1、课时 2 不等式的证明考纲要求 1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明(1)柯西不等式的向量形式：|.(2)(a2b2)(c2d2)(ac bd)2.(3)（x1x2）2（y1y2）2（x2x3）2（y2y3）2（x1x3）2（y1y3）2(通常称为平面三角不等式).2.会用向量递归方法讨论排序不等式.3.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.4.会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n1nx(x1，x0，n 为大于 1 的正整数)，了解当 n 为大于 1 的实数时贝努利不等式也成立.5.会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不等
2、式、柯西不等式求一些特定函数的极值.6.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 2综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过_而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立这是一种_的思考和证明方法 推理论证充分条件执果索因3反证法 先假设要证的命题_，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的_，得到和命题的条件(或已证明的定
3、理、性质、明显成立的事实等)_ 的结论，以说明假设_，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法 不成立推理矛盾不正确4放缩法 证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地_或_，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法 放大缩小5数学归纳法 数学归纳法证明不等式的一般步骤：(1)证明当_时命题成立；(2)假设当_(kN*，且kn0)时命题成立，证明_时命题也成立 综合(1)(2)可知，结论对于任意nn0，且n0，nN*都成立 nn0nknk16柯西不等式(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号当且仅当
4、adbc 时成立柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn 是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当 bi0(i1，2，n)或存在一个数 k，使得aikbi(i1，2，n)时，等号成立1设 a，b，m，nR，且 a2b25，manb5，求 m2n2的最小值【解析】根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，m2n2的最小值为 5.2若 a，b，c(0，)，且 abc1，求 a b c的最大值【解析】(a b c)2(1 a1 b1 c)2(121212)(abc)3.
5、当且仅当 abc13时，等号成立(a b c)23.故 a b c的最大值为 3.3设 x0，y0，若不等式1x1y xy0 恒成立，求实数 的最小值【解析】x0，y0，原不等式可化为1x1y(xy)2yxxy.2yxxy22 yxxy4，当且仅当 xy 时等号成立，1x1y（xy）min4，即4，4，即 的最小值为4.题型一 用综合法与分析法证明不等式【例 1】(2017南通二模)(1)已知 x，y 均为正数，且 xy，求证：2x1x22xyy22y3；(2)设 a，b，c0 且 abbcca1，求证：abc 3.【证明】(1)因为 x0，y0，xy0，2x1x22xyy22y2(xy)1（
6、xy）2(xy)(xy)1（xy）2 3 3（xy）21（xy）23，所以 2x1x22xyy22y3.(2)因为 a，b，c0，所以要证 abc 3，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2(当且仅当 abc 时等号成立)成立 所以原不等式成立【方法规律】用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所
7、以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野 跟踪训练 1 设 a、b、c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcac13；(2)a2b b2c c2a1.【证明】(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.(2)因为a2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，故a2b b2c c2a(abc)2(abc)，即a2b b2c
8、c2aabc.所以a2b b2c c2a1.题型二 放缩法证明不等式【例 2】若 a，bR，求证：|ab|1|ab|a|1|a|b|1|b|.【证明】当|ab|0 时，不等式显然成立 当|ab|0 时，由 0|ab|a|b|1|ab|1|a|b|，所 以|ab|1|ab|11|ab|1111|a|b|a|b|1|a|b|a|1|a|b|b|1|a|b|a|1|a|b|1|b|.【方法规律】(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：变换分式的分子和分母，如1k21k（k1），1k21k（k1），1k2k k1，1k2k k1.上面不等式中 kN*，k1；利用函数的单
9、调性；真分数性质“若 0ab，m0，则abambm.”(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度跟踪训练 2 设 n 是正整数，求证：12 1n1 1n2 12n1.【证明】由 2nnkn(k1，2，n)，得 12n 1nk1n.当 k1 时，12n 1n11n；当 k2 时，12n 1n21n；当 kn 时，12n 1nn1n，12 n2n 1n1 1n2 12nnn1.原不等式成立题型三 柯西不等式的应用【例 3】已知 x，y，z 均为实数(1)若 xyz1，求证：3x1 3y2 3z33 3；(2)若 x2y3z6，求 x2y2z2 的最小值【解析】(1)证明 因为(3x
10、1 3y2 3z3)2(121212)(3x13y23z3)27.所以 3x1 3y2 3z33 3.当且仅当 x23，y13，z0 时取等号(2)因为 6x2y3z x2y2z2 149，所以 x2y2z2187，当且仅当 xy2z3即 x37，y67，z97时，x2y2z2 有最小值187.【方法规律】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a21a22a2n)1a21 1a22 1a2n(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意
11、等号成立的条件跟踪训练 3 已知大于 1 的正数 x，y，z 满足 xyz3 3.求证：x2x2y3zy2y2z3xz2z2x3y 32.【证明】由柯西不等式及题意得，x2x2y3zy2y2z3xz2z2x3y (x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)(xyz)227.又(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)6(xyz)18 3，x2x2y3zy2y2z3xz2z2x3y 2718 3 32，当且仅当 xyz 3时，等号成立.证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据(3)在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立(4)柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.
