1、1.1 集合及其运算考纲要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算 1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：_、_、_(2)元素与集合的关系是_或_两种，用符号_或_表示(3)集合的表示法：_、_、_ 确定性互异性无序性属于不属于列举法
2、描述法图示法(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 _ _ _ _ _ NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为_个，非空子集个数为_个，真子集有_个(2)集合A是其本身的子集，即_(3)子集关系的传递性，即AB，BC_(4)AAAA_，A_，A_，UU_，U_(5)ABAB_AB_ 2n2n12n1AAACAAUAB【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(2)若x2，10，1，则x0，
3、1.()(3)x|x1t|t1()(4)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立()(5)若ABAC，则BC.()(6)含有n个元素的集合有2n个真子集()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1(2016课标全国)已知集合A1，2，3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，则AB()A1 B1，2 C0，1，2，3D1，0，1，2，3【解析】由(x1)(x2)0，解得1x2，又xZ，B0，1A1，2，3，AB0，1，2，3故选C.【答案】C 2(2016课标全国)设集合 Ax|x24x30，Bx|2x30，则 AB()A.3，32B.3，32C.1，32D.32，3【解析】Ax|x
4、24x30 x|(x3)(x1)0 x|1x3，Bx|2x30 xx32，ABx32x3.故选 D.【答案】D3(2017黑龙江哈尔滨六中月考)设Ax|2x6，Bx|2axa3，若BA，则实数a的取值范围是()A1，3B3，)C1，)D(1，3)【答案】C【解析】因为 Ax|2x6，Bx|2axa3，且 BA，所以当 B时，2aa3，解得 a3；当 B时，a36，2a2，2aa3，解得 1a3.所以 a 的取值范围是a|1a3 或 a3a|a1故选 C.4(2017浙江宁波模拟)已知集合M1，m，Nn，log2n，若MN，则(mn)2 017_ 【答案】1或0【解析】因为 MN，所以n1，lo
5、g2nm或nm，log2n1，即n1，m0或n2，m2.故(mn)2 0171 或 0.5(2016江苏)已知集合A1，2，3，6，Bx|2x3，则AB_【解析】由交集定义可得AB1，2【答案】1，2题型一 集合的含义【例1】(1)设集合A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，则M中的元素个数为()A3 B4 C5D6(2)(2017厦门模拟)已知Px|2xk，xN，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为_【解析】(1)aA，bB，xab为145，15246，25347，358.共4个元素(2)因为P中恰有3个元素，所以P3，4，5，故k的取值范围为5k6.【答案】(1)B(2)(
6、5，6【方法规律】(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性 跟踪训练1(1)(2017重庆万州考前模拟)设集合A1，0，2，Bx|xA，2xA，则B()A1B2 C1，2D1，0(2)(2017河南重点中学联考)已知集合M1，2，N3，4，5，Px|xab，aM，bN，则集合P的元素个数为()A3B4 C5D6【解析】(1)当x1时，2x3A，此时x1B；当x0时，202A；当x2时，220A.所以B1故选A.(2)因为aM，bN，所以a1或2
7、，b3或4或5.当a1时，若b3，则x4；若b4，则x5；若b5，则x6.同理，当a2时，x5或6或7.根据集合中元素的互异性可知，xab的取值为4，5，6，7，所以P4，5，6，7故选B.【答案】(1)A(2)B 题型二 集合间的基本关系【例2】(1)(2017山西考前质量检测)已知集合M1，2，3，4，则集合Px|xM且2xM的子集有()A8个 B4个 C3个 D2个(2)已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_【答案】(1)B(2)(，3【解析】(1)由题意，得 P3，4，所以集合 P 的子集有224 个(2)BA，若 B，则 2m1m1，此时 m2.若
8、B，则2m1m1，m12，2m15.解得 2m3.由、可得，符合题意的实数 m 的取值范围为(，3【方法规律】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题 跟踪训练2(1)(2017东北三省三校第二次联考)设集合Mx|x22x30，xZ，则集合M的真子集个数为()A8B7 C4D3(2)(2017南宁模拟)已知集合Mx|x22x30，Nx|xa，若MN，则实数a的取值范围是()A(，1B(，1)C3，)D(3，
9、)【解析】(1)由题意，Mx|(x1)(x3)0，xZx|1x3，xZ0，1，2，所以集合M的真子集个数为2317.(2)Mx|(x3)(x1)0(1,3)，又MN，因此有a1，即实数a的取值范围是(，1【答案】(1)B(2)A 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算【例3】(1)(2016课标全国)设集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，则ST()A2，3B(，23，)C3，)D(0，23，)(2)(2016四川)设集合Ax|2x2，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是()A3B4 C5D6【解析】(1)Sx|x2或x3，Tx|x0，ST(0，23，)(2)由集合的运算可得AZ2，
10、1，0，1，2，所以AZ中元素的个数为5.故选C.【答案】(1)D(2)C(2)集合Mx|1x2，Ny|ya，若MN，则实数a的取值范围一定是()A1a2Ba2 Ca1Da1 命题点 2 利用集合运算求参数【例 4】(1)已知集合 A1，3，m，B1，m，ABA，则 m 等于()A0 或 3B0 或 3C1 或 3D1 或 3【答案】(1)B(2)D【解析】(1)由 ABA 得 BA，有 mA，所以有 m m或 m3，即 m3 或 m1 或 m0，又由集合中元素的互异性知m1，故选 B.(2)Mx|1x2，Ny|ya，且 MN，如图只要 a1 即可【方法规律】(1)一般来讲，集合中的元素若是离
11、散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化 跟踪训练 3(1)(2017河北衡水中学七调)已知全集 UR，集合 Ax|ylog2(x22x)，By|y1 x，那么 A(UB)()Ax|0 x1Bx|x0Cx|x2Dx|1x2(2)(2017吉林吉大附中第一次摸底)设UR，已知集合Ax|x1，Bx|xa，且(UA)BR，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，1 C(1，)D1，)【解析】(1)由题意Ax|x22x0 x|0 x2，By|y1，UBy|y1，所以A(UB)x|
12、0 x1故选A.(2)因为Ax|x1，所以UAx|x1，在数轴上作出集合UA与B，易知当a1时，满足(UA)BR.故选B.【答案】(1)A(2)B 题型四 集合的新定义问题【例5】(2017山东青岛检测)若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：X属于，空集属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑已知集合Aa，b，c，对于下面给出的四个集合：，a，c，a，b，c；，a，c，b，c，a，b，c；，a，a，b，a，c；，a，c，b，c，c，a，b，c 其中是集合A上的一个拓扑的集合的所有序号是_【解 析】，a，c，a，b，c，因 为aca，
13、c，故不是集合X的一个拓扑；同也不是集合X上的一个拓扑；因为a，ba，ca，b，c，故不是集合X上的一个拓扑；满足集合X上的一个拓扑的集合的定义故答案为.【答案】【方法规律】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)合理利用集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处还是合理利用集合的运算与性质 跟踪训练4(2015湖北)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB
14、(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77B49 C45D30【答案】C【解析】如图，集合 A 表示如图所示的所有圆点“”，集合 B 表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合 AB显然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点(3，3)，(3，3)，(3，3)，(3，3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合 AB 表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共 45 个故 AB 中元素的个数为 45.故选 C.易错警示系列1 遗忘空集致误【典例】设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR若BA
15、，则实数a的取值范围是_【易错分析】集合B为方程x22(a1)xa210的实数根所构成的集合，由BA，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽视方程无解，即B的情况，导致漏解【解析】因为 A0，4，所以 BA 分以下三种情况：当 BA 时，B0，4，由此知 0 和4 是方程 x22(a1)xa210 的两个根，由根与系数的关系，得 4（a1）24（a21）0，2（a1）4，a210，解得 a1；当 B且 BA 时，B0或 B4，并且 4(a1)24(a21)0，解得 a1，此时 B0满足题意；当 B时，4(a1)24(a21)0，解得 a1.综上所述，所求实数 a 的取值范围是 a1 或
16、 a1.【答案】(，11 方法与技巧 1集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化 2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到 3对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现 失误与防范 1解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算 2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解 3解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系 4Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
