1、2.2 函数的单调性与最值 考纲要求 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质 1函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做yf(x)的单调区间 增函数减函数区间D2函数的最值【思考辨析】判断下 面结论是 否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数()【答案
2、】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(3)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(4)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(5)所有的单调函数都有最值()(6)对于函数 yf(x)，若 f(1)f(3)，则 f(x)为增函数()1(2017福建三明一中第一次月考)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x12 Bf(x)x3Cf(x)12xDf(x)3x【答案】D【解析】满足 f(xy)f(x)f(y)的函数只有 C，D.而 y12x在定义域内为单调递减函数，y3x 在定义域内为单调递增函数，故选 D.2(2017
3、温州模拟)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为()A2B2 C6D6【解析】由图象易知函数 f(x)|2xa|的单调增区间是a2，令a23，a6.【答案】C3若函数 yax 与 ybx在(0，)上都是减函数，则 yax2bx 在(0，)上是()A增函数B减函数C先增后减D先减后增【答案】B【解析】由 yax 在(0，)上是减函数，知 a0；由 ybx在(0，)上是减函数，知 b0.yax2bx 的对称轴 x b2a0，又yax2bx 的开口向下，yax2bx 在(0，)上是减函数故选 B.4(教材改编)已知函数 f(x)2x1，x2，6，则 f(x)的最大值为_，最小值为
4、_【解析】可判断函数 f(x)2x1在2，6上为减函数，所以 f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6)25.【答案】2 255(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1，2上 具 有 单 调 性，则 实 数 a 的 取 值 范 围 为_【解析】函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示 由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1，2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)【答案】(，12，)题型一 确定函数的单调性(区间)【例 1】(1)判断函数 yx2x1在(1，)上的单调性(2)判断并证明函数 f(x)a
5、xx21(其中 a0)在 x(1，1)上的单调性【解析】(1)方法一 任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，则 y1y2x12x11x22x21x2x1（x11）（x21）.x11，x21，x110，x210，又 x1x2，x2x10，x2x1（x11）（x21）0，即 y1y20.y1y2，所以函数 yx2x1在(1，)上是减函数 方法二 yx2x11 1x1.yx1 在(1，)上是增函数，y 1x1在(1，)上是减函数，y1 1x1在(1，)上是减函数 即函数 yx2x1在(1，)上是减函数(2)方法一(定义法)设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221 ax
6、1x22ax1ax2x21ax2（x211）（x221）a（x2x1）（x1x21）（x211）（x221）.1x1x21，x2x10，x1x210，(x211)(x221)0.因此当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(1，1)上为减函数 方法二(导数法)f(x)a（x21）2ax2（x21）2a（x21）（x21）2.又 a0，所以 f(x)0，所以函数 f(x)在(1，1)上为减函数【方法规律】确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图
7、象不连续的单调区间不能用“”连接 跟踪训练 1 已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数【证明】方法一 任意取 x1x20，则 f(x1)f(x2)x1ax1 x2ax2 (x1x2)ax1ax2(x1x2)a（x2x1）x1x2(x1x2)1 ax1x2.当 ax1x20 时，x1x20，1 ax1x20，有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)xax(a0)在(0，a 上为减函数；当 x1x2 a时，x1x20，1 ax1x20，有 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数
8、f(x)xax(a0)在 a，)上为增函数；综上可知，函数 f(x)xax(a0)在(0，a 上为减函数，在 a，)上为增函数 方法二 f(x)1ax2，令 f(x)0，则 1ax20，解得 x a或 x a(舍)令 f(x)0，则 1ax20，解得 ax a.x0，0 x a.故 f(x)在(0，a 上为减函数，在 a，)上为增函数题型二 函数的最值【例 2】(2016北京卷)设函数 f(x)x33x，xa，2x，xa.(1)若 a0，则 f(x)的最大值为_；(2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_【解析】(1)若 a0，则 f(x)x33x，x0，2x，x0，当 x0 时，
9、2x0；当 x0 时，f(x)3x233(x1)(x1)，令 f(x)0，得 x1，f(x)0，得1x0，所以函数 f(x)在(，1)上单调递增，在(1，0上单调递减，所以函数 f(x)在(，0上的最大值为 f(1)2.综上可得，函数 f(x)的最大值为 2.(2)函数 yx33x 与 y2x 的大致图象如图所示，若函数 f(x)x33x，xa，2x，xa无最大值，由图象可知2a2，解得 a1.【答案】(1)2(2)a1【方法规律】求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复
10、杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 跟 踪 训 练 2(1)函 数 f(x)1x，x1，x22，x1的 最 大 值 为_(2)已知函数 f(x)1a1x(a0，x0)，若 f(x)在12，2 上的值域为12，2，则 a_【解析】(1)当 x1 时，函数 f(x)1x为减函数，所以 f(x)在x1 处取得最大值，为 f(1)1；当 x1 时，易知函数 f(x)x22 在 x0 处取得最大值，为 f(0)2.故函数 f(x)的最大值为 2.(2)由反比例函数的性质知函数 f(x)1a1x(a0，x0)在12，2 上单调递增，所以f12 12，f（2）2，即1a212，1a12
11、2，解得 a25.【答案】(1)2(2)25题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小【例3】(2016安徽皖北片第一次联考)已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0，2上是递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)【解析】由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.函数f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在区间0，2上是单调递增的，f(0)f(0.
12、5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1)【答案】A 命题点 2 解不等式【例 4】(2015新课标全国卷)设函数 f(x)ln(1|x|)11x2，则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的取值范围是()A.13，1B.，13(1，)C.13，13D.，13 13，【解析】方法一 f(x)ln(1|x|)11（x）2 f(x)，函数 f(x)为偶函数 当 x0 时，f(x)ln(1x)11x2，在(0，)上 yln(1x)递增，y11x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，)上单调递增 综上可知：f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)|x|2x1|x2(2x1)23x24
13、x1013x1.故选 A.方法二(特殊值排除法)令 x0，此时 f(x)f(0)10，f(2x1)f(1)ln 212ln 2ln e0，x0 不满足 f(x)f(2x1)，故 C 错误 令 x2，此时 f(x)f(2)ln 315，f(2x1)f(3)ln 4 110.f(2)f(3)ln 3ln 4 110，【答案】A 其中 ln 3ln 4，ln 3ln 4 1100，f(2)f(3)0，即 f(2)f(3)，x2 不满足 f(x)f(2x1)，故 B，D 错误命题点 3 求参数范围【例 5】(1)如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()
14、Aa14 Ba14C14a0 D14a0(2)(2017 山 东 东 营 广 饶 一 中 模 拟)已 知f(x)（3a1）x4a，x1，logax，x1是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是_【解析】(1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x1a，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，且1a4，解得14a0.综合上述得14a0.(2)由函数 f(x)为单调递减函数可得 g(x)(3a1)x4a 在(，1上单调递减，函数 h(x)logax 在(1，)上单调递减，且 g(1)h(1)，3a1
15、0，0a1，7a10，17a13.【答案】(1)D(2)17，13【方法规律】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值 跟踪
16、训练3(1)f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，)B(8，9 C8，9D(0，8)(2)若 f(x)x22ax 与 g(x)ax1在区间1，2上都是减函数，则 a 的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(1，0)(0，1C(0，1)D(0，1【解析】(1)211f(3)f(3)f(9)，由 f(x)f(x8)2，可得 fx(x8)f(9)，因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有x0，x80，x（x8）9，解得 8x9.【答案】(1)B(2)D(2)由 f(x)x22ax 在1，2上是
17、减函数可得1，2a，)，a1.y 1x1在(1，)上为减函数，由 g(x)ax1在1，2上是减函数可得 a0，故 0a1.答题模板系列1 确定抽象函数单调性解函数不等式【典例】(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.【思维点拨】(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式【解析】(1)证明 设x1，x2R，且
18、x1x2，x2x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.(2分)f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，(4分)f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数(6分)(2)m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，(8分)f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，(10分)f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3，2)(12分)【答题模板】解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数
19、不等式转化为f(M)f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾查看关键点，易错点及解题规范【温馨提醒】本题对函数的单调性的判断是一个关键点不会运用条件x0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧 1利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断 2确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性 3求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法 失误与防范 1分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点 2函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“”.
