找的一个充分不必要条件即为集合a|a4的真子集，由选择项可知C符合题意故选C11节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0x4，0y4，要满足条件须|xy|2，作出其对应的平面
16、区域，由几何概型可得答案【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0x4，0y4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|xy|2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为： =故选C12已知圆O1：（x2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0r2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1e2），则e1+2e2的最小值是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】分别求出e1、e2（e1e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值【解答】解：当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|
17、MO2|+|MO1|=4r=2a，e1=当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a，e2=e1+2e2=+=，令12r=t（10t12），e1+2e2=22=故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不给分13过原点的直线与圆x2+y22x4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为2xy=0【考点】直线与圆相交的性质【分析】用配方法将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx，求出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可【解答】解：直
18、线方程为y=kx，圆x2+y22x4y+4=0即（x1）2+（y2）2=1即圆心坐标为（1，2），半径为r=1因为弦长为2，为直径，故y=kx过圆心，所以k=2所以该直线的方程为：y=2x故答案为：2xy=014如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是x+2y8=0【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】若设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程得9x12+36y12=369，9x22+36y22=369；作差，并由中点坐标公式，可得直线斜率k，从而求出弦所在的直线方程【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得9x12+36
19、y12=369，9x22+36y22=369；得9（x1+x2）（x1x2）+36（y1+y2）（y1y2）=0；由中点坐标=4， =2，代入上式，得36（x1x2）+72（y1y2）=0，直线斜率为k=，所求弦的直线方程为：y2=（x4），即x+2y8=0故答案为：x+2y8=015椭圆+=1（ab0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的应用【分析】设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF1相切于点M，连结OM、PF2，利用三角形中位线定理与圆的切线的性质，证出PF1PF2且|PF2|=2b，然后在RtPF1
20、F2中利用勾股定理算出|PF1|根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，从而建立关于a、b、c的等式，解出b=a，c=a，进而可得椭圆的离心率的大小【解答】解：设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF1相切于点M，连结OM、PF2，M、O分别为PF1、F1F2的中点，MOPF2，且|PF2|=2|MO|=2b，又线段PF1与圆O相切于点M，可得OMPF1，PF1PF2，|PF1|=2|PF1|+|PF2|=2+2b=2a，化简得2ab=a2c2+2b2=3b2，b=a，c=a，离心率为e=故答案为：16设P，Q分别为圆x2+（y6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是6【
21、考点】椭圆的简单性质【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则圆x2+（y6）2=2的圆心为（0，6），半径为，椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为 =5，P，Q两点间的最大距离是5+=6故答案为：6三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知p：（x2）（x+m）0，q：x2+（1m）xm0（1）若m=3，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【分析】（1）
22、若m=3，根据命题“p且q”为真，则p，q同时为真，即可得到结论（2）根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：（1）若m=3，则p：（x2）（x+3）0，即3x2，q：x22x30，解得1x3，若命题“p且q”为真，则p，q同时为真，则，解得1x2 （2）x2+（1m）xm0，（x+1）（xm）0，则不等式对应的方程的根为x=1，或x=m，不等式（x2）（x+m）0，对应的方程的根为x=2，或x=m，若p是q的必要不充分条件，设p对应的集合为A，q对应的集合是B，则满足BA，若m1，则集合B=1，m，此时m2，即A=m，2，此时满足，解得1m2，若m1，则集合B=m，1，此时m1，
23、此时AB=，不满足条件，故实数m的取值范围是1m218表是某市从3月份中随机抽取的10天空气质量指数（AQI）和“PM2.5”（直径小于等于2.5微米的颗粒物）24小时平均浓度的数据，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良日期编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10空气质量指数（AQI）1794098124291332414249589PM2.5日均浓度（ug/m3）13558094801001903877066（1）根据表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率；（2）在表数据中、在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件M为“抽取的两个日期
24、中，当天PM2.5的24小时平均浓度小于75ug/m3”，求事件M发生的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）由表数据知，利用等可能事件概率的求法，即可估计该市当月某日空气质量优良的概率；（2）确定由（1）知10天中表示空气质量为优良的天数为5，当天“PM2.5”的24小时平均浓度不超过75ug/m3，有编号为A2、A9、A10，共3天，利用等可能事件概率的求法，求事件M发生的概率；【解答】解：（1）由上表数据知，10天中空气质量指数（AQI）小于100的日期编号为：A2、A3、A5、A9、A10共5天，故可估计该市当月某日空气质量优良的概率P= （2）在表示空气质量为
25、优良的日期A2、A3、A5、A9、A10中随机抽取两个的所有可能的情况为： A2，A3， A2，A5， A2，A9， A2，A10， A3，A5， A3，A9， A3，A10， A5，A9， A5，A10， A9，A10，共10种，两个日期当天“PM2.5”24小时平均浓度小于7575ug/m3，的有： A2，A9， A2，A10， A9，A10，共3种； 故事件M发生的概率P（M）=19已知直线y=x+1与椭圆（ab0）相交于A、B两点（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F1，求ABF1的面积【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）
26、根据椭圆的离心率为，焦距为2，建立方程，求得几何量，从而可得椭圆方程，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，可求线段AB的长；（2）求出点F1到直线AB的距离，即可求ABF1的面积【解答】解：（1）椭圆的离心率为，焦距为2，c=1，a=，椭圆的方程为直线y=x+1与椭圆方程联立，消去y可得：5x26x3=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=|AB|=|x1x2|=；（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为F1（1，0），直线AB的方程为x+y1=0，所以点F1到直线AB的距离d=，又|AB|=，ABF1的面积S=|AB|d=20如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为
27、矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点（）证明：PB平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求A到平面PBC的距离【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB平面AEC；（）通过AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，求出AB，作AHPB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离通过解三角形求解即可【解答】解：（）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，ABCD是矩形，O为BD的中点E为PD的中点，EOPBEO平面AEC，PB平面AECPB平面AEC
28、；（）AP=1，AD=，三棱锥PABD的体积V=，V=，AB=，PB=作AHPB交PB于H，由题意可知BC平面PAB，BCAH，故AH平面PBC又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离21设直线l1：y=k1x+1，l2：y=k2x1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0（1）证明l1与l2相交；（2）证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上【考点】两条直线的交点坐标；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】（1）用反证法，假设两条直线平行，则据斜率相同得到与已知矛盾的结论，即可得证（2）将两直线方程联立，求出交点坐标，利用已知条件，将交点坐标代入椭圆方程左侧，若满足方程
29、，则得到证明点在线上【解答】解：（1）假设两条直线平行，则k1=k2k1k2+2=k12+2=0无意义，矛盾，所以k1k2，两直线不平行，故l1与l2相交（2）由得，又k1k2+2=02x2+y2=1故l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上22如图所示，椭圆C：（ab0）的一个焦点为 F（1，0），且过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（）求证：点M恒在椭圆C上；（）求AMN面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）由已知中椭圆C：（ab0）的一个焦点为 F（1，0）
30、，且过点我们可得c=1，进而求出b2，a2的值，即可得到椭圆C的方程；（2）（i）由题可设A（m，n），则B（m，n）（n0），则，进而求出AF与BN的方程，设M（x0，y0），可得x0=，y0=代入椭圆方程可得结论（）设AM的方程为x=ty+1，代入椭圆方程得（3t2+4）y2+6ty9=0，设A（x1，y1）、M（x2，y2），则有y1+y2=，y1y2=，进而|y1y2|的最大值，进而，根据AMN的面积SAMN=|NF|y1y2|可得答案【解答】解：（1）椭圆C：（ab0）的一个焦点为 F（1，0），c=1，又椭圆C：过点，解得b2=3，a2=4，所以椭圆C的方程为（2）（i）证明：由题
31、意得F（1，0）、N（4，0）设A（m，n），则B（m，n）（n0），AF与BN的方程分别为：n（x1）（m1）y=0，n（x4）+（m4）y=0设M（x0，y0），则有n（x01）（m1）y0=0，且n（x04）+（m4）y0=0由上得x0=，y0= 由于=+=1所以点M恒在椭圆C上 （）解：设AM的方程为x=ty+1，代入，得（3t2+4）y2+6ty9=0设A（x1，y1）、M（x2，y2），则有y1+y2=，y1y2=，|y1y2|=令=（1），则|y1y2|=因为函数y=3+在1，+）为增函数，所以当=1即t=0时，函数y=3+有最小值4即t=0时，|y1y2|有最大值3，AMN的面积SAMN=|NF|y1y2|有最大值2016年10月31日
