1、第24节 平面向量的数量积考纲呈现 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.诊断型微题组 课前预习诊断双基1向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是0，AOB2平面向量的数量积 定义设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab 投影|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos 叫做向量
2、b 在 a 方向上的投影 几何 意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 3.平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角则(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2 或|a|aa.(4)cos ab|a|b|.(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量
3、 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab，由此得到(1)若 a(x，y)，则|a|2或|a|x2y2.x1x2y1y2x2y2(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|AB|x2x12y2y12.(3)设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab.(4)若 a，b 都是非零向量，是 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.x1x2y1y20 1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出 bc，两边不能约去一个向量 2两个向量的夹角为锐角，则有 ab0，反之不成立
4、；两个向量夹角为钝角，则有 ab0，反之不成立 3注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价 4在运用向量夹角时，注意其取值范围为0，5在用|a|a2求向量的模时，一定要把求出的 a2 再进行开方 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量 b 在向量 a 方向上的投影是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)(ab)ca(bc)()(4)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角，若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()(5)若 ab0，则 a0 或 b0.()2已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，则|ab|等
5、于()A1B 2C 3D2【答案】A【解析】a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，|a|b|1，ab12.|ab|2(ab)2|a|2|b|22ab 1.|ab|1.故选 A.3(2018 湖南长沙校级一模)已知向量 a(3,2)，b(1，0)，向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为()A17B17C16D16【答案】B【解析】a(3,2)，b(1,0)，a213，b21，ab3.又向量 ab 与 a2b 垂直，(ab)(a2b)a2(12)ab2b20，即 133(12)20，解得 17.故选 B.4(2018 广西南宁第二次适应性测试)已知向量 a，b 满足|a|b|2 且(a2
6、b)(ab)2，则向量 a 与 b 的夹角为_【答案】3【解析】设 a 与 b 的夹角为.依题意，得 a22b2ab222224cos 2，cos 12.又 0，因此 3，即向量 a 与 b 的夹角为3.形成型微题组 归纳演绎形成方法 平面向量数量积的运算 1(2018 河北唐山一中月考)在边长为 1 的正ABC 中，D，E 是边 BC 的两个三等分点(D 靠近于点 B)，则AD AE等于()A16B29C1318D13【答案】C【解析】如图，|AB|AC|1，AB，AC 60，D，E 是边BC 的两个三等分点，AD AEAB13BC AC13CB 23AB13AC 13AB23AC 29|A
7、B|259ABAC29|AC|2 29591112291318.故选 C.2(2018 河南安阳模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是AB 边上的动点，则DE CB 的值为_；DE DC 的最大值为_【答案】1 1【解析】方法一以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t0,1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DE CB(t，1)(0，1)1.因为DC(1,0)，所以DE DC(t，1)(1,0)t1.故DE DC 的最大值为 1.方法二由图知，无论 E 点在哪个位置，DE
8、 在CB方向上的投影都是 CB1，DE CB|CB|11.当 E 运动到 B 点时，DE 在DC 方向上的投影最大，即为 DC1，(DE DC)max|DC|11.微技探究 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解 1.(2018 江西赣州四校联考)在平行四边形 ABCD 中，AB12BC1，BAD120，BE12BC，则ACDE()A72B52C32D12 【答案】C【解析】如图所示，平
9、行四边形 ABCD 中，AB12BC1，BAD120，BE12BC，ACABAD，DE DC CEAB12AD，ACDE(ABAD)AB12AD AB 212ABAD 12AD 2121212cos 120122232.故选 C.2.(2018 江西吉安模拟)已知平面向量AB(1，y)，AC(2，1)，且ABAC0，则 3AB2AC()A(8,1)B(8,3)C(1,8)D(7,8)【答案】C【解析】根据题意，AB(1，y)，AC(2，1)，则有ABAC12y(1)0，解得 y2，则AB(1，y)(1,2)，故 3AB2AC(1,8)故选 C.平面向量数量积的应用 1(2018 西安模拟)已知
10、平面向量 a，b 的夹角为6，且|a|3，|b|2，在ABC 中，AB2a2b，AC2a6b，D 为 BC 的中点，则|AD|_.【答案】2【解析】因为AD 12(ABAC)12(2a2b2a6b)2a2b，所以|AD|24(ab)24(a22bab2)4(322 3cos64)4.所以|AD|2.2(2018 贵州适应性考试)已知平面向量 a(1，3)，|ab|1，则|b|的取值范围是_.【答案】1,3【解析】设 b(x，y)，则|ab|x12y 321，即点(x，y)在圆(x1)2(y 3)21 上，则|b|的几何意义是圆上点到原点的距离又圆心到原点的距离为 2，所以|b|的取值范围是1,
11、3 3(2019 临沂模拟)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为，且 cos 13，向量 a3e12e2 与 b3e1e2 的夹角为，则 cos _.【答案】2 23 【解析】因为 a2(3e12e2)2923212cos 49，所以|a|3.因为 b2(3e1e2)2923112cos 18，所以|b|2 2.ab(3e12e2)(3e1e2)9e219e1e22e2299111328，所以 cos ab|a|b|832 22 23.微技探究 1.求解平面向量模的方法(1)写出有关向量的坐标，利用公式|a|x2y2即可，(2)当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|a2.2求
12、平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos ab|a|b|，注意 的取值范围为0，(2)坐标法：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 cosx1x2y1y2x21y21x22y22.(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解 1.(2018 太原一模)已知向量 e1，e2是夹角为 45的两个单位向量，则|2e1e2|()A 22 B12C1 D 2【答案】C【解析】由题意可得 e1e2 22，所以|2e1e2|2e1e2222 2e1e211.2.(2018 重庆适应性测试)若向量 a 与 b 不共线，ab0，且 caaaab b，则向量 a 与 c 的夹角为()A0B6
13、C3D2【答案】D【解析】caaaaab b aaaaaab baaaaa0，ca，即向量 a 与 c 的夹角为2.故选 D.平面向量与三角函数(2018 惠州二调)设向量 a(3sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，2.(1)若|a|b|，求 x 的值；(2)设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值【解】(1)由|a|2(3sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21 及|a|b|，得 4sin2x1.又 x0，2，从而 sin x12，所以 x6.(2)f(x)ab 3sin xcos xsin2x 32 sin 2x12
14、cos 2x12sin2x6 12，当 x30，2 时，sin2x6 取最大值 1，所以 f(x)的最大值为32.微技探究 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等 (2015 广东，16)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m22，22，n(sin x，cos x)，x0，2.(1)若 mn，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹
15、角为3，求 x 的值【解】(1)因为 m22，22，n(sin x，cos x)，mn.所以 mn0，即 22 sin x 22 cos x0.所以 sin xcos x所以 tan x1.(2)因为|m|n|1，所以 mncos 312，即 22 sin x 22 cos x12.所以 sinx4 12.因为 0 x2，所以4x4|b|【答案】A【解析】由|ab|ab|平方，得(a)22ab(b)2(a)22ab(b)2，即 ab0，则 ab，故选 A.4(2017 全国，13)已知向量 a(1,2)，b(m,1)若向量 ab 与 a 垂直，则 m_.【答案】7【解析】由题，得 ab(m1,
16、3)，因为(ab)a0，所以(m1)230，解得 m7.4(2017 全国，13)已知向量 a(1,2)，b(m,1)若向量 ab 与 a 垂直，则 m_.【答案】7【解析】由题，得 ab(m1,3)，因为(ab)a0，所以(m1)230，解得 m7.5(2017 全国，13)已知向量 a(2,3)，b(3，m)，且 ab，则 m_.【答案】2【解析】由题意可得233m0，m2.6(2017 北京，12)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2,0)，O 为原点，则AO AP的最大值为_【答案】6【解析】AO AP|AO|AP|cos|AO|AP|2(21)6，所以最大值是 6.
