1、2.6 对数与对数函数 考纲要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)1对数的概念 如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中叫做对数的底数，_叫做真数 xlogaNNa3对数函数的图象与性质 4.反函数 指数函数yax与对数函数_互为反函数，它们的图象关于直线_对称【思考辨析】判断下 面结论是 否正确(请 在
2、括 号 中打“”或“”)(1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()ylogaxyx【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(3)函数 ylog2x 及 ylog133x 都是对数函数()(4)对数函数 ylogax(a0，且 a1)在(0，)上是增函数()(5)函数 yln 1x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，1，函数图象只在第一、四象限()1(2015湖南)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A
3、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B奇函数，且在(0，1)上是减函数 C偶函数，且在(0，1)上是增函数 D偶函数，且在(0，1)上是减函数【答案】A【解析】易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1 x)f(x)，故 函 数 f(x)为 奇 函 数，又 f(x)ln 1x1x ln1 2x1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选 A.2(2017石家庄模拟)已知 a312，blog1312，clog213，则()Aabc BbcaCcbaDbac【答案】A【解析】a 31，0blog1312log321，clog213log230，故 abc，故选
4、A.3(2017江西八校联考)已知函数 f(x)log2x，x0，3x1，x0，则f(f(1)flog312 的值是()A5 B3C1 D.72【答案】A【解析】由题意可知 f(1)log210，f(f(1)f(0)3012，flog312 3log31213log321213，所以 f(f(1)flog312 5.4(2016山东乳山市模拟)12lg324943 lg 8lg245_【解析】12lg324943lg8lg24512(5lg 22lg 7)43123lg 212(lg 52lg 7)12(lg 2lg 5)12.【答案】125(2015浙江)若alog43，则2a2a_【解析】
5、2a2a2log432log432log2 32log233 3 33 43 3.【答案】43 3题型一 对数式的运算【例 1】(1)设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于()A.10 B10C20 D100(2)lg 5lg 20的值是_【答案】(1)A(2)1【解析】(1)2a5bm，alog2m，blog5m，1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102.m 10.(2)原式lg 100lg 101.【方法规律】在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算 跟 踪
6、训 练 1(1)计 算：（1log63）2log62log618log64_(2)已知 loga2m，loga3n，则 a2mn_【解析】(1)原式 12log63（log63）2log663log6（63）log64 12log63（log63）2（1log63）（1log63）log64【答案】(1)1(2)12 12log63（log63）21（log63）2log64 2（1log63）2log62log66log63log62log62log621.(2)loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2an22312.题型二 对数函数的图象及应用【例2】(1)(2017
7、河南焦作一模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|0y1，则函数yloga|x|的图象大致是()(2)当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是()A.0，22B.22，1C(1，2)D(2，2)【解析】(1)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|0y1，则0a1，由此可知yloga|x|的图象大致是A.(2)方法一 构造函数 f(x)4x 和 g(x)logax，当 a1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知 f12 g12，即 2loga12，则 a 22，所以 a 的取值范围为22，1.【答案】(1)A(2)B 方法二 0 x12
8、，14x2，logax4x1，0a1，排除选项 C，D；取 a12，x12，则有 4122，log12121，显然 4xlogax 不成立，排除选项 A.【方法规律】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 跟踪训练2(1)已知lg alg b0，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图象可能是()(2)(2017石家庄模拟)设方程10 x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x20
9、Bx1x21 Cx1x21D0 x1x21【解析】(1)lg alg b0，ab1，g(x)logbx的定义域是(0，)，故排除A.若a1，则0b1，此时f(x)ax是增函数，g(x)logbx是增函数故选B.(2)构造函数y10 x与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示 因为x1，x2是10 x|lg(x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x21，1x10，则10 x1lg(x1)，10 x2lg(x2)，因此10 x210 x1lg(x1x2)，因为10 x210 x10，所以lg(x1x2)0，即0 x1x21，故选D.【答案】(1)B(2)D 题型三
10、 对数函数的性质及应用命题点 1 比较对数值的大小【例 3】(2017安徽安庆二模)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x(，0时，f(x)为减函数，若 af(20.3)，bf(log124)，cf(log25)，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBcbaCcabDacb【答案】B【解析】函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x(，0时，f(x)为减函数，f(x)在0，)为增函数，bf(log124)f(2)f(2)，120.32log25，cba，故选 B.命题点 2 解对数不等式【例 4】(2016江西名校第三次联考，11)设函数 f(x)log12(x21)8
11、3x21，则不等式 f(log2x)f(log12x)2 的解集为()A(0，2 B.12，2C2，)D.0，12 2，)【解析】f(x)的定义域为 R，f(x)log12(x21)83x21f(x)，f(x)为 R 上的偶函数 易知其在区间0，)上单调递减，令 tlog2x，所以 log12xt，则不等式 f(log2x)f(log12x)2 可化为 f(t)f(t)2，即 2f(t)2，所以 f(t)1，【答案】B 又f(1)log122 8311，f(x)在0，)上单调递减，在R 上为偶函数，1t1，即 log2x1，1，x12，2，故选 B.命题点3 和对数函数有关的复合函数【例5】(
12、2017 江苏淮阴中学期末)已知函数f(x)loga(a2xt)，其中a0且a1.(1)当a2时，若f(x)x无解，求t的取值范围；(2)若存在实数m，n(mn)，使得xm，n时，函数f(x)的值域也都为m，n，求t的取值范围【解析】(1)log2(22xt)xlog22x，22xt2x 无解，等价于 22xt2x恒成立，即 t22x2xg(x)恒成立，即 tg(x)max，求得 g(x)maxg(1)222114，t14.(2)f(x)loga(a2xt)是单调增函数，f（m）m，f（n）n，即a2mtam，a2ntan，问题等价于关于 k的方程 a2kakt0 有两个不相等的实根，令 ak
13、u0，则问题等价于关于 u 的二次方程 u2ut0 在 u(0，)上有两个不相等的实根，即u1u20，u1u20，0，即t0，t14，得 0t14.【方法规律】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件 跟踪训练3(1)设alog32，blog52，clog23，则()AacbBbca CcbaDcab(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为()A1，2)B1，2 C1，)D2，)(3)设函数 f(x)log2x，x0，log12（x），
14、x0，若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，)D(，1)(0，1)【解析】(1)323，12 5，32，log3 3log32log33，log51log52log5 5，log23log22，12a1，0b12，c1，cab.(2)令函数 g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为 xa，要使函数在(，1上递减，则有g（1）0，a1，即2a0，a1，解得 1a2，即 a1，2)，故选 A.【答案】(1)D(2)A(3)C(3)由题意可得a0，log2alog12a或a0，log12（a）log2（a），解得 a1
15、或1a0.高频小考点2 比较指数式、对数式的大小【典例】(1)(2016全国卷)若ab0，0c1，则()AlogaclogbcBlogcalogcb CacbcDcacb(2)(2017商丘模拟)若 a23x，bx2，clog23x，则当 x1时，a，b，c 的大小关系是()AcabBcbaCabcDacb(3)已知 a5log23.4，b5log43.6，c15log30.3，则()AabcBbacCacbDcab【解析】(1)通性通法 因为 0c1，所以 ylogcx 在(0，)单调递减，又 0ba，所以 logcalogcb，故选 B.光速解法 取 a4，b2，c12，则 log4121
16、2log212，排除 A；4122212，排除 C；124122，排除 D；故选 B.(2)x1，023x23，bx21，clog23x0，cab.(3)c15log30.35log30.35log3103.方法一 在同一坐标系中分别作出函数 ylog2x，ylog3x，ylog4x 的图象，如图所示 由图象知：log23.4log3103 log43.6.方法二 log3103 log331，且103 3.4，log3103 log33.4log23.4.log43.6log441，log3103 1，log43.6log3103.log23.4log3103 log43.6.【答案】(1)
17、B(2)A(3)C 由于 y5x 为增函数，5log23.45log3103 5log43.6.即 5log23.415log30.35log43.6，故 acb.【温馨提醒】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧 1对数值取正、负值的规律 当a1且b1或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1或0a1且b1时，logab0.2对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，)对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论 3比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性 4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定 失误与防范 1在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
