1、2015-2016学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1若复数（aR，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A2B4C6D62下面几种推理过程是演绎推理的是（）A因为A和B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以A+B=180B我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，得出结论：一个偶数（大于4）可以写
2、成两个素数的和D在数列an中，a1=1，an=（an1+）（n2），通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出an的通项公式3函数y=的定义域为（）A.（1，+）B（，）C（，1）D.（，1）（1，+）4根据给出的数塔猜测1234569+7=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111123459+6=111111A1111110B1111111C1111112D1111113245下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）wAy=sin2xBy=xexCy=x3xDy=ln（1+x）xa6下列推理是类比推理的是（）DA由数列1，2，3，猜测出该数列的通项
3、为an=nNB平面内不共线的三点确定一个圆，由此猜想空间不共面的三点确定一个球hC垂直于同一平面的两条直线平行，又直线a面，直线b面，推出ab4D由ab，bc，推出acP7函数y=2x33x212x+5在0，3上的最大值、最小值分别是（）8A5，4B5，15C4，15D5，16a8若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）1ABCDH9已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）nA（1，2B（1，2）C2，+）D（2，+）Y10已知函数，那么在下列区间中含有函数
4、f（x）零点的为（）hABCD（1，2）x11定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=f（x），且在区间1，0上为递增，则（）KABCD512设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则BCF与ACF的面积之比=（）kABCDG二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共16分，把答案填在答题卡的横线上x13已知复数z=（1i）（2+i），则|z|=a14设f（x）=x（x1）（x2），则f（0）=w15已知函数f（x）=x2+axb若a、b都是从区间0，4内任取的一个数，则f（1）0成立的概率是=16若在区间1，+）
5、上有极大值和极小值，则实数a的取值范围是=三、解答题（共70分）17设二次函数y=f（x）的图象过原点，且1f（1）2，2f（1）4，求f（2）的取值范围182014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段60，65），65，70），70，75），75，80），80，85），85，90），90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（）求这120辆车行
6、驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率1920件产品中有17件合格品，3件次品，从中任意抽取3件进行检查，问（1）求抽取3件都是合格品的抽法种数（2）求抽出的3件中恰好有1件是次品的概率（3）求抽出的3件至少有2件不是次品的概率20已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个现从中随机取球，每次只取一球（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时
7、一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望21一个圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱：（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值2015-2016学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1若复数（aR，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）A2B4C6D6【分析】化简复数为a+bi（a、bR）的形式，让其实部为0，虚部不为0，可得结论【解答】解：复数=，它是纯虚数，则a=6故选C【点评】
8、本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的分类，是基础题2下面几种推理过程是演绎推理的是（）A因为A和B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以A+B=180B我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和D在数列an中，a1=1，an=（an1+）（n2），通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出an的通项公式【分析】推理分为合情推理（特殊特殊或特殊一般）与演绎推理（一般特殊），合情推理包括类比推
9、理与归纳推理根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断【解答】解：A为三段论，是从一般特殊的推理，是演绎推理B是由特殊特殊的推理，为类比推理；C与D都是从特殊一般的推理，均属于归纳推理故选：A【点评】本题考查简单的演绎推理，易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念，属于基础题3函数y=的定义域为（）A.（1，+）B（，）C（，1）D.（，1）（1，+）【分析】根据函数的解析式列出不等式组，由对数函数的单调性求出解集可得函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则，解得x1，所以函数的定义域是（，1），故选：C【点评】本题考查了函数的定义域的求法，对数函数的性质，掌握求函数定义域的法则是解题的关键，属
10、于基础题4根据给出的数塔猜测1234569+7=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111123459+6=111111A1111110B1111111C1111112D1111113【分析】分析已知中的数塔，可知，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，进而得到答案【解答】解：由19+2=11；129+3=111；1239+4=1111；12349+5=11111；归纳可得：等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，1234569+7=1111111，故选：B【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情
11、况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）5下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）Ay=sin2xBy=xexCy=x3xDy=ln（1+x）x【分析】欲判断函数的单调性，可考虑应用导数这个工具，令f（x）0求出递增区间，令f（x）0求出递减区间从而对选项一一进行判断即可【解答】解：f（x）=sin2x=（1cos2x）在（0，+）有增有减，A不正确；f（x）=xex的导函数（x）=ex（x+1）0恒成立，所以它在（0，+）上增，B正确；y=x3x，的导数y=2x21在（0，+）上不恒大于0，所以它在（0，+）先减后增，C不正确；y=ln（1+x）x的
12、导数y=1在（0，+）恒小于0，所以它为减函数，D不正确故选B【点评】本题考查函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答6下列推理是类比推理的是（）A由数列1，2，3，猜测出该数列的通项为an=nB平面内不共线的三点确定一个圆，由此猜想空间不共面的三点确定一个球C垂直于同一平面的两条直线平行，又直线a面，直线b面，推出abD由ab，bc，推出ac【分析】本题考查的知识点是类比推理的定义，根据归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，对答案中的四个推理进行判断，即可得到答案【解答】解：由题意，由数列1，2，3，猜测出该数列的通项为an=n，是归纳推理；平面内不共线的三点确定
13、一个圆，由此猜想空间不共面的三点确定一个球，是类比推理；C，D是演绎推理故选B【点评】本题考查的知识点是类比推理，熟练掌握归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，是解答本题的关键7函数y=2x33x212x+5在0，3上的最大值、最小值分别是（）A5，4B5，15C4，15D5，16【分析】对函数求导，利用导数研究函数y=2x33x212x+5在0，3上的单调性，判断出最大值与最小值位置，代入算出结果【解答】解：由题设知y=6x26x12，令y0，解得x2，或x1，故函数y=2x33x212x+5在0，2上减，在2，3上增，当x=0，y=5；当x=3，y=4；当x=2，y=15由此得函数y=2x3
14、3x212x+5在0，3上的最大值和最小值分别是5，15；故选B【点评】考查用导数研究函数的单调性求最值，本题是导数一章中最基本的题型，解此题的关键就是能够对导数进行正确的求导；8若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）ABCD【分析】由函数f（x）=loga（x+b）的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g（x）=ax+b的图象即可【解答】解：由函数f（x）=loga（x+b）的图象为减函数可知0a1，f（x）=loga（x+b）的图象由f（x）=logax向左平移可知0b1，故函数g（x）=ax+b的大致图象是D故选D【点评】本
15、题考查指对函数的图象问题，是基本题熟练掌握指数函数和对数函数的图象及函数图象的平移变换法则是解答的关键9已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2）C2，+）D（2，+）【分析】若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2=，e2，故选C【点评】本题考查双
16、曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件10已知函数，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的为（）ABCD（1，2）【分析】求原函数在每个区间端点处的函数值，找出在哪个区间端点处的函数值异号，该区间即为所求【解答】解：由题意知：由零点判定定理知在区间内原函数有零点故选B【点评】本题考查用零点判定定理判断零点的位置，须判断区间端点处函数值的正负号属简单题11定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=f（x），且在区间1，0上为递增，则（）ABCD【分析】由f（x+1）=f（x），可推出其周期为2；由偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反及周期为2可得f（x）在1，2、2，3上的单调性，根
17、据单调性及对称性即可作出判断【解答】解：因为f（x+1）=f（x），所以f（x+2）=f（x+1）=f（x）=f（x）所以f（x）是以2为周期的函数又f（x）为偶函数，且在1，0上递增，所以f（x）在0，1上递减，又2为周期，所以f（x）在1，2上递增，在2，3上递减，故f（2）最大，又f（x）关于x=2对称，且离2近，所以f（）f（3），故选A【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性及其应用，考查学生运用所学知识灵活解决问题的能力12设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则BCF与ACF的面积之比=（）ABCD
18、【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得【解答】解：如图过B作准线l：x=的垂线，垂足分别为A1，B1，=，又B1BCA1AC、=，由拋物线定义=由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=，AB：y0=（x）把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，|AF|=|AA1|=故=故选A【点评】本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共16分，把答案填在答题
19、卡的横线上13已知复数z=（1i）（2+i），则|z|=【分析】化简复数z 为3i，由此根据复数的模的定义求得|z|的值【解答】解：复数z=（1i）（2+i）=3i，|z|=|3i|=故答案为【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义，求复数的模，属于基础题14设f（x）=x（x1）（x2），则f（0）=26287053【分析】先展开f（x）=x（x1）（x2），再求导函数，最后，把x=0代入即可【解答】解；对函数f（x）=x（x1）（x2）化简，得，f（x）=x33x2+2x，求导，得，f（x）=3x26x+2f（0）=3060+2=2故答案为：2【点
20、评】本题考查了幂函数导数的求法，属于基础题，应当掌握15已知函数f（x）=x2+axb若a、b都是从区间0，4内任取的一个数，则f（1）0成立的概率是【分析】本题利用几何概型求解即可在aob坐标系中，画出f（1）0对应 的区域，和a、b都是在区间0，4内表示的区域，计算它们的比值即得【解答】解：f（1）=1+ab0，即ab1，如图，A（1，0），B（4，0），C（4，3），SABC=，P=故答案为：6287053【点评】本题主要考查几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 古典概型与几何概型的主要区别在于：几何
21、概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个16若在区间1，+）上有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（，）【分析】求出函数的导数，根据极值的定义结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：f（x）=x3+ax22x，f（x）=x2+2ax2，函数f（x）在区间1，+）上有极大值和极小值，f（x）=x2+2ax2=0在区间1，+）上有两个不等实根，解得a，故答案为：（，）【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及二次函数根的分布问题，体现了转化和数形结合的思想，属中档题三、解答题（共70分）17设二次函数y=f（x）的图象过原点，且1f（1）2，
22、2f（1）4，求f（2）的取值范围【分析】由二次函数y=f（x）的图象过原点，设出二次函数解析式为f（x）=ax2+bx（a0），把f（1）和f（1）用含有a，b的代数式表示，联立关于a，b的方程组解出a，b，然后把f（2）也用含有a，b的代数式表示，最后转化为用f（1）和f（1）表示，由f（1）和f（1）的范围求得f（2）的范围【解答】解：二次函数y=f（x）的图象过原点，设f（x）=ax2+bx（a0），又，得，f（2）=4a2b=4 f（1）+f（1）2 f（1）f（1）=3f（1）+f（1），又1f（1）2，2f（1）4，53f（1）+f（1）10，即5f（2）10f（2）的取值范围是
23、5，10【点评】本题考查了函数值的求法，训练了利用不等式求函数的值的范围，解答此题的关键是把f（2）转化为含有f（1）和f（1）的表达式，此题是易错题，学生往往会直接由f（1）和f（1）的范围联立求出a和b的范围，然后把f（2）用a和b的代数式表示，由a和b的范围求解f（2）的范围，忽略了其中a和b是相关联的182014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段60，65），65，70），70，75），75，80），80
24、，85），85，90），90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率【分析】（I）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1求得a值，根据相同抽样方法的特征判断其抽样方法；（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标求众数；根据中位数是从左数小矩形面积和为0.5的矩形底边上点的横坐标求中位数；（III）利用直方图求出样本中车速在90，95）频数，利用个数比求超速车辆的概率【
25、解答】解：（I）由频率分布直方图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）5=1，a=0.06，该抽样方法是系统抽样；（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，众数为77.5；前三个小矩形的面积和为0.0055+0.0205+0.0405=0.325，第四个小矩形的面积为0.065=0.3，中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06x=0.5x2.9，数据的中位数为77.9；（III）样本中车速在90，95）有0.0055120=3（辆），估计该路段车辆超速的概率P=【点评】本题考查了由样本估计总体的思想，考查了由频率分布直方图求数据特征数众数
26、、中位数，考查了古典概型的概率计算，是概率统计的常见题型，解答要细心1920件产品中有17件合格品，3件次品，从中任意抽取3件进行检查，问（1）求抽取3件都是合格品的抽法种数（2）求抽出的3件中恰好有1件是次品的概率（3）求抽出的3件至少有2件不是次品的概率【分析】（1）抽取3件都是合格品的抽法种数是从17件合格品中任取3件，由此能求出结果（2）基本事件总数n=，抽出的3件中恰好有1件是次品包含的基本事件个数m=，由此能求出抽出的3件中恰好有1件是次品的概率（3）利用互斥事件概率加法公式能求出抽出的3件至少有2件不是次品的概率【解答】解：（1）20件产品中有17件合格品，3件次品，从中任意抽取
27、3件进行检查，抽取3件都是合格品的抽法种数=680（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的概率p1=（3）抽出的3件至少有2件不是次品的概率p2=【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用20已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个现从中随机取球，每次只取一球（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；6287053（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望【分析】（1）记事件Ai表示“第i次取到白球”（iN
28、*），事件B表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则： =+，由此利用对立事件概率计算公式能求出事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列与期望【解答】解：（1）记事件Ai表示“第i次取到白球”（iN*），事件B表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则： =+P（）=P（）+P（）+P（）+P（）+P（）=，P（B）=1P（）=1=（2）随机变量X的取值分别为2，3，4，5 P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=1=，随机变量X的分布列为：X2345P随机变量X的期望为：E
29、X=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题21一个圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱：（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值【分析】（1）由题意，求出圆锥的母线长，即可求圆锥的侧面积；（2）根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值【解答】解：（1）圆锥的母线长圆锥侧面积S1=Rl=4cm2；（2）设内接圆柱的底面半径为r，由图形特征知，x=42r圆柱侧面积S=2rx=2r（42r）=（4r2+8r）=4（r1）2+4（cm2）r=1，即x=2时，圆柱的侧面积最大，最大为4cm2【点评】本题的考点是棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，关键是利用轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想2016年11月5日
