1、学案5 和角公式、倍角公式和半角公式考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3返回目录考 纲 解 读 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.考 向 预 测 在选择题、填空题以及解答题中出现最多的题型就是三角求值问题.解答这类题目需要重视应用三角公式对三角式进行变换，需要有熟练的恒等变形能力，故求值题仍将是今后命题的重点内容.返回目录返回目录1.cos
2、(-)=coscos+sinsin(C(-)cos(+)=(C(+)sin(-)=sincos-cossin(S(-)sin(+)=(S(+)tan(-)=(T(-)tan(+)=(T(+)tantan1tan-tan tantan-1tantan coscos-sinsin sincos+cossin 前面4个公式对任意的,都成立,而后面两个公式成立的条件是k+,k+,kZ,且+k+(T(+)需满足),-k+(T(-)需满足)kZ时成立,否则是不成立的.当tan,tan或tan()的值不存在时,不能使用公式T()处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法求解.2.要辨证地看待和角与差角,根据需要
3、,可以进行适当的变换:=(+)-,=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-)等.2222返回目录返回目录3.二倍角公式sin2=;cos2=;tan2=.4.半角公式sin =;cos =;tan =.2sincos cos2-sin2 2cos2-1 1-2sin2 tan2-12tan2a2a2a2cos-12cos+1cos+1cos-15.函数f()=acos+bsin(a,b为常数),可以化为f()=或f()=,其中可由a,b的值唯一确定.)sin(ba22)cos(ba22 返回目录【分析】注意角之间的关系,切化弦,从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异,寻找解题思路,同
4、时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉.考点1 三角函数的化简求值求2sin50+sin10(1+tan10)的值.3o2802sin返回目录【解析】原式=2sin50+sin10(1+)sin80=(2sin50+sin10)sin80=(2sin50+2sin10)cos10=(2sin50+)cos10=2cos10=2 sin60=2 =.cos10sin103oo2 cos10sin103cos10ooo 22 cos10sin103cos1021ooo2 cos10sin402sin10ooo 2 cos102sin60oo22236返回目录对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角
5、,解决这类问题的基本思路有:(1)化为特殊角的三角函数值;(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.返回目录求下列各式的值:（1）;（2）sin8sin15-cos7 sin8cos15sin7+.cos55cos50cos40cos35)tan103(1cos102sin50+返回目录3230tan130tan1)3045tan(15tancos8cos15cos8sin15sin8sin15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8cos15cos8sin15sin8sin15-)8-cos(15sin8cos15)8-sin(15-
6、(1)原式返回目录.225cos5cos225cos95sin22cos5)2250cos2250(sin22cos550cos22sin50cos5)2310sin2110(cos22sin50)35cos(40sin103cos102sin50sin40sin35cos40cos35)cos10sin103(1cos102sin50=+=+=+=+=+=-（2）原式返回目录已知tan=-,cos=,(0,).(1)求tan(+)的值；(2)求函数f(x)=sin(x-)+cos(x+）的最大值.考点2 三角函数的给值求值问题55312【分析】(1)先求出tan的值,再求tan(+)的值.(
7、2)求出,的正、余弦，再展开化简.返回目录【解析】(1)由cos=,=(0,),得sin=,tan=2,所以tan(+)=1.(2)因为tan=-,(0,),所以sin=,cos=-,f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值为.55315tantan-1tantan55210110355355555525返回目录对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,还要会拆角、拼角等技巧.返回目录已知为第二象限
8、角,sin=,为第一象限角,cos=,求tan(2-)的值.13553【解析】解法一:,为第二象限角,sin=,cos=,tan=.tan2=.为第一象限角,cos=,sin=,tan=,tan(2-)=.tan2tan1tan2tan)2tan(5354sin1243cossin724tan1tan221351312cos125122532045127241512724返回目录解法二：为第二象限角，sin=,cos=.为第一象限，cos=,sin=.故sin2=2sincos=,cos2=1-2sin2=,sin(2-)=sin2cos-cos2sin=-,cos(2-)=cos2cos+s
9、in2sin=-,tan(2-)=.13554sin-121312cos-12532524257325253325204253204)-cos(2)-sin(2返回目录若sin=,sin=,且,为锐角,求+的值.【分析】欲求+,先求+的一个三角函数值,再由,的范围确定出+的值.考点3 给值求角问题551010【解析】,为锐角,且sin=,sin=,cos=,cos=.cos(+)=coscos-sinsin=.又,均为锐角,0+,+=.55101055210103224返回目录(1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,可遵照下列原则:已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值，选
10、正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，），选余弦较好；若角的范围是()，选正弦较好.(2)解这类问题的一般步骤为:求角的某一个三角函数值;确定角的范围;根据角的范围写出所求的角.22,2返回目录已知0 ,0 ,且3sin=sin(2+),4tan =1-tan2 ,求+的值.4242返回目录由4tan =1-tan2 ,得由3sin(+)-=sin(+)+,得tan(+)=2tan,tan(+)=1.又0 ,0 ,0+,+=.22.212122tan2tantan4424返回目录1.巧用公式变形:和差角公式变形:tanxtany=tan(xy)(1tanxta
11、ny);倍角公式变形:降幂公式cos2=,sin2=;配方变形：1sin=（sin cos ）2,1+cos=2cos2 ,1-cos=2sin2 .2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.y=asin+bcos=sin(+)其中tan=有：|y|.2cos212cos21222222ba ab22ba 返回目录3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.4.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化.返回目录5.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本学案要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.返回目录
