1、上海市闵行七校2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1._【答案】【解析】【分析】由,再结合,可求出答案.【详解】由题意,.故答案:0.【点睛】本题考查了极限的计算,考查了学生对极限知识的掌握,属于基础题.2.已知，则与它同向的单位向量_（用坐标表示）【答案】【解析】【分析】求出,与同向的单位向量为,求出即可.【详解】由题意,则与同向的单位向量.故答案为:.【点睛】与同向的单位向量为,相反方向的单位向量为.3.经过点且平行于直线的直线方程是_【答案】【解析】【分析】先求出所求直线的斜率,该直线又过点,可求出该直线的方程.【详解】设所求直线为,直线的斜率为,故直线的方
2、程为,化为一般方程为.故答案为:.【点睛】本题考查了直线方程的求法,考查了平行直线的性质,属于基础题.4.已知数列为等差数列，则_【答案】【解析】【分析】由,可求出答案.【详解】在等差数列中,.故答案为:85.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的应用,考查了等差中项的运用,属于基础题.5.已知向量，则在方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】由在方向上的投影为,计算求解即可.【详解】由题意,设与的夹角为,则在方向上的投影为.故答案为:.【点睛】本题考查了平面向量的投影,考查了向量的数量积的计算,考查了学生的计算能力,属于基础题.6.若数列为等比数列，且，则_【答案】【解析】【分析】由数列是
3、公比为的等比数列，可知也是等比数列,其公比为,利用等比数列的前项和公式可求出答案.【详解】数列是公比为的等比数列，则也是等比数列,公比为,.【点睛】本题考查了等比数列性质,考查了等比数列前项和公式的运用, 考查了学生的计算求解能力,属于基础题.7.若数列的所有项都是正数，且（），则该数列的通项公式_【答案】【解析】【分析】当时,与原式作差可求出的表达式,进而可求出数列的通项公式.【详解】由题意,当时,即,当时,则,化简得,即.经验证时,符合,故数列的通项公式.故答案:.【点睛】本题考查了数列通项公式的求法,要注意验证时是否满足的表达式,属于基础题.8.已知坐标平面内两个不同的点，（），若直线的
4、倾斜角是钝角，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由直线的倾斜角是钝角，可知直线的斜率存在,且,即可得到,求解即可.【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以直线的斜率存在,且,则,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.9.已知无穷等比数列的前项和为，所有项的和为，且，则其首项的取值范围_【答案】【解析】【分析】无穷等比数列的公比满足,而,再结合,可求得,解不等式即可.【详解】设无穷等比数列的公比为,则,因为,所以,则,因为,所以,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了数列极限的应用,考查了学生对极限知识的掌握,要注
5、意公式中,属于中档题.10.在正中，若，则_【答案】【解析】【分析】由可得,利用向量的线性运算可得,再求出和即可.【详解】由题意,则,.故答案为:.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了向量数量积的计算,考查学生的计算能力,属于基础题.11.已知，数列满足，对于任意都满足，且，若，则_【答案】【解析】【分析】由,可先确定数列是以4为周期的数列,进而可得,再由可求出,由可求出,从而可求出答案.【详解】由题意, ,则,故数列的周期为4.,解得,.,.故答案为:.【点睛】本题考查了数列的周期性,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.12.在直角中，是内一点，且，若（），则的最大值为_【答案】【
6、解析】【分析】将两边同时平方,展开计算可得到关于的等式,进而结合基本不等式可求出的最大值.【详解】由题意,.将两边同时平方得:,则,所以,当且仅当时取等号.则,即,故的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积的运用,利用基本不等式求最值是解决本题的一个较好方法.二. 选择题13.等差数列中，公差，且、成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由、成等比数列，可得,即,将代入求解即可.【详解】等差数列中，,因为、成等比数列，所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质,等比中项的运用,考查了学生的计算能力,属于基础题.14.数列中，（），则数
7、列的极限为（ ）A. 0B. 2C. 0或2D. 不存在【答案】D【解析】【分析】分别求出和时,数列的极限,比较发现二者不同,从而可选出答案.【详解】当时,当时,显然,即数列的极限不存在.故选:D.【点睛】本题考查了数列极限的求法,考查了学生的推理能力,属于基础题.15.有下列命题：若与是非零向量，则；若且，则；若，则；其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】结合平面向量的性质,对四个命题逐个分析可选出答案.【详解】对于命题,故命题正确;对于命题,取,此时,显然,故命题不正确;对于命题,取,此时，则和不一定平行；故命题不正确;对于命题,和都表示实数,
8、表示与共线的向量,表示与共线的向量,故和不一定相等,即命题不正确.故正确命题的个数为1.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.16.已知向量和是互相垂直的单位向量，向量满足，其中，设为和的夹角，则（ ）A. 随着的增大而增大B. 随着的增大而减小C. 随着的增大，先增大后减小D. 随着的增大，先减小后增大【答案】B【解析】【分析】分别以和所在的直线为轴和轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系,可得,设,进而可得到的表达式,结合函数的单调性可选出答案.【详解】分别以和所在的直线为轴和轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系,则,设,因为，,所
9、以,则,为和的夹角，,则,显然为减函数,又因为函数在上为增函数,所以随着的增大而减小.故选:B.【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.三. 解答题17.已知，其中、分别是轴、轴正方向同向的单位向量.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若与的夹角为锐角，求的取值范围.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】由题可得与的坐标,（1）利用向量平行的坐标运算,可求出的值；（2）求出,利用可求出的值；（3）设与的夹角为，可得,结合,可求出答案.【详解】由题意,.（1），则,解得;（2）,则,化简得,即.（3）设与的夹角为，
10、则,因为为锐角,所以,即,解得.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了平行向量的性质,考查了向量的模,考查了向量夹角的计算,属于基础题.18.已知数列满足：，.（1）计算数列的前4项；（2）求的通项公式.【答案】（1）、 （2）【解析】【分析】（1）分别将代入,可求得数列的前4项；（2）将等号两端取倒数可得,即证数列是等差数列,由的通项公式可求得的通项公式.【详解】（1）,可得;,可得;,可得.故数列的前4项为、.（2）将等号两端取倒数得,则,即数列是以为首项,公差为1的等差数列,则,即.故的通项公式为.【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法,考查了等差数列的判定,考查了学生的推理能力,
11、属于基础题.19.已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）.（1）若是的中点，求的值；（2）若、三点共线，求证：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）,再结合,可求出;（2）设可得,结合,可得到,从而可证明.【详解】（1）由题意,又,故,即.（2）、三点共线，设,则,又,故,即.【点睛】本题考查了平面向量共线定理的运用,考查了向量的线性运算,考查了学生的推理能力,属于基础题.20.如图，已知点列、（）依次为函数图像上的点，点列、（）依次为轴正半轴上的点，其中（），对于任意，点、构成一个顶角的顶点为的等腰三角形.（1）证明：数列等差数列；（2）证明：为常数，并求出数列
12、的前项和；（3）在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析；（3）存在;的值为，【解析】【分析】（1）利用点列为函数图像上的点，可求出的通项公式,进而可证明结论;（2）与是等腰三角形,可得,两式相减可得到,进而可求得数列的前项和;（3）要使为直角三角形,可得,结合数列的通项公式,分类讨论可求得的值.【详解】（1）点列、（）依次为函数图像上的点，所以,则.故数列是等差数列；（2）与是等腰三角形,可得,相减可得,即为常数.,令,得,因为,所以数列的奇数项可以构成一个以为首项,公差为2的等差数列,数列的偶数项可以构成一个以为
13、首项,公差为2的等差数列,当为奇数时,当为偶数时,则数列的前项和.（3）要使为直角三角形,则,即,当为奇数时,则,即,为奇数,当,得,当,得,时,不符合题意.当为偶数时,则,即,当,得,时,不符合题意.综上所述,存在直角三角形,此时的值为.【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列的求和,考查了三角形知识的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的逻辑推理能力,属于难题.21.已知，对任意，有成立.（1）求的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求正整数，使得对任意，恒成立；（3）设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值.【答案】（1） （2）或 （3）【解析】【分析】（1）由
14、可得,结合平面向量的坐标运算可得到的关系式,再结合可证明数列是等比数列,进而可求出通项公式;（2）将两端同时除以,可得到,从而可证明数列是等差数列,即可求出的表达式,进而求得的通项公式,通过判断其表达式特点,可求出满足题意的正整数;（3）由题得,利用裂项相消求和法可求出,结合不等式的性质,可求出的最小值.【详解】（1）由题可得,则,当时,可得.时,则,即,故数列是以2为首项,公比为2的等比数列,通项公式为.（2）,等式两端同时除以得:,即,故是以为首项,公差为的等差数列,通项公式为,则.因为当，当时,所以当或时,取最大值,对任意，恒成立.（3）由题意,则,故.所以的最小值为.【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示,考查了数列通项公式的求法,考查了利用裂项相消法求数列的前项和，考查了不等式性质的运用,属于难题.
