1、巩固层知识整合提升层题型探究求数列的通项公式【例1】(1)已知等比数列an为递增数列，且aa10，2(anan2)5an1，则数列的通项公式an()A2nB2n1CD(2)已知数列an中，an13an4，且a11，求通项公式(1)A法一：由数列an为递增的等比数列，可知公比q0，而aa100，所以q1，an0.由2(anan2)5an1，得2an2anq25anq，则2q25q20，解得q2或q(舍去)由aa10，得(a1q4)2a1q9，解得a12.因此an2n.法二：由等比数列an为递增数列知，公比q0，而aa100，所以an0，q1.由条件得25，即25，解得q2.又由aa10，得(a1
2、q4)2a1q9，即a1q2，故an2n.(2)解法一：由题意得an3an143(3an24)432an234433an33243443n1a13n243n343443n13n12(3n11)3n2.法二：an13an4，an123(an2)令bnan2，b1a123，数列bn是首项为3，公比为3的等比数列，则bn3n，an3n2.法三：an13an4，an3an14(n2)，得an1an3(anan1)(n2)a2a13416，数列an1an是首项为6，公比为3的等比数列，即an1an63n123n，利用累加法得an3n2.数列通项公式的求法(1)定义法,直接利用等差数列或等比数列的定义求通
3、项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式an求解.(3)累加或累乘法,形如anan1f(n)(n2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如f(n)(n2)的递推式，可用累乘法求通项公式.(4)构造法,如an1AanB可构造ann为等比数列，再求解得通项公式.跟进训练1已知数列an的前n项和Sn2nan，求数列的通项公式an.解由a1S12a1，得a11.当n2时，anSnSn12nan2(n1)an1an2an1，所以anan11，即an2(an12)令bnan2，则bnbn1，且b1121，于是
4、数列bn是首项为1，公比为的等比数列，所以bn1，故an2.等差、等比数列的基本运算【例2】等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.思路探究(1)利用方程思想求出首项和公比，从而得通项公式；(2)同样利用方程思想求首项和公差，最后求和Sn.解(1)设an的公比为q，由已知得162q3，解得q2，an22n12n.(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有解得所以bn1612(n1)12n28.所以数列bn的前n项和Sn6n222n.在等差数列和
5、等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.跟进训练2设an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值解(1)an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列，(a38)2(a210)(a46)，(22d)
6、2d(43d)，解得d2，ana1(n1)d102n22n12.(2)由a110，d2，得：Sn10n2n211n，n5或n6时，Sn取最小值30.等差、等比数列的判定【例3】数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)(1)设bnan12an，求证：bn是等比数列；(2)设cn，求证：cn是等差数列思路探究分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明证明(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.2.因为S2a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知bn32n1an12an，所以3.所以cn1cn3，
7、且c12，所以数列cn是等差数列，公差为3，首项为2.等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an1and(常数)an是等差数列；q(q为常数，q0)an是等比数列.(2)中项公式法：2an1anan2an是等差数列；aanan2(an0)an是等比数列.(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列.(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列；SnAqnA(A，q为常数，且A0，q0，q1，nN*)an是等比数列.提醒：前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.
8、若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可.跟进训练3已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.解(1)由an13an1得an13.因为a1，所以是首项为，公比为3的等比数列所以an，因此an的通项公式为an.(2)证明：由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以1，a2 019a2 0201，0，下列结论正确的是()AS2 019S2 020Ba2 019a2 02110；当n2，cn1cn的n的最小值解(1)设等差数列an的公差为d(d0)由得解得ana1(n1)d2n1.(2)由(1)得：bnan2n2n12n，则Snb1b2b3bn135(2n1)222232nn22n12，Snn22n12.(3)由(1)得：cn，Tn1.由得n12.又nN*，n的最小值为13.
