1、汕头市金山中学2023届高三第一学期第二次月考数 学一、单选题1己知i为虚数单位，则在复平面上对应的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2集合，若，则实数的取值范围是( )ABCD3直线，平面，则“且”是“”的( )条件A充分不必要B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要4分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路. 下图是按照的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是( )A89 B55C34 D1445将6名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，其中教师甲不能去
2、A学校，则不同的安排方案的种数是( )A540 B360 C240 D1806函数的图象大致为( )7设函数，若是从0，1，2三个数中任取一个，是从1，2，3，4，5五个数中任取一个，那么恒成立的概率是( )ABCD8sin10的值落在区间( )中ABCD二、多选题9如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”，下列函数是“交汇函数”的是( )ABCD10如图，正方体的棱长为1，点是线段上的动点，则( )A与不垂直B二面角的大小为定值C三棱锥的体积为定值D若是对角线上一动点，则长度的最小值为11已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是是双曲线上异于的任意一点，给出
3、下列结论，其中正确的是( )AB直线的斜率之积等于定值C使得为等腰三角形的点有且仅有四个D若，则12已知函数，下列选项正确的是( )A函数在(-2，1)上单调递增B函数的值域为C关于的方程有3个不等的实数根，则实数的取值范围是D不等式在恰有两个整数解，则实数的取值范围是三、填空题13中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象如图(1)是八卦模型图，将其简化成图(2)的正八边形，若，则=.14已知函数，若至少存在两个不相等的实数使得，则实数的取值范围是15如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点）篮球的影子是椭圆，篮球的接触点（切点）
4、就是影子椭圆的焦点桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率=.16若函数恰有两个零点，则的值为.四、解答题17已知数列的各项均为正数，记为的前项和，且(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：(2)当时，求证：18某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的
5、分布列和期望19在锐角三角形中，角所对的边分别为，且(1)求； (2)求的取值范围20如图1，在边长为4的菱形中，点分别是边的中点，沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；(2)当四棱锥体积最大时，在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由21已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影分别为点若，其中为原点，为右顶点.为离心率(1)求椭圆的方程；(2)连接，试探索当变化时，直线是否相交于一定点若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明：否则说明理由22已知函数(1)若函数有三
6、个零点，求的取值范围(2)若，证明：数学参考答案1-8AABCB DAB 9BD 10BCD 11BD 12ACD1314151617解：(1)且，当时，又，所以，数列是以为首项，公差为1的等差数列，所以当时，又满足上式，数列的通项公式为(2)当时，.故所以对，都有18解：(1)记事件A为至少有1人通过手机收看，则(2)依题意，则的可能取值为0，1，2，3，所以；.所以的分布列为：0123所以19解：由条件知，即，即由角为锐角知，联立解得故由为锐角三角形知，即，即.20解：(1)在翻折过程中总有平面平面，证明如下：点分别是边,的中点，又，且是等边三角形，是的中点，菱形的对角线互相垂直，平面平面
7、平面平面平面，平面平面(2)由题意知，四边形为等腰梯形，且，所以等腰梯形的面积，要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，当平面时，点到平面的距离的最大值为假设符合题意的点存在以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，又，又，且，平面，平面，平面，故平面的一个法向量为，设，故，平面的一个法向量为，则，即令，所以，则平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，即，解得：，故符合题意的点存在且为线段的中点21解：(1)椭圆的方程为，过定点(1，0)，由题意可得，由，可得，即，则，所以，所以椭圆的方程为(2)当时，直线垂直于轴，可得四边形为矩形，直线，所以直线相交
8、于点，猜想定点当时，分别设的坐标为，由题意可得由，可得，由，得，又，则，即，所以三点共线.同理可得三点共线.综上，直线相交于一定点22解：(1)令换元得函数，然后通过导数求极值，根据与函数图象有三个交点可得；(2)构造函数，通过导数研究在区间上的单调性，然后由单调性结合己知可证(1)令，则，记令，得当时，时，时，所以当时，取得极大值，时，取得极大值，因为函数有三个零点与有三个交点，所以，即的取值范围为(2)记记则记则易知在区间上单调递增，所以所以在区间上单调递增，所以所以在区间上单调递增，所以所以在区间上单调递增因为，记所以由(1)可知，所以，即又，所以因为，所以由(1)知在区间(0，1)上单调递增，所以，即所以
