1、课时 2 范围、最值问题题型一 范围问题【例 1】(2015天津)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为 33，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆 x2y2b24 截得的线段的长为 c，|FM|4 33.(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 2，求直线OP(O 为原点)的斜率的取值范围【解析】(1)由已知有c2a213，又由 a2b2c2，可得 a23c2，b22c2.设直线 FM 的斜率为 k(k0)，F(c，0)，则直线 FM 的方程为 yk(xc)由已知，有kck212c22b22，
2、解得 k 33.(2)由(1)得椭圆方程为 x23c2 y22c21，直线 FM 的方程为 y 33(xc)，两个方程联立，消去 y，整理得 3x22cx5c20，解得x53c 或 xc.因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为c，2 33 c.由|FM|（cc）22 33 c024 33.解得 c1，所以椭圆的方程为x23y221.(3)设点 P 的坐标为(x，y)，直线 FP 的斜率为 t，得 t yx1，即直线 FP 的方程为 yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立 yt（x1），x23y221，消去 y，整理得 2x23t2(x1)26，又由已知，得 t62x23（x1）2 2，解得3
3、2x1，或1x0.设直线 OP 的斜率为 m，得 myx，即 ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得 m22x223.当 x32，1 时，有 yt(x1)0，于是 m2x223，得 m23，2 33.当 x(1，0)时，有 yt(x1)0.因此 m0，于是 m2x223，得 m，2 33.综上，直线 OP 的斜率的取值范围是，2 3323，2 33.【方法规律】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不
4、等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 跟踪训练 1(2016课标全国)已知椭圆 E：x2t y231 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当 t4，|AM|AN|时，求AMN 的面积；(2)当 2|AM|AN|时，求 k 的取值范围【解析】(1)设 M(x1，y1)，则由题意知 y10.当 t4 时，E 的方程为x24y231，A(2，0)由已知及椭圆的对称性知，
5、直线 AM 的倾斜角为4.因此直线 AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入x24y231 得 7y212y0.解得 y0 或 y127，所以 y1127.因此AMN 的面积 SAMN212127 127 14449.(2)由题意，t3，k0，A(t，0)将直线 AM 的方程 yk(x t)代入x2t y231 得(3tk2)x22 ttk2xt2k23t0.由 x1(t)t2k23t3tk2 得 x1 t（3tk2）3tk2，故|AM|x1 t|1k26 t（1k2）3tk2.由题设，直线 AN 的方程为 y1k(x t)，故同理可得|AN|6k t（1k2）3k2t.由 2|AM|AN|得
6、23tk2k3k2t，即(k32)t3k(2k1)当 k3 2时上式不成立，因此 t3k（2k1）k32.t3 等价于k32k2k2k32（k2）（k21）k320，即 k2k320.由此得k20，k320 或k20，k320，解得3 2k2.因此 k 的取值范围是(3 2，2)题型二 最值问题命题点 1 利用三角函数有界性求最值【例 2】(2017锦州模拟)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是()A2 B.2C4 D2 2【答案】C【解析】设直线 AB 的倾斜角为，可得|AF|21cos，|BF|21cos，则|AF|
7、BF|21cos 21cos 4sin24.命题点2 数形结合利用几何性质求最值【例3】(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_【解析】双曲线 x2y21 的渐近线为 xy0，直线 xy10 与渐近线 xy0 平行，故两平行线的距离 d|10|12（1）2 22.由点 P 到直线 xy10 的距离大于 c 恒成立，得 c 22，故 c 的最大值为 22.【答案】22命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值【例4】(2017江西南昌模拟)已知抛物线C1：y24x和C2：x22py(p0)的
8、焦点分别为F1，F2，点P(1，1)，且F1F2OP(O为坐标原点)(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求PMN面积的最小值【解析】(1)由题意知 F1(1，0)，F20，p2，F1F2 1，p2，F1F2 OP 1，p2(1，1)1p20，p2，抛物线 C2 的方程为 x24y.(2)设过点 O 的直线为 ykx(k0)，联立ykx，y24x，得(kx)24x，求得 M4k2，4k，联立ykx，x24y，得 N(4k，4k2)，从而|MN|1k24k24k 1k24k24k，点 P 到直线 MN 的距离 d|k1|1k2，进而 SPMN
9、12|k1|1k2 1k24k24k 2（1k）（1k3）k2 2（1k）2（1kk2）k2 2k1k2 k1k1，令 tk1k(t2)，有 SPMN2(t2)(t1)，当 t2 时 k1，SPMN 取得最小值 即当过原点的直线为 yx 时，PMN 的面积取得最小值 8.【方法规律】处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 跟踪训
10、练2(1)已知焦点为F的抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当AB过焦点F时取得最大值6.【答案】6(2)(2017成都七中一诊)抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P(x，y)为该抛物线上的动点，若点 A(1，0)，求|PF|PA|的最小值【解析】抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过P作PN垂直x1于N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，在 RtPAN 中，sinPAN|PN|PA|，当|PN|PA|PF|PA|最小时，sinPA
11、N 最小，即PAN 最小，即PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设 PA 的方程为 yk(x1)，联立yk（x1），y24x，得 k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得 k1，所以PAFNPA45，|PF|PA|PN|PA|cosNPA 22.方法与技巧 1求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围 2圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题(2)两种常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解 失误与防范 1求范围问题要注意变量自身的范围 2利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系注意特殊关系，特殊位置的应用.
