1、第19节 简单的三角恒等变换考纲呈现 1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式 2会用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦正切公式，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.诊断型微题组 课前预习诊断双基1两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos()coscossinsin(C()；cos()coscossinsin(C()；sin()sincoscossin(S()；sin()sincoscossin(S()；tan()tantan1tantan(T()；tan()tantan1tantan(T()2二倍角公式
2、 sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan2 2tan1tan2.【知识拓展】1降幂公式：cos21cos22，sin21cos22.2升幂公式：1cos22cos2，1cos22sin2.3辅助角公式：asinxbcosx a2b2sin(x)，其中 sin ba2b2，cosaa2b2.1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变式 2在(0，)范围内，sin()22 所对应的角 不是唯一的 3在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”
3、)(1)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定()(3)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使 tan 22tan.()(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()2化简cos 40cos 25 1sin 40等于()A1B 3C 2D2【答案】C【解 析】原 式 sin 50cos 25 1cos 50 sin 50cos 25 2sin 25 sin 5022 sin 50 2
4、.3(2015 重庆，6)若 tan 13，tan()12，则 tan 等于()A17 B16 C57 D56【答案】A【解析】tan tan()tantan 1tantan 12131121317，故选 A.4(2018 东北三省三校联考)已知 sin cos 13，则 sin24()A 118 B1718C89 D 29 【答案】B【解析】由 sin cos 13两边平方，得 1sin 219，解得 sin 289，所以 sin24 1cos2221sin 221892 1718，故选 B.5(教材习题改编)sin 347cos 148sin 77cos 58_.【答案】22 【解析】si
5、n 347cos 148sin 77cos 58 sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58 sin 58cos 77cos 58sin 77 sin(5877)sin 135 22.形成型微题组 归纳演绎形成方法 两角和与差的正弦、余弦和正切公式命题角度 1 和差公式的直接应用 1(2018 珠海一模)已知 tan()25，tan 13，则 tan()的值为_【答案】726【解析】tan()25，tan 13，tan tan()tantan 1tantan 251312513 117，tan()tan tan 1ta
6、n tan 117131 11713 726.2(2018 福建福州八中月考)sin 18sin 78cos 162cos 78_.【答案】12【解析】sin 18sin 78cos 162cos 78sin 18sin 78cos(18018)cos 78sin 18sin 78cos 18cos 78cos(7818)cos 6012.故答案为12.命题角度 2 角的变换 1(2018 四川广元质检)已知 cos6 sin 45 3，则 sin76的值是_【答案】45【解析】cos6 sin 45 3，32 cos 32sin 45 3.312cos 32 sin 45 3，3sin6 4
7、5 3，sin6 45.sin76 sin6 45.2(2018 河北保定三模)设 为锐角，若 sin4 13，则 cos 2_.【答案】4 29 【解析】为锐角，sin4 13，cos4 2 23，sin sin4 4 22 sin4 cos4 4 26，cos 212sin24 29.故答案为4 29.命题角度 3 三角函数式的变换 1.(2018 山东莱芜期末)化简：1sin cos sin 2cos 222cos (0)【解】由(0，)，得 020.22cos 4cos222cos 2.又(1sin cos)sin 2cos 2 2sin 2cos 22cos22 sin 2cos 2
8、 2cos 2 sin22cos22 2cos 2cos.故原式2cos 2cos 2cos 2cos.2.(2018山 西 康 杰 中 学 月 考)求 值：1cos202sin20sin101tan5tan5.【解】原式2cos2 1022sin 10cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 102cos 10cos 102sin 202sin 10 cos 102sin30102sin 10 co
9、s 10212cos 10 32 sin 102sin 10 3sin 102sin 10 32.微技探究 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系 2常见的配角技巧：2()()，()，22，2 2，2 2 2 等 1.(2018 海淀一模)计算sin 110sin 20cos2155sin2155的值为()A12B12C 32D 32 【答案】B【解 析】sin 110sin 20cos2155sin2155 sin 70sin
10、20cos 310 cos 20sin 20cos 5012sin 40sin 40 12.2.(2019 陕西宝鸡质检)设，都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos()A2 525B2 55C2 525 或2 55D 55 或 525【答案】A【解析】依题意，得 sin 1cos2 2 55，cos()1sin245.又，均为锐角，所以 0cos()因为45 55 45，所以 cos()45.于是 cos cos()cos()cos sin()sin 45 55 352 55 2 525.3(2018 山西临汾三模)设 f()2sincoscos1sin2cos32 sin22
11、(1 2sin 0)，求f236 的值【解】f()2sin cos cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1tan，f236 1tan2361tan46 1tan6 3.命题角度 1 三角函数式的化简 1 (2018 云 南 二 次 统 一 检 测)化 简：2cos 4x2cos2x122tan4x sin24x_.【答案】12cos 2x【解析】原式124cos4x4cos2x12sin4xcos4xcos24x 2cos2x124sin4x cos4x cos22x2sin22x cos22x2cos 2x1
12、2cos 2x.2(2018 佛山质检)sin 50(1 3tan 10)_.【答案】1【解析】sin 50(1 3tan 10)sin 501 3 sin 10cos 10 sin 50cos 10 3sin 10cos 10 sin 50212cos 10 32 sin 10cos 10 2sin 50cos 50cos 10sin 100cos 10 cos 10cos 101.命题角度 2 三角函数的求值 1(2018 合肥联考)已知，为锐角，cos 17，sin()5 314，则 cos _.【答案】12【解析】为锐角，sin 11724 37.，0，2，0.又sin()2.cos(
13、)1114.cos cos()cos()cos sin()sin 1114175 314 4 37 499812.2(2018 哈尔滨模拟)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2 的值为_【答案】34 【解析】tan tan()tan tan 1tan tan 121711217130，00，022.tan(2)tan 2tan 1tan 2 tan 3417134171.tan 170，2，20.234.命题角度 3 三角恒等变换的应用 (2016 天津，15)已知函数 f(x)4tan xsin2x cosx3 3.(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(
14、x)在区间4，4 上的单调性【解】(1)f(x)的定义域为xx2k，kZ.f(x)4tan xcos xcosx3 3 4sin xcosx3 3 4sin x12cos x 32 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1cos 2x)3 sin 2x 3cos 2x2sin2x3，所以 f(x)的最小正周期 T22.(2)令 z 2x 3，则 函 数 y 2sin z 的 单 调 递 增 区 间 是22k，22k，kZ.由22k2x322k，kZ，得 12kx512k，kZ.设 A4，4，Bx 12kx512k，kZ，易知 AB 12，4.所以当 x4
15、，4 时，f(x)在区间 12，4 上单调递增，在区间4，12 上单调递减 微技探究 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征 2三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点 1.(2018 淄博模拟)若 tan 1tan 32，4，2，则 sin24的值为()A 25B 25C 210D 210【答案】D【解析】由 tan 1tan 32，得 2tan23tan 20，即 tan 2 或 tan 12.4，2，tan 2.则 sin 2 2tan 1tan2 2212245，cos 21tan2
16、1tan2141435.sin24 sin 2cos 4cos 2sin 4 45 22 35 22 210.故选 D.2.(2018 湖北宜昌模拟)已知 sin6 13，则 cos23 2 的值是()A79B13C13D79【答案】A【解析】cos23 2 cos32 cos26 12sin26 129 79.故选 A.3.(2018 山西太原模拟)已知 sin 55，sin()1010，均为锐角，则()A 512B3C4D6【答案】C【解析】cos 1sin22 55，cos()1sin23 1010，sin sin()sin cos()cos sin()553 1010 2 55 101
17、0 22.为锐角，4.故选 C.4.(2017 浙江，18)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR)(1)求 f23 的值；(2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间【解】(1)f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(cos2xsin2x)32sin xcos x(cos 2x 3sin 2x)212cos 2x 32 sin 2x 2sin 6cos 2xcos 6sin 2x 2sin2x6，所以 f23 2sin223 6 2sin 32 2.(2)设 f(x)的最小正周期为 T，则 T22.因为 ysin x 的单调减区间为2k2，2k
18、32，kZ，所以由 2k22x62k32，kZ，得 2k32x2k43，kZ，得 k6xk23，kZ，所以 yf(x)2sin2x6 的单调递增区间为k6，k23，kZ.答题模板 逆向思维构造辅助角公式解题【典例】已知函数 f(x)2cos x(sin xcos x)(1)求 f54 的值；(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间【规范解答】(1)f54 2cos 54 sin 54 cos 54 2cos 4sin 4cos 4 2.(2)因为 f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1，(7 分)2sin2x4 1，所以 T22.(9 分)由 2k22x4
19、2k2，kZ，得 k38 xk8，kZ，(11 分)所以 f(x)的单调递增区间为k38，k8，kZ.(12 分)微技探究 1.利用 asin xbcos x a2b2sin(x)，把形如 yasin xbcos xk 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等 2化 asin xbcos x a2b2sin(x)时 的求法：tan ba；所在象限由(a，b)点确定【答题模板】第一步：将 f(x)化为 asin xbcos x 的形式 第二步：构造 f(x)a2b2aa2b2sin xba2b2cos x.第三步：和差公式逆用 f(x)a2b2si
20、n(x)(其中 为辅助角)第四步：利用 f(x)a2b2sin(x)研究三角函数的性质 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范 注意：化简时公式的准确应用是灵魂；研究三角函数性质时注意整体思想的应用 已知函数 f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)当 2，时，若 f()22，求 的值【解】(1)因为 f(x)(2cos2x1)sin 2x12cos 4x cos 2xsin 2x12cos 4x12(sin 4xcos 4x)22 sin4x4，所以 f(x)的最小正周期为2，最大值为 22.(2)因为 f()22，所以
21、sin44 1.因为 2，所以 4494，174.所以 4452.故 916.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018 全国，11)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 223，则|ab|()A15B 55C2 55D1【答案】B【解析】由 cos 223，得 cos2sin223，cos2sin2cos2sin223，即1tan21tan223，tan 55，即ba21 55，|ab|55.故选 B.2(2018 全国，4)若 sin 13，则 cos 2()A89B79C79D89【答案】B【解析】sin 13，co
22、s 212sin21213279.故选B.3(2017 全国，4)已知 sin cos 43，则 sin 2()A79B29C29D79【答案】A【解析】sin 22sin cos sin cos 21179.4(2018 全国，15)已知 tan54 15，则 tan _.【答案】32【解析】tan54 tan4 tan 11tan 15，解得 tan 32.5(2017 全国，15)已知 0，2，tan 2，则 cos4 _.【答案】3 1010 【解析】0，2，tan 2sin cos 2sin 2cos，又 sin2cos21，解得 sin 2 55，cos 55，cos4 22(cos sin)3 1010.