1、2016-2017学年广东省江门市高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合P=1，2，3，4，则集合Q=xy|xP，yP中所含元素的个数是（）A16B9C7D52在复平面内，M、N两点对应的复数分别为13i、2+i，则|MN|=（）ABCD53已知向量、满足、，则=（）A1B2C1D24已知等差数列an满足a1+a2=5，a2+a3=7，则a2016=（）A2016B2017C2018D20195若a=log0.60.3，b=0.60.3，则（）Aa1bBab1Cba1Db1a6在平面直角坐标系中，
2、直线l：3xy6=0与圆C：x2+y22x+4y=0的位置关系是（）A相离B相切C直线与圆相交但不经过圆心D直线经过圆心7已知a、b 是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件8一个长方体的棱长分别为1、2、2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的体积为（）ABC18D369设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）的最小正周期为，且f（x）=f（x），则（）Af（x）在单调递减Bf（x）在（，）单调递减Cf（x）在（0，）单调递增Df（x）在（，）单调递增10若x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A4B6C8D1011已知双
3、曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐近线的距离d=1，则该双曲线的焦距为（）AB或C或D以上都不是12对于函数，有如下三个命题：f（x）的单调递减区间为2n3，2n2（nN*）f（x）的值域为0，+）若2a0，则方程f（x）=x+a在区间2，0内有3个不相等的实根其中，真命题的个数是（）A0B1C2D3二、填空题：本题共4小题，每小题5分13已知命题p：x0Z，的个位数字等于3则命题p：14经过点P（3，6）的抛物线y2=12x的切线方程为15如图，PABCD是棱长均为1的正四棱锥，顶点P在平面ABCD内的正投影为点E，点E在平面PAB内的正投影为点F，则 tanPEF=16已知f（x）=3xa3
4、x是偶函数则：（1）a=；（2）的解集为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在数列an中，已知a1=2，an+1=4an3n+1，nN（1）设bn=ann，求证：数列bn是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn18如图，在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a=2（）若，求c；（）若ABC的面积为，求b19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB、AC、AA1三条棱两两互相垂直，且AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC、BB1的中点（）求证：C1E平面AEF；（）求F到平面AEC1的距离20如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（ab0）的离心率为，
5、椭圆E的顶点四边形的面积为4（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E内一点P（1，1）的直线l与椭圆交于M、N两点，若，求直线l的方程21已知函数f（x）=（e）x+xlnx（其中，e为自然对数的底数，x0）（）求f（e）；（）求函数f（x）的极值；（）是否存在整数k，使得对任意的x0，f（x）k（x1）恒成立（*）若存在，写出一个整数k，并证明（*）；若不存在，说明理由请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22某人在静水中游泳的速度为千米/时，他现在水流速度为4千米/时的河中游泳（）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？（）他必须朝哪
6、个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？23如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000平方米鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？2016-2017学年广东省江门市高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合P=1，2，3，4，则集合Q=xy|xP，yP中所含元素的个数是（）A16B9C7D5【考点】元素与集合关系的判断【分析】找出所有可能的组合，用列举法表示出集合Q【解答】解：x=1，y=1
7、，xy=0，则Q=0；x=1，y=2，xy=1，则Q=1；x=1，y=3，xy=2，则Q=2；x=1，y=4，xy=3，则Q=3；x=2，y=1，xy=1，则Q=1；x=3，y=1，xy=2，则Q=2；x=4，y=1，xy=3，则Q=3；Q中所含元素的个数是7故选：C2在复平面内，M、N两点对应的复数分别为13i、2+i，则|MN|=（）ABCD5【考点】复数求模【分析】直接利用复数对应点的坐标，求解距离即可【解答】解：在复平面内，M、N两点对应的复数分别为13i、2+i，可得复数13i和2+i对应的点为（1，3），（2，1），则|MN|=故选：D3已知向量、满足、，则=（）A1B2C1D2【
8、考点】平面向量数量积的运算【分析】分别对，的两边进行平方，然后联立所得到的两个式子即可解出的值【解答】解：根据条件得：；得：；故选B4已知等差数列an满足a1+a2=5，a2+a3=7，则a2016=（）A2016B2017C2018D2019【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a1+a2=5，a2+a3=7，2a1+d=5，2a1+3d=7，联立解得a1=2，d=1则a2016=2+=2017故选：B5若a=log0.60.3，b=0.60.3，则（）Aa1bBab1Cba1Db1a【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数
9、的单调性即可得出【解答】解：a=log0.60.3log0.60.6=1b=0.60.3，则a1b，故选：A6在平面直角坐标系中，直线l：3xy6=0与圆C：x2+y22x+4y=0的位置关系是（）A相离B相切C直线与圆相交但不经过圆心D直线经过圆心【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出已知圆的圆心为C（1，2），半径r=利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，可得答案【解答】解：圆C：x2+y22x4y=0，可化为（x1）2+（y2）2=5故圆C的圆心为C（1，2），半径r=，点C到直线直线3xy6=0的距离d=（0，），故直线l：3xy6=0与圆C：x2+y22x+4y=0相
10、交，但不经过圆心，故选：C7已知a、b 是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由ab推不出a2b2，比如a=0，b=2，不是充分条件，由a2b2推不出ab，比如a=2，b=0，不是必要条件，故选：D8一个长方体的棱长分别为1、2、2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的体积为（）ABC18D36【考点】球的体积和表面积【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的体积【解答】解：长方体的体对角线的长是： =3球的半径是：这个球的体积
11、： =故选B9设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）的最小正周期为，且f（x）=f（x），则（）Af（x）在单调递减Bf（x）在（，）单调递减Cf（x）在（0，）单调递增Df（x）在（，）单调递增【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与的关系确定出的值，根据函数的偶函数性质确定出的值，再对各个选项进行考查筛选【解答】解：由于f（x）=sin（x+）+cos（x+）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出=2，又根据f（x）=f（x），得+=+k（kZ），以及|，得出=因此，f（x）=cos2x，若x，则2
12、x（0，），从而f（x）在单调递减，若x（，），则2x（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确故选A10若x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A4B6C8D10【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（）化目标函数z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故选：11已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐近线的距离d=1，则该双曲线的焦距为（）AB或C或D以上都不是【考点】
13、双曲线的简单性质【分析】运用双曲线两渐近线的夹角满足，得到=2或，结合点到直线的距离公式可得b，再由a，b，c的关系即可得到c，进而得到焦距【解答】解：双曲线两渐近线的夹角满足，=2或，设焦点为（c，0），渐近线方程为y=x，则d=b=1，又b2=c2a2=1，解得c=或则有焦距为或2故选C12对于函数，有如下三个命题：f（x）的单调递减区间为2n3，2n2（nN*）f（x）的值域为0，+）若2a0，则方程f（x）=x+a在区间2，0内有3个不相等的实根其中，真命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】画出函数的图象，数形结合分析三个命题的真假，可得答案【解答】解：函
14、数的图象如下图所示：由图可得：f（x）的单调递减区间为2n3，2n2（nN*），故正确；f（x）的值域为0，+），故正确；若2a0，则方程f（x）=x+a在区间2，0内至多有有2个不相等的实根，故错误；故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分13已知命题p：x0Z，的个位数字等于3则命题p：xZ，x2的个位数字都不等于3【考点】命题的否定【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题的否定方法，可得p【解答】解：命题p：x0Z，的个位数字等于3命题p：xZ，x2的个位数字都不等于3故答案为：xZ，x2的个位数字都不等于314经过点P（3，6）的抛物线y2=12x的切线方程为y=x+3【考点】利用
15、导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求导，可得切线斜率，即可得到以P为切点的抛物线的切线方程【解答】解：在y2=12x两边同时求导，得：2yy=12，则y=，所以过P的切线的斜率：k=1，所以以P为切点的抛物线的切线方程为y6=（x3）即：y=x+3；故答案为：y=x+315如图，PABCD是棱长均为1的正四棱锥，顶点P在平面ABCD内的正投影为点E，点E在平面PAB内的正投影为点F，则 tanPEF=【考点】直线与平面所成的角【分析】取AB中点G，连接EG，可证得平面PAB平面PEG，过E作EFPG，垂足为F，则EF平面ABP，即F为E在平面PAB上的投影，然后求解直角三角形得答案【解答】解
16、：如图，取AB中点G，连接EG，则EGAB，又PE平面ABCD，PEAB，PEEG=E，AB平面PEG，则平面PAB平面PEG，且平面PEG平面PAB于PG过E作EFPG，垂足为F，则EF平面ABP，即F为E在平面PAB上的投影在RtPEG与RtPFE中，可得PEF=PGEPABCD是棱长均为1的正四棱锥，EG=，PE=tanPEF=故答案为：16已知f（x）=3xa3x是偶函数则：（1）a=1；（2）的解集为（1，1）【考点】函数奇偶性的性质【分析】（1）根据f（x）=f（x），求得a的值（2）不等式即（3x3）（3x）0，即3x3，由此求得x的范围【解答】解：（1）f（x）=3xa3x是偶
17、函数，则f（x）=f（x），即 3xa3x=3xa3x，即（3x3x）=a（3x3x），a=1，即a=1，f（x）=3x +3x，故答案为：1（2），即 3x +3x ，即 32x3x+10，即（3x3）（3x）0，3x3，1x1 故答案为：（1，1）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在数列an中，已知a1=2，an+1=4an3n+1，nN（1）设bn=ann，求证：数列bn是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（1）确定数列bn是等比数列，则要证明是个不为0的定值，结合题干条件即可证，（2）首先根据（1）求出数列bn的通项公
18、式，然后根据题干条件求得an=bn+n=4n1+n，结合等差数列和等比数列的求和公式即可解答【解答】解：（1），且b1=a11=1bn为以1为首项，以4为公比的等比数列，（2）由（1）得bn=b1qn1=4n1an=bn+n=4n1+n，=，18如图，在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a=2（）若，求c；（）若ABC的面积为，求b【考点】正弦定理【分析】（）利用内角和求出角C，再求出sinC，由正弦定理求出c的值；（）根据三角形的面积公式求出c的值，再由余弦定理求出b的值【解答】解：（）ABC中，；由正弦定理，得；解得；（）ABC的面积为，即，解得c=3，由余弦定理得，b2=
19、a2+c22accosB=，解得19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB、AC、AA1三条棱两两互相垂直，且AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC、BB1的中点（）求证：C1E平面AEF；（）求F到平面AEC1的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（1）根据勾股定理证明EFEC1，AEEC1，再根据线面垂直定理可以证明（2）方法1：设求F到平面AEC1的距离为d，由等体积法=，即可求出d，方法2，判断出EF即为点F到面AEC1的距离，即可求出【解答】解：（1）连接FC1、AC1，由已知可得，EFEC1，AEEC1，又EF、AE面AEF，EFAE=E，故C1E平
20、面AEF（2）方法1：由已知得，AF2=EF2+AE2，EFAE，由（1）知C1E平面AEF，则C1E为三棱锥C1AEF的高，设求F到平面AEC1的距离为d，由等体积法=，即F到平面AEC1的距离为方法2：，EFAE，又C1E、AE面AEF，C1EAE=E，EF面AEC1，EF即为点F到面AEC1的距离，即F到平面AEC1的距离为20如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（ab0）的离心率为，椭圆E的顶点四边形的面积为4（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E内一点P（1，1）的直线l与椭圆交于M、N两点，若，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由=， =4，a2=b2+c2
21、，解出即可得出（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由可知P为MN的中点当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知交线段的中点在x轴上，与P（1，1）矛盾可得直线l的斜率存在设为k方法一：（点差法）把M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆的标准方程相减，利用中点坐标公式与斜率计算公式即可得出方法二：设直线l的方程为y1=k（x1），与椭圆方程联立方程联立可得（3+4k2）x2+8k（1k）x+4（1k）212=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式与斜率计算公式即可得出【解答】解：（1）=， =4，a2=b2+c2，即椭圆E的标准方程是（2）设M（x1，y1），N（x2，
22、y2），由可知P为MN的中点当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知交线段的中点在x轴上，与P（1，1）矛盾 故直线l的斜率存在设为k方法一：（点差法）把M（x1，y1），N（x2，y2）代入椭圆的标准方程是得：，两式相减得，MN的中点为P（1，1），x1+x2=2，y1+y2=2，代入得，即直线l的方程为，即3x+4y7=0经检验l代入C消元后的方程的0，符合题意，故直线的方程为3x+4y7=0方法二：设直线l的方程为y1=k（x1），联立方程得，消去y得（3+4k2）x2+8k（1k）x+4（1k）212=0，MN中点为P（1，1）x1+x2=2，P（1，1）在椭圆内部，故0，由韦达定理
23、可得：，解得，即直线l的方程为，即3x+4y7=021已知函数f（x）=（e）x+xlnx（其中，e为自然对数的底数，x0）（）求f（e）；（）求函数f（x）的极值；（）是否存在整数k，使得对任意的x0，f（x）k（x1）恒成立（*）若存在，写出一个整数k，并证明（*）；若不存在，说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（）求出函数的导数，求出f（e）的值即可；（）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）令k=1或2或3，求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，证出结论即
24、可【解答】解：（），f（e）=3（）由（1）知f（x）=x+xlnx，（x0），f（x）=2+lnx，令，令，令，无极大值（）当k=1时，命题成立证明如下：对任意的x0，f（x）=x+xlnx1（x1）即xlnx+10恒成立令g（x）=xlnx+1，g（x）=lnx+1，令，；令，；令，；当k=2时，命题成立证明如下：对任意的x0，f（x）=x+xlnx2（x1）即xlnxx+20恒成立令g（x）=xlnxx+2，g（x）=lnx，令g（x）=lnx=0，即x=1，；令g（x）=lnx0，即x（1，+），g（x）递增，；令g（x）=lnx0，即x（0，1），g（x）递减，；g（x）min=g（
25、x）极小=g（1）=1+0+2=10；当k=3时，命题成立证明如下：对任意的x0，f（x）=x+xlnx3（x1）即xlnx2x+30恒成立令g（x）=xlnx2x+3，g（x）=lnx1，令g（x）=lnx1=0，即x=e，令g（x）=lnx10，即x（e，+），g（x）递增，；令g（x）=lnx10，即x（0，e），g（x）递减，；g（x）min=g（x）极小=g（e）=e2e+3=3e0（说明：k=1，k=2，k=3只要对其中一种都是满分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22某人在静水中游泳的速度为千米/时，他现在水流速度为4千米/时的河中游泳（）如果
26、他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？（）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？【考点】向量的三角形法则；向量加减混合运算及其几何意义【分析】（1）如图，以V水、V人为邻边作平行四边形，则此人的实际速度为V实=V水+V人，可得结论；（2）如图，解直角三角形可得|v实|=（km/h），则tan=【解答】解：（1）如图，由于V实=V水+V人，|V实|=（km/h），又tan=，=60，他必须沿与河岸成60角的方向前进，实际前进速度的大小为8km/h（2）如图，解直角三角形可得|v实|=（km/h），又tan=，他必须沿与水流方向成90+（
27、锐角满足，或等）方向航行，实际前进速度的大小为（km/h）23如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000平方米鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】设每个鱼塘的宽为x米，根据题意可分别表示出AB和AD，进而表示出总面积y的表达式，利用基本不等式求得y的最小值进而求得 此时x的值【解答】解：设每个鱼塘的宽为x米，且x0，且AB=3x+8，AD=+6，则总面积y=（3x+8）（+6）=30048+18x30048+2=32448，当且仅当18x=，即x=时，等号成立，此时=150即鱼塘的长为150米，宽为米时，占地面积最少为32448平方米2017年2月6日
