1、广西钦州市第四中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理（含解析）一、选择题1. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的真数与的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值的大小关系.【详解】解：，而，所以，而，所以，综上.故选：C.【点睛】本小题以指数对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质实数大小的比较换底公式不等式中的倒数法则的应用.2. 已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为函数（且）在上是单调函数，所以最大值与最小值之和为，得（舍去），故选C.考点：1、对数函数的性质；
2、2、指数函数的性质.3. 函数f(x)ln(2x)1的零点位于区间()A. (2,3)B. (3,4)C. (0,1)D. (1,2)【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的性质，得到函数为单调递增函数，再利用零点的存在性定理，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，可得函数为单调递增函数，且是连续函数又由f(1)ln 210，f(2)ln 410，根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上故选D.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中合理使用函数零点的存在性定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4. 若定义在R上的偶函数满足，且
3、当时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 的零点个数是（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】B【解析】因为偶函数满足，所以的周期为2，当时，所以当时，函数的零点等价于函数与的交点个数，在同一坐标系中，画出的图象与的图象，如上图所示，显然的图象与的图象有4个交点选B.点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，是中档题根据函数零点和方程的关系进行转化是解答本题的关键5. 已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的零点为，f（0）=-10，f（1）=e-10，0a1函数的零点为b
4、，g（1）=-10，g（2）=ln20，1b2综上可得，0a1b2再由函数在（0，+）上是增函数，可得，故选D点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根6. 函数（其中）的图象不可能是（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】先分析函数的奇偶性，根据与的关系作分类讨论，由此确定出不可能的图象.【详解】因为的定义域为关于原点对称，且，所以偶函数，当时，此时图象
5、如B选项；当时，若，令，时，时，所以在上递减，在上递增，此时图象如A选项；当时，若，又在上均为增函数，所以也增函数，此时图象如D选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式辨别函数的图象，其中涉及分类讨论的思想，难度一般.根据解析式判断函数图象可从函数的奇偶性、单调性、特殊值等方面进行判断.7. 函数的图像大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点，排除，求得函数的导数，由得，得或，此时函数单调递增，排除，故选D.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年
6、高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8. 对于函数f(x)=lg(|x-2|+1)，给出如下三个命题:f(x+2)是偶函数;f(x)在区间(-，2)内是减函数，在区间(2，+)内是增函数;f(x)没有最小值.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性；画出图象，数形结合即可判断函数的单调性以及最值.【详解】因为函数f(x)=lg(|x-
7、2|+1)，所以函数f(x+2)=lg(|x|+1)是偶函数.由y=lg x的图象向左平移1个单位即可得到y=lg(x+1)的图象，再将其进行翻折变换即可得到y=lg(|x|+1)的图象，再将其图象向右平移2个单位即可得到y=lg(|x-2|+1)的图象.数形结合，可知f(x)在区间(-，2)内是减函数，在区间(2，+)内是增函数.由图象可知函数存在最小值为0.所以正确.故选：.【点睛】本题考查对数型复合函数图象的应用，涉及其单调性和最值的求解，属综合基础题.9. 某家具标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）A. 118元B.
8、105元C. 106元D. 108元【答案】D【解析】设进货价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108，故选D.10. 当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】设死亡生物体内原有碳14含量为1，则经过n个半衰期后的含量为，由得：，故选C11. 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足
9、函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是（ ）A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到，从而得到，再将代入即可得到答案.【详解】由题意得，.将代入得，则，当时，.故选：C【点睛】本题主要考查指数函数的实际应用，属于简单题.12. 拟定甲乙两地通话分钟的电话费（单位：元）由给出，其中是不超过的最大整数（如），则甲乙两地通话6.5分钟的电话费为（ ）A. 3.6元B. 3.85元C. 3.96元D. 4.24元【答
10、案】D【解析】【分析】由得，代入函数即可求解.【详解】，故甲乙两地通话6.5分钟的电话费为4.24元.故选：D.【点睛】本题考查由给定函数求函数值，属于基础题.二填空题13. 已知实数、满足，下列五个关系式：，.其中不可能成立的关系式有_个.【答案】【解析】【分析】设，可得出，分、三种情况讨论，利用幂函数在区间上的单调性可得出结论.【详解】设，可得，.（1）当时， 由于幂函数在区间上为减函数，则，即，成立；（2）当时，则，成立；（3）当时，由于幂函数在区间上为增函数，则，即，成立.因此，不可能成立的为.故答案为：.【点睛】本题考查利用幂函数的单调性比较大小，同时也考查了对数式与指数式相互转化，
11、属于中等题.14. 设函数，若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意得:当时, ,且单调递减; 当时, ,且单调递增;所以要使与有且只有两个交点,需15. 若函数的图象经过点，则函数的图象必定经过的点的坐标是_【答案】【解析】函数的图象经过点，故，因为和图像关于y轴对称，故过点，就是将向上平移一个单位，故必定经过的点的坐标是故答案为16. 某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用_年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14
12、.4万元【答案】4【解析】【分析】首先列式表示用在该车上的费用，得到，设，利用零点存在性定理计算的值.【详解】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，化简得.令，易得为单调递增函数，又，所以函数在 上有一个零点，故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元故答案为：4【点睛】本题考查函数与方程的应用，属于基础题型，本题的关键是读懂题意，并能抽象出方程和函数.三、解答题17. 已知（且）.（1）求的值.（2）当（其中，且为常数）时，是否存在最小值?如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由.（3）当时，求满足不等式的的取值范围【答案】（1）0；（2）答案见解析；（3）
13、.【解析】【分析】（1）由函数解析式可推导出为奇函数，利用奇函数即可求值；（2）讨论对数函数中的底数：、，函数的单调性，进而求闭区间上的最小值；（3）由已知不等式结合函数的单调性求的取值范围.【详解】（1）由，得，的定义域为.又，为奇函数，.（2）由.设，则，即.当时，在上是减函数，又，时，有最小值，且最小值为.当时，在上是增函数，又，时，有最小值，且最小值为.综上，当时，存在最小值.当时，的最小值为；当时，的最小值为.（3）由（1）及，得.由，在上是减函数，有，解得.的取值范围是【点睛】本题考查了函数性质，利用奇偶性求值，应用单调性求区间最值、解不等式，属于基础题.18. 已知二次函数（1）
14、判断命题：“对于任意的R（R为实数集），方程必有实数根”的真假，并写出判断过程（2），若在区间及内各有一个零点求实数a的范围【答案】(1) 真命题.理由见解析 (2) a【解析】【分析】（1）“对于任意的，方程必有实数根”是真命题依题意：有实根，对于任意的恒成立，得到必有实根（2）依题意：要使 在区间（ 及内各有一个零点，只须，由此能求出实数的范围【详解】(1)“对于任意的，方程必有实数根”是真命题依题意，有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根(2)依题意，要使yf(x)在区间(1
15、,0)及内各有一个零点，只需即解得a.故实数a的取值范围为.【点睛】本题考查命题的真假判断，求实数a的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化19. 已知函数.（1）画出函数的图象，并写出其单调区间；（2）求方程的解的个数.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)将函数的解析式写成分段函数的形式：，据此绘制函数图象即可，结合函数的图象可得函数的单调增区间为：和函数的单调减区间为：和；(2)结合函数的图象可得当时，方程无解，当或时，方程有1个解，当或或时，方程有2个解，当时，方程有3个解.试题解析：（1）化简可得函数的图象如下：根据图象，可得：函数
16、的单调增区间为：和函数的单调减区间为：和；（2）当时，方程无解，当或时，方程有1个解，当或或时，方程有2个解，当时，方程有3个解.20. 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后，y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？【答案】（1） ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5小时.【解析】【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一
17、段，由于两端函数均过点，代入点的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论.【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为，又由函数的图象经过点，则当时，解得，又由时，解得，所以函数的解析式为.（2）由题意，令，即当时，解得，当时，解得，综上所述，可得实数的取值范围是，所以服药一次后治疗有效的时间是小时.【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.
