1、广东省揭阳市第三中学2020届高三数学下学期第三次测试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合间的交集运算，补集运算求解即可.【详解】，故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.2.是虚数单位，复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算，模长公式求解即可.【详解】，故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及几何意义，属于基础题.3.已知满足则（ ）A. B. C. D.
2、 【答案】B【解析】【分析】根据指数与对数的性质，即可进行判断.【详解】，故故选：B【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小，属于中档题.4.二项式的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二项式展开的通项，求解即可.【详解】通项为令，则，故选：A【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的性质，得出，再结合离心率公式，即可得出答案.【详解】设双曲线的方程为，其渐近线为点在渐近线上，所以，由故选：D【点睛】本题主要考查
3、了求双曲线的离心率，属于中档题.6.某学校开展脱贫攻坚社会实践走访活动，学校安排了2名教师带队，4名学生参与，为了调查更具有广泛性，将参加人员分成2个小组，每个小组由1名教师和2名学生组成，到甲、乙两地进行调查，不同的安排方案共有（ ）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种【答案】A【解析】【分析】将任务分三步完成，在每步中利用组合的方法计算，最后利用分步乘法计数原理，将结果相乘，即可得出答案.【详解】第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选1名老师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有种故选：A【点睛】本题主要考查简单组合问题的求解，
4、属于中档题.7.函数在的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.【详解】因为又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B和D.又，故排除C.故选：A.【点睛】本题考查函数图像的选择，通常结合函数的性质，以及特殊值进行判断即可.8.若满足则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出平面区域，结合目标函数几何意义，求解即可.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示表示该平面区域中的点与确定直线的斜率由斜率的性质得出，当区域内的点为线段上任意一点时，取得最大值.不妨取时，取最大值故选：D【点睛】本题主要
5、考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.9.在ABC中，是中点，是中点，的延长线交于点则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，由平行四边形法则得出，再根据平面向量共线定理得出得出，由，即可得出答案.【详解】设，因为三点共线，则，所以故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.10.已知数列的前n项和为，且对于任意，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可【详解】当时，所以数列从第2项起为等差数列，所以，故选：【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求
6、和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题11.已知圆锥顶点为，底面的中心为，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正三角形的面积，得出圆锥的高为，底面圆的直径为，根据圆锥体积公式即可得出答案.【详解】因为过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形设正三角形边长为，则，解得所以圆锥的高为，底面圆的直径为所以该圆锥的体积为故选：B【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积，属于中档题.12.已知函数，给出下列四个命题：（ ）的最小正周期为 的图象关于直线对称在区间上单调递增 的值域为其中所有
7、正确的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】举反例判断；根据正弦函数的单调性判断；讨论，时，对应的最值，即可得出的值域.【详解】函数，故函数的最小正周期不是，故错误由于， 故的图象不关于直线对称，故排除在区间上，单调递增，故正确当时，故它的最大值为，最小值为当时，综合可得，函数的最大值为，最小值为，故正确故选：C【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效.13.曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率
8、，再利用直线方程的点斜式求出切线方程【详解】ylnx，函数ylnx在x1处的切线斜率为1，又切点坐标为（1，0），切线方程为yx1故答案为yx1【点睛】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键14.设ABC的内角所对的边分别为，若，则_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求解即可.【详解】，由正弦定理得，,，则故答案为【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题.15.设为等比数列的前项和，已知，则公比为为_.【答案】3【解析】【分析】，两式相减，即可得出公比.【详解】，以上相减可得，所以数列的公比为，故答案为3【点睛】本题主要考查了求等比数列的公比，
9、属于基础题.16.已知函数，若实数满足，则_.【答案】【解析】【分析】判断该函数的奇偶性以及单调性，即可求解.【详解】函数的定义域为则为奇函数当时，则函数在上单调递增故，故答案为【点睛】本题主要考查了函数单调性以及奇偶性的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.答案写在试题卷上无效17.在ABC中，角所对的边为，若，点在边上，且，.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求的大小.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根据余弦定理得出，再由三角形面积公式得出，最后利用余弦定理即可得出的长；（2）利用正弦定理，化简得出，利用诱导公
10、式得出，利用正弦函数的性质，即可得出的大小.【详解】（1）又由可得由余弦定理可得，所以因为的面积为，即，所以中,由余弦定理，得所以 （2）由题意得设ADC中，由正弦定理，得 在BCD中，由正弦定理即 由可得即由，解得由解得故或.【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.18.在几何体中，平面，平面，.（1）设平面与平面的交线为直线，求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及线面平行的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为平面，平面所以又因为平面，平面，所以平面平
11、面平面，平面，则又平面，平面所以平面 （2）建立如图所示的空间直角坐标系因为，.所以则，, 设平面的法向量为,则即令，则，所以 设平面的法向量为,则即取，则所以 所以，故二面角的正弦值【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法求面面角，属于中档题.19.某学校开设了射击选修课，规定向、两个靶进行射击：先向靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向靶射击，命中的概率为，向靶射击，命中的概率为，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.（1）求小明同学恰好命中一次的概率；（2）求小明同学获得总
12、分的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据事件的独立性以及互斥事件的性质，求解即可；（2）得出的可能取值，并得出相应的概率，得出分布列，即可得出数学期望.【详解】（1）记：“小明恰好命中一次”为事件C，“小明射击靶命中”为事件, “该射手第一次射击靶命中”为事件，“该射手第二次射击靶命中”为事件，由题意可知，由于； （2）可取，012345.【点睛】本题主要考查了事件独立性的应用以及求离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.20.如图，设是椭圆的左焦点，直线：与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且，过点作斜率为直线与椭圆相交于不同的两点 ，（1）当时，线
13、段的中点为，过作交轴于点，求；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用椭圆的性质得出椭圆方程，根据题意得出直线的方程，直线的方程，进而得出，由距离公式得出；（2）设直线的方程为，当时，当时，设，直线的方程为，联立，利用韦达定理以及弦长公式，得出，利用三角形面积公式，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】（1）, ，又，即, 椭圆的标准方程为点的坐标为，点的坐标为直线方程为即 联立可得，设，则， 所以，直线的斜率为，直线的方程为 令，解得即所以（2）直线的方程为，当时，三角形不存在 当时，设，直线的方程为联立可得，设，解得或， 点到直线的距离 当且仅当，即时（此时适
14、合于0的条件）取等号,所以当时，直线为时，面积取得最大值为.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及三角形面积问题，属于中档题.21.已知函数，（1）讨论的单调性；（2）设，若的最小值为，证明：.【答案】（1）在上单调递增；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数证明单调性即可；（2）利用导数证明在上单调递减，在上单调递增，从而得出， ，结合的单调性，即可证明.【详解】(1)，设；所以在上单调递减，在上单调递增，即 所以在上单调递增(2) ，设， 设，所以在上单调递增，即，所以在上单调递增所以在上恰有一个零点且 在上单调递减，在上单调递增， 由（1）知在上单调递增所以所以【点睛】本题主要考查了
15、利用导数证明函数的单调性，以及利用导数证明不等式，属于较难题.22.在平面坐标系中中，已知直线l的参考方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）.设P为曲线C上的动点，（）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（）求点P到直线l的距离的最小值.【答案】（），（）【解析】【分析】（）由直线的参数方程为为参数），消去参数，可得普通方程由曲线的参数方程为为参数）消去参数，可得曲线直角坐标方程（）设点，则为参数）利用点到直线的距离公式可得：，利用二次函数的单调性即可得出最小值【详解】（）由直线的参数方程为为参数），消去参数，可得：所以直线直角坐标方程为由曲线的参数方程为为参数）消去参数，可得：所以曲线直角坐标方程为（）设点，则为参数）则当时取等号，此时，所以点到直线的距离的最小值为【点睛】本题考查了参数方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.设a、b、c均为正数，（）证明：；（）若，证明.【答案】（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）运用重要不等式，累加可得证明；（）由（）的结论和三个数的完全平方公式，整理可得证明【详解】（）因为，均为正数，由重要不等式可得，以上三式相加可得，即；（）因为，由（）可知，故，所以得证【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题
