1、1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标1能根据定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，y1x，y x的导数2能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数知识链接 在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数 yf(x)的导数？答(1)计算yx，并化简；(2)观察当 x 趋近于 0 时，yx趋近于哪个定值；(3)yx趋近于的定值就是函数 yf(x)的导数预习导引1几个常用函数的导数原函
2、数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)1xf(x)1x2f(x)xf(x)12 x2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0，且 a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)1xln a(a0，且 a1)f(x)ln xf(x)1x要点一 利用导数定义求函数的导数例 1 用导数的定义求函数 f(x)2 013x2 的导数解 f(x)limx02 013xx22
3、013x2xxxlimx02 013x22xxx22 013x2xlimx04 026xx2 013x2xlimx0(4 026x2 013x)4 026x.规律方法 解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤(2)当 x 趋于 0 时，kx(kR)、(x)n(nN*)等也趋于 0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用跟踪演练 1 用导数的定义求函数 yx2axb(a，b 为常数)的导数解 ylimx0 xx2axxbx2axbxlimx0 x22xxx2axaxbx2axbxlimx02xxaxx2xlimx0(2xax)2xa.要
4、点二 利用导数公式求函数的导数例 2 求下列函数的导数(1)ysin 3；(2)y5x；(3)y1x3；(4)y4 x3；(5)ylog3x.解(1)y0；(2)y(5x)5xln 5；(3)y(x3)3x4；(4)y4 x3 x34 34x14 344 x；(5)y(log3x)1xln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式跟踪演练 2 求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y12x；(3)yx x；(4)ylog13x.
5、解(1)y8x7；(2)y12xln 1212xln 2；(3)yx xx32，y32x12；(4)y1xln 13 1xln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例 3 求过曲线 ysin x 上点 P6，12 且与过这点的切线垂直的直线方程解 ysin x，ycos x，曲线在点 P6，12 处的切线斜率是：y|x6cos6 32.过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 23，故所求的直线方程为 y12 23x6，即 2x 3y 32 30.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于1 是解题的关键跟踪演练 3 已知点 P(1,1)，点 Q(2,4)是
6、曲线 yx2 上的两点，求与直线 PQ 平行的曲线 yx2 的切线方程解 y(x2)2x，设切点为 M(x0，y0)，则 y|xx02x0，又PQ 的斜率为 k41211，而切线平行于 PQ，k2x01，即 x012，所以切点为 M12，14.所求的切线方程为 y14x12，即 4x4y10.1已知 f(x)x2，则 f(3)()A0 B2xC6 D9答案 C解析 f(x)x2，f(x)2x，f(3)6.2函数 f(x)x，则 f(3)等于()A.36B0 C 12 xD 32答案 A解析 f(x)(x)12 x，f(3)12 3 36.3设正弦曲线 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点
7、的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是()A.0，4 34，B0，)C4，34D0，4 2，34答案 A解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l0，4 34，.4曲线 yex 在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_答案 12e2解析 y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为 ye2e2(x2)，即 ye2xe2.当 x0 时，ye2，当 y0 时，x1.S121|e2 12e2.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公
8、式求导如求 y12sin2x2的导数因为 y12sin2x2cos x，所以 y(cos x)sin x.3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1下列结论中正确的个数为()yln 2，则 y12；y1x2，则 y|x3 227；y2x，则 y2xln 2；ylog2x，则 y 1xln 2.A0 B1 C2 D3答案 D解析 yln 2 为常数，所以 y0.错正确2过曲线 y1x上一点 P 的切线的斜率为4，则点 P 的坐标为()A.12，2B12，2或12，2C12，2D12，2答案 B解析 y1x 1x24，x12，故选 B.3已知 f(x)xa，若
9、 f(1)4，则 a 的值等于()A4 B4 C5 D5答案 A解析 f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4函数 f(x)x3 的斜率等于 1 的切线有()A1 条B2 条C3 条D不确定答案 B解析 f(x)3x2，设切点为(x0，y0)，则 3x201，得 x0 33，即在点33，39和点 33，39 处有斜率为 1 的切线5曲线 y9x在点 M(3,3)处的切线方程是_答案 xy60解析 y9x2，y|x31，过点(3,3)的斜率为1 的切线方程为：y3(x3)即 xy60.6若曲线 yx12在点a，a12 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则 a_.答案 64解
10、析 yx12，y12x32，曲线在点a，a12 处的切线斜率 k12a32，切线方程为 ya1212a32(xa)令 x0 得 y32a12；令 y0 得 x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S123a32a1294a1218，a64.7求下列函数的导数：(1)y5 x3；(2)y 1x4；(3)y2sin x212cos2x4；(4)ylog2x2log2x.解(1)y5 x3 x35 35x35135x25355 x2.(2)y1x4(x4)4x414x54x5.(3)y2sinx212cos2x42sin x22cos2x41 2sin x2cos x2sin x，y(sin x
11、)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x)1xln 2.二、能力提升8已知直线 ykx 是曲线 yex 的切线，则实数 k 的值为()A.1eB1eCe De答案 D解析 yex，设切点为(x0，y0)，则y0kx0y0ex0kex0.ex0ex0 x0，x01，ke.9曲线 yln x 在 xa 处的切线倾斜角为4，则 a_.答案 1解析 y1x，y|xa1a1，a1.10点 P 是曲线 yex 上任意一点，则点 P 到直线 yx 的最小距离为_答案 22解析 根据题意设平行于直线 yx 的直线与曲线 yex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 yx 距离最近
12、的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，即 y|xx01.y(ex)ex，ex01，得 x00，代入 yex，得 y01，即 P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为 22.11已知 f(x)cos x，g(x)x，求适合 f(x)g(x)0 的 x 的值解 f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由 f(x)g(x)0，得sin x10，即 sin x1，但 sin x1,1，sin x1，x2k2，kZ.12已知抛物线 yx2，直线 xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解 根据题意可知与直线 xy20 平行的抛物线 yx2 的切线，对
13、应的切点到直线 xy20 的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则 y|xx02x01，所以 x012，所以切点坐标为12，14，切点到直线 xy20 的距离d1214227 28，所以抛物线上的点到直线 xy20 的最短距离为7 28.三、探究与创新13设 f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，试求 f2 014(x)解 f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x
14、)fn(x)，可知周期为 4，f2 014(x)f2(x)sin x1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标1理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识链接 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松我们已经会求 f(x)5 和 g(x)1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？答 利用导数的运算法则预习导引1导数运算法则法则语言叙述f(x)g(x)f(
15、x)g(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数fxgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf
16、(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积要点一 利用导数的运算法则求函数的导数例 1 求下列函数的导数：(1)yx32x3；(2)y(x21)(x1)；(3)y3xlg x.解(1)y(x3)(2x)33x22.(2)y(x21)(x1)x3x2x1，y(x3)(x2)x13x22x1.(3)函数 y3xlg x 是函数 f(x)3x 与函数 g(x)lg x 的差由导数公式表分别得出 f(x)3xln 3，g(x)1xln 10，利用函数差的求导法则可得(3xlg x)f(x)g(x)3xln 31xln 1
17、0.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数跟踪演练 1 求下列函数的导数：(1)y54x3；(2)y3x2xcos x；(3)yexln x；(4)ylg x1x2.解(1)y12x2；(2)y(3x2xcos x)6xcos xxsin x；(3)yexxexln x；(4)y1xln 102x3.要点二 求复合函数的导数例 2 求下列函数的导数：(1)yln(x2)；(2)y(1sin x)2；解(1)yln u，ux2yxyuux(ln u)(x2)1u1
18、 1x2.(2)yu2，u1sin x，yxyuux(u2)(1sin x)2ucos x2cos x(1sin x)规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导(4)善于把一部分表达式作为一个整体(5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤跟踪演练 2(1)ye2x1；(2)y(x2)2.解(1)yeu，u2x1，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)法一 y(x2)2x4 x4，yx(4
19、x)41412x121 2x.法二 令 u x2，则 yxyuux2(x2)(x2)2(x2)12 1x0 1 2x.要点三 导数的应用例 3 求过点(1，1)与曲线 f(x)x32x 相切的直线方程解 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x0)3x202故切线方程为 yy0(3x202)(xx0)(x0，y0)在曲线上，y0 x302x0 又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x302x0)(3x202)(1x0)解得 x01 或 x012.故所求的切线方程为 y1x1 或 y154(x1)即 xy20 或 5x4y10.规律方法(1，1)虽然在曲线上，但是经过该点的切
20、线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解跟踪演练 3 已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)t1t2 2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求 t3 s 时物体的瞬时速度解 s(t)t1t2 2t2 tt21t22t21t1t22t2，s(t)1t221t34t，s(3)19 2271232327，即物体在 t3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1下列结论不正确的是()A若 y3，则 y0B若 f(x)3x1，则 f(1)3C若 y xx，则 y 12 x1D若 ysin xcos x，则 ycos xsin x答案 D解析 利用求导公式和导数
21、的加、减运算法则求解D 项，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x.2函数 ycos x1x的导数是()A.sin xxsin x1x2Bxsin xsin xcos x1x2Ccos xsin xxsin x1x2Dcos xsin xxsin x1x答案 C解析 ycos x1x sin x1xcos x11x2cos xsin xxsin x1x2.3曲线 y xx2在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案 A解析 yxx2xx2x222x22，ky|x121222，切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.4直
22、线 y12xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b_.答案 ln 21解析 设切点为(x0，y0)，y1x，121x0，x02，y0ln 2，ln 2122b，bln 21.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1设 y2exsin x，则 y等于()A2excos xB2exsin xC2exsin xD2ex(sin
23、 xcos x)答案 D解析 y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x)2当函数 yx2a2x(a0)在 xx0 处的导数为 0 时，那么 x0()AaBaCaDa2答案 B解析 yx2a2x2xxx2a2x2x2a2x2，由 x20a20 得 x0a.3设曲线 yx1x1在点(3,2)处的切线与直线 axy10 垂直，则 a 等于()A2 B12C12D2答案 D解析 yx1x11 2x1，y2x12.y|x312.a2，即 a2.4已知曲线 yx3 在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k3 时的 P 点坐标为()A(2，8)B(1，1)或(1,1)C(2,8)D12
24、，18答案 B解析 y3x2，k3，3x23，x1，则 P 点坐标为(1，1)或(1,1)5设函数 f(x)g(x)x2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_答案 4解析 依题意得 f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24.6已知 f(x)13x33xf(0)，则 f(1)_.答案 1解析 由于 f(0)是一常数，所以 f(x)x23f(0)，令 x0，则 f(0)0，f(1)123f(0)1.7求下列函数的导数：(1)y(2x23)(3x1)；(2)yxsin x2cos x2.解(1)法一 y(2x23)(3x1
25、)(2x23)(3x1)4x(3x1)3(2x23)18x24x9.法二 y(2x23)(3x1)6x32x29x3，y(6x32x29x3)18x24x9.(2)yxsin x2cos x2x12sin x，yx12sin x 112cos x.二、能力提升8曲线 ysin xsin xcos x12在点 M4，0 处的切线的斜率为()A12B12C 22D 22答案 B解 析 y cos xsin xcos xsin xcos xsin xsin xcos x21sin xcos x2，故y|x4 12，曲线在点 M4，0 处的切线的斜率为12.9已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在
26、点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是()A0，4)B4，2)C(2，34 D34，)答案 D解析 y4exex124exe2x2ex1，设 tex(0，)，则 y4tt22t14t1t2，t1t2，y1,0)，34，)10(2013江西)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.答案 2解析 令 tex，则 xln t，所以函数为 f(t)ln tt，即 f(x)ln xx，所以 f(x)1x1，即 f(1)1112.11求过点(2,0)且与曲线 yx3 相切的直线方程解 点(2,0)不在曲线 yx3 上，可令切点坐标为(x0，x30)由题意，所求直线方程的
27、斜率 kx300 x02y|xx03x20，即 x30 x023x20，解得 x00 或 x03.当 x00 时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k0，则所求直线方程是 y0；当 x03 时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k27，则所求直线方程是 y2727(x3)，即 27xy540.综上，所求的直线方程为 y0 或 27xy540.12已知曲线 f(x)x33x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程解 设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率 kf(x0)3x203，切线方程为 y(3x203)x16，又切点(x0，y0)在切线上，y03(x201)x016
28、，即 x303x03(x201)x016，解得 x02，切线方程为 9xy160.三、探究与创新13设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解 由 7x4y120 得 y74x3.当 x2 时，y12，f(2)12，又 f(x)abx2，f(2)74，由，得2ab212ab474.解之得a1b3.故 f(x)x3x.(2)证明 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2知曲线在点 P(x0，y
29、0)处的切线方程为yy013x20(xx0)，即 yx03x0 13x20(xx0)令 x0 得 y6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0.令 yx 得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为126x0|2x0 6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.12 导数的计算12.1 几个常用函数的导数12.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标1能根据定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，y1x，y
30、x的导数2能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数知识链接 在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数 yf(x)的导数？答(1)计算yx，并化简；(2)观察当 x 趋近于 0 时，yx趋近于哪个定值；(3)yx趋近于的定值就是函数 yf(x)的导数预习导引1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)1xf(x)1x2f(x)xf(x)12 x2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(
31、x)c(c 为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0，且 a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)1xln a(a0，且 a1)f(x)ln xf(x)1x要点一 利用导数定义求函数的导数例 1 用导数的定义求函数 f(x)2 013x2 的导数解 f(x)limx02 013xx22 013x2xxxlimx02 013x22xxx22 013x2xlimx04 026xx2 013x2xlimx0(4 026x2 013x)4 026x.规律方法 解答此类问
32、题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤(2)当 x 趋于 0 时，kx(kR)、(x)n(nN*)等也趋于 0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用跟踪演练 1 用导数的定义求函数 yx2axb(a，b 为常数)的导数解 ylimx0 xx2axxbx2axbxlimx0 x22xxx2axaxbx2axbxlimx02xxaxx2xlimx0(2xax)2xa.要点二 利用导数公式求函数的导数例 2 求下列函数的导数(1)ysin 3；(2)y5x；(3)y1x3；(4)y4 x3；(5)ylog3x.解(1)y0；(2)y(5x)5xl
33、n 5；(3)y(x3)3x4；(4)y4 x3 x34 34x14 344 x；(5)y(log3x)1xln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式跟踪演练 2 求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y12x；(3)yx x；(4)ylog13x.解(1)y8x7；(2)y12xln 1212xln 2；(3)yx xx32，y32x12；(4)y1xln 13 1xln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例 3 求
34、过曲线 ysin x 上点 P6，12 且与过这点的切线垂直的直线方程解 ysin x，ycos x，曲线在点 P6，12 处的切线斜率是：y|x6cos6 32.过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 23，故所求的直线方程为 y12 23x6，即 2x 3y 32 30.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于1 是解题的关键跟踪演练 3 已知点 P(1,1)，点 Q(2,4)是曲线 yx2 上的两点，求与直线 PQ 平行的曲线 yx2 的切线方程解 y(x2)2x，设切点为 M(x0，y0)，则 y|xx02x0，又PQ 的斜率为 k41211，而切线
35、平行于 PQ，k2x01，即 x012，所以切点为 M12，14.所求的切线方程为 y14x12，即 4x4y10.1已知 f(x)x2，则 f(3)()A0 B2xC6 D9答案 C解析 f(x)x2，f(x)2x，f(3)6.2函数 f(x)x，则 f(3)等于()A.36B0 C 12 xD 32答案 A解析 f(x)(x)12 x，f(3)12 3 36.3设正弦曲线 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是()A.0，4 34，B0，)C4，34D0，4 2，34答案 A解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l0，4
36、34，.4曲线 yex 在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_答案 12e2解析 y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为 ye2e2(x2)，即 ye2xe2.当 x0 时，ye2，当 y0 时，x1.S121|e2 12e2.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求 y12sin2x2的导数因为 y12sin2x2cos x，所以 y(cos x)sin x.3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基
37、础达标1下列结论中正确的个数为()yln 2，则 y12；y1x2，则 y|x3 227；y2x，则 y2xln 2；ylog2x，则 y 1xln 2.A0 B1 C2 D3答案 D解析 yln 2 为常数，所以 y0.错正确2过曲线 y1x上一点 P 的切线的斜率为4，则点 P 的坐标为()A.12，2B12，2或12，2C12，2D12，2答案 B解析 y1x 1x24，x12，故选 B.3已知 f(x)xa，若 f(1)4，则 a 的值等于()A4 B4 C5 D5答案 A解析 f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4函数 f(x)x3 的斜率等于 1 的切线有()A1 条B
38、2 条C3 条D不确定答案 B解析 f(x)3x2，设切点为(x0，y0)，则 3x201，得 x0 33，即在点33，39和点 33，39 处有斜率为 1 的切线5曲线 y9x在点 M(3,3)处的切线方程是_答案 xy60解析 y9x2，y|x31，过点(3,3)的斜率为1 的切线方程为：y3(x3)即 xy60.6若曲线 yx12在点a，a12 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则 a_.答案 64解析 yx12，y12x32，曲线在点a，a12 处的切线斜率 k12a32，切线方程为 ya1212a32(xa)令 x0 得 y32a12；令 y0 得 x3a.该切线与两坐标
39、轴围成的三角形的面积为S123a32a1294a1218，a64.7求下列函数的导数：(1)y5 x3；(2)y 1x4；(3)y2sin x212cos2x4；(4)ylog2x2log2x.解(1)y5 x3 x35 35x35135x25355 x2.(2)y1x4(x4)4x414x54x5.(3)y2sinx212cos2x42sin x22cos2x41 2sin x2cos x2sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x)1xln 2.二、能力提升8已知直线 ykx 是曲线 yex 的切线，则实数 k 的值为()A.1eB1e
40、Ce De答案 D解析 yex，设切点为(x0，y0)，则y0kx0y0ex0kex0.ex0ex0 x0，x01，ke.9曲线 yln x 在 xa 处的切线倾斜角为4，则 a_.答案 1解析 y1x，y|xa1a1，a1.10点 P 是曲线 yex 上任意一点，则点 P 到直线 yx 的最小距离为_答案 22解析 根据题意设平行于直线 yx 的直线与曲线 yex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 yx 距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，即 y|xx01.y(ex)ex，ex01，得 x00，代入 yex，得 y01，即 P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为
41、 22.11已知 f(x)cos x，g(x)x，求适合 f(x)g(x)0 的 x 的值解 f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由 f(x)g(x)0，得sin x10，即 sin x1，但 sin x1,1，sin x1，x2k2，kZ.12已知抛物线 yx2，直线 xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解 根据题意可知与直线 xy20 平行的抛物线 yx2 的切线，对应的切点到直线 xy20 的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则 y|xx02x01，所以 x012，所以切点坐标为12，14，切点到直线 xy20 的距离d1214227
42、 28，所以抛物线上的点到直线 xy20 的最短距离为7 28.三、探究与创新13设 f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，试求 f2 014(x)解 f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为 4，f2 014(x)f2(x)sin x1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标1理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导
43、法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识链接 前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松我们已经会求 f(x)5 和 g(x)1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？答 利用导数的运算法则预习导引1导数运算法则法则语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加
44、上第一个函数乘上第二个函数的导数fxgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积要点一 利用导数的运算法则求函数的导数例 1 求下列函
45、数的导数：(1)yx32x3；(2)y(x21)(x1)；(3)y3xlg x.解(1)y(x3)(2x)33x22.(2)y(x21)(x1)x3x2x1，y(x3)(x2)x13x22x1.(3)函数 y3xlg x 是函数 f(x)3x 与函数 g(x)lg x 的差由导数公式表分别得出 f(x)3xln 3，g(x)1xln 10，利用函数差的求导法则可得(3xlg x)f(x)g(x)3xln 31xln 10.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数跟
46、踪演练 1 求下列函数的导数：(1)y54x3；(2)y3x2xcos x；(3)yexln x；(4)ylg x1x2.解(1)y12x2；(2)y(3x2xcos x)6xcos xxsin x；(3)yexxexln x；(4)y1xln 102x3.要点二 求复合函数的导数例 2 求下列函数的导数：(1)yln(x2)；(2)y(1sin x)2；解(1)yln u，ux2yxyuux(ln u)(x2)1u1 1x2.(2)yu2，u1sin x，yxyuux(u2)(1sin x)2ucos x2cos x(1sin x)规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(
47、1)中间变量的选取应是基本函数结构(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导(4)善于把一部分表达式作为一个整体(5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤跟踪演练 2(1)ye2x1；(2)y(x2)2.解(1)yeu，u2x1，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)法一 y(x2)2x4 x4，yx(4 x)41412x121 2x.法二 令 u x2，则 yxyuux2(x2)(x2)2(x2)12 1x0 1 2x.要点三 导数的应用例 3 求过点(1，1)与曲线 f(x)x
48、32x 相切的直线方程解 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x0)3x202故切线方程为 yy0(3x202)(xx0)(x0，y0)在曲线上，y0 x302x0 又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x302x0)(3x202)(1x0)解得 x01 或 x012.故所求的切线方程为 y1x1 或 y154(x1)即 xy20 或 5x4y10.规律方法(1，1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解跟踪演练 3 已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)t1t2 2t2(位移单位：m，时间单位：
49、s)，求 t3 s 时物体的瞬时速度解 s(t)t1t2 2t2 tt21t22t21t1t22t2，s(t)1t221t34t，s(3)19 2271232327，即物体在 t3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1下列结论不正确的是()A若 y3，则 y0B若 f(x)3x1，则 f(1)3C若 y xx，则 y 12 x1D若 ysin xcos x，则 ycos xsin x答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解D 项，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x.2函数 ycos x1x的导数是()A.sin xxsin x1x2Bxs
50、in xsin xcos x1x2Ccos xsin xxsin x1x2Dcos xsin xxsin x1x答案 C解析 ycos x1x sin x1xcos x11x2cos xsin xxsin x1x2.3曲线 y xx2在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案 A解析 yxx2xx2x222x22，ky|x121222，切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.4直线 y12xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b_.答案 ln 21解析 设切点为(x0，y0)，y1x，121x0，x02，y0ln 2，ln 2122b，bl
51、n 21.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1设 y2exsin x，则 y等于()A2excos xB2exsin xC2exsin xD2ex(sin xcos x)答案 D解析 y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x)2当函数 yx2a2x(a0)在 xx0 处的导数为 0 时，那么 x0()AaB
52、aCaDa2答案 B解析 yx2a2x2xxx2a2x2x2a2x2，由 x20a20 得 x0a.3设曲线 yx1x1在点(3,2)处的切线与直线 axy10 垂直，则 a 等于()A2 B12C12D2答案 D解析 yx1x11 2x1，y2x12.y|x312.a2，即 a2.4已知曲线 yx3 在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k3 时的 P 点坐标为()A(2，8)B(1，1)或(1,1)C(2,8)D12，18答案 B解析 y3x2，k3，3x23，x1，则 P 点坐标为(1，1)或(1,1)5设函数 f(x)g(x)x2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x
53、1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_答案 4解析 依题意得 f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24.6已知 f(x)13x33xf(0)，则 f(1)_.答案 1解析 由于 f(0)是一常数，所以 f(x)x23f(0)，令 x0，则 f(0)0，f(1)123f(0)1.7求下列函数的导数：(1)y(2x23)(3x1)；(2)yxsin x2cos x2.解(1)法一 y(2x23)(3x1)(2x23)(3x1)4x(3x1)3(2x23)18x24x9.法二 y(2x23)(3x1)6x32x29x3，y(6x32x29x3)18x24x9.(2)yxsin x
54、2cos x2x12sin x，yx12sin x 112cos x.二、能力提升8曲线 ysin xsin xcos x12在点 M4，0 处的切线的斜率为()A12B12C 22D 22答案 B解 析 y cos xsin xcos xsin xcos xsin xsin xcos x21sin xcos x2，故y|x4 12，曲线在点 M4，0 处的切线的斜率为12.9已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是()A0，4)B4，2)C(2，34 D34，)答案 D解析 y4exex124exe2x2ex1，设 tex(0，)，则 y4tt22
55、t14t1t2，t1t2，y1,0)，34，)10(2013江西)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.答案 2解析 令 tex，则 xln t，所以函数为 f(t)ln tt，即 f(x)ln xx，所以 f(x)1x1，即 f(1)1112.11求过点(2,0)且与曲线 yx3 相切的直线方程解 点(2,0)不在曲线 yx3 上，可令切点坐标为(x0，x30)由题意，所求直线方程的斜率 kx300 x02y|xx03x20，即 x30 x023x20，解得 x00 或 x03.当 x00 时，得切点坐标是(0,0)，斜率 k0，则所求直线方程是 y0；当
56、x03 时，得切点坐标是(3,27)，斜率 k27，则所求直线方程是 y2727(x3)，即 27xy540.综上，所求的直线方程为 y0 或 27xy540.12已知曲线 f(x)x33x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程解 设切点为(x0，y0)，则由导数定义得切线的斜率 kf(x0)3x203，切线方程为 y(3x203)x16，又切点(x0，y0)在切线上，y03(x201)x016，即 x303x03(x201)x016，解得 x02，切线方程为 9xy160.三、探究与创新13设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7
57、x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解 由 7x4y120 得 y74x3.当 x2 时，y12，f(2)12，又 f(x)abx2，f(2)74，由，得2ab212ab474.解之得a1b3.故 f(x)x3x.(2)证明 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为yy013x20(xx0)，即 yx03x0 13x20(xx0)令 x0 得 y6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0.令 yx 得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为126x0|2x0 6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为定值，此定值为 6.
