1、2016年四川省雅安市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A55iB75iC5+5iD7+5i2已知实数集R，集合A=x|x0或x2，集合B=y|y=，则（RA）B=（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|1x2Dx|0x23已知命题p，q，那么“pq为真命题”是“pq为真命题”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4相距1400m的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3s，已知声速340m/s，则炮弹爆炸点所在曲线的离心
2、率为（）ABCD15图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，A14图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是（）A7B8C9D106已知f（x）=Asin（x+）（A0，0，0），其导函数f（x）的图象如图所示，则f（）的值为（）ABC2D27一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为（）A5和2B5和3C5和4D4和38假设你家订了一份牛奶，送奶工人在早上6：007：00之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上6：307：30之间，则你在离开家前能收到牛
3、奶的概率是（）ABCD9已知直线（是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A60条B66条C72条D78条10已知f（x）=x+xlnx，若存在实数m（2，+），使得f（m）k（m2）成立，则整数k的最小取值为（）A3B4C5D6二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）112log510+log50.25=_12（x2）6的二项展开式中x2的系数为_（用数字表示）13若a1，b0，且a+b=2，则+的最小值为_14在ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=_15定义在R上的偶函数f（x）满足对任意xR，有f（x+2
4、）=f（x）f（1），且当x2，3时，f（x）=x2+6x9，若函数y=f（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有3个零点，则实数a的取值范围是_三、解答题：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16等差数列an中，a2+a3+a4=15，a5=9（）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和Sn17已知函数f（x）=2cos（2x+）2cos2x+1（0）的最小正周期为（）求f（x）的对称中心；（）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若ABC为锐角三角形且f（A）=0，求的取值范围18某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生
5、，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：80，90），90，100），100，110），110，120（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX19圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若DOB的平分线交弧于点G，交弦BD于点E，F为线段BC
6、的中点（）证明：平面OGF平面CAD；（）若二面角CABD为直二面角，且AB=2，CAB=45，DAB=60，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值20设椭圆C： +=1（ab0），其离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为4+2（）求椭圆C的方程；（）设曲线C的上、下顶点分别为A、B，点P在曲线C上，且异于点A、B，直线AP，BP与直线l：y=2分别交于点M，N（1）设直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（2）求线段MN长的最小值21已知函数f（x）=ex2ax，g（x）=ax2+1（aR）（）设函数h（x）=g（x）f（x），其导函数为h（x），若h
7、（x）在0，+）上具有单调性，求a的取值范围；（）在（）的条件下，求证：f（1）+f（）+f（）+f（）n+（nN*）2016年四川省雅安市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A55iB75iC5+5iD7+5i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i故选C2已知实数集R，集合A=x|x0或x2，集合B=y|y=，则（RA）B=（
8、）Ax|1x2Bx|1x2Cx|1x2Dx|0x2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可【解答】解：由B中y=0，得到B=y|y0，实数集R，A=x|x0或x2，RA=x|0x2，则（RA）B=x|0x2，故选：D3已知命题p，q，那么“pq为真命题”是“pq为真命题”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假【分析】根据pq，pq的真假和p，q真假的关系便可判断由“pq为真命题”能得到“pq为真命题”，而“pq为真命题”得不到“pq为真命题”，从而得出正确选项为A【解答】解：若pq为真命题，则
9、p，q都为真命题，pq为真命题；若pq为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，而如果p，q中只有一个为真命题，则得不到pq为真命题；“pq为真命题”是“pq为真命题”的充分不必要条件故选：A4相距1400m的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3s，已知声速340m/s，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为（）ABCD1【考点】双曲线的应用【分析】设A（700，0）、B、M（x，y）为曲线上任一点，根据|MA|MB|为常数，推断M点轨迹为双曲线，根据题意可知a和c的值，可得炮弹爆炸点所在曲线的离心率【解答】解：设A（700，0）、B、M（x，y）为曲线上任一点，则|MA|MB|=3403=1020
10、1400M点轨迹为双曲线，且a=510，c=700e=故选：B5图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，A14图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图那么算法流程图输出的结果是（）A7B8C9D10【考点】茎叶图；循环结构【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个故选D6已知f（x）=Asin（x+）（A0，
11、0，0），其导函数f（x）的图象如图所示，则f（）的值为（）ABC2D2【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法【分析】求出函数的导函数，利用导函数的周期，求出，利用振幅求出A，利用导函数经过（），求出，得到函数的解析式【解答】解：函数的导函数f（x）=Acos（x+），由图象可知f（x）的周期为4所以=又因为A=2所以A=4函数经过（），所以2=2cos（+），0，所以=，即=所以f（x）=4sin（+）所以f（）=4sin（x+）=2故选C7一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为（）A5和2B5和3C5和4D4和
12、3【考点】由三视图求面积、体积【分析】观察多面体的三视图，确定出多面体的面数与这些面中直角三角形个数即可【解答】解：根据多面体的三视图可得几何体OABCD，如图所示，则这个多面体的面数5，分别为面OAD，面OAB，面OBC，面OCD，面ABCD；这些面中直角三角形的个数3，根据三视图得：RtOAD，边长分别为2，4，2；RtOAB，边长分别为2，2，2；RtOBC，边长分别为2，2，2故选：B8假设你家订了一份牛奶，送奶工人在早上6：007：00之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上6：307：30之间，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】设送报人到达的
13、时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可【解答】解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示所求概率P=1=；故选：D9已知直线（是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A60条B66条C72条D78条【考点】直线与圆相交的性质【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考查圆上横坐标和纵坐标均为整数的点的个数，结合排列组合
14、知识分类解答【解答】解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆x2+y2=100上的整数点共有12个，分别为（6，8），（6，8），（8，6），（8，6），（10，0），（0，10），前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成C122=66条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条综上可知满足题设的直线共有52+8=60条，故选A10已知f（x）=x+xlnx，若存在实数m（2，+），使得f（m）k（m2）成立，则整数k的最小取值为（）A3B4C5D6【考点】利用导数研
15、究函数的单调性【分析】由所给不等式可以等价为新函数F（m）=m+mlnmk（m2），m2，F（m）0恒成立，对F（m）求导，由导函数得到极大值，只需要极大值小于0即可【解答】解：存在实数m（2，+），使得f（m）k（m2）成立，题干等价于：当m2时，不等式m+mlnmk（m2）恒成立，记F（m）=m+mlnmk（m2），m2，即有F（m）0恒成立令F（m）=0，解得m=ek2，F（m）max=F（m）极大值=F（ek2）=2kek2，当k=2时，F（m）max=410不合题意，当k=3时，F（m）max=6e0不合题意，当k=4时，F（m）max=8e20不合题意，当k=5时，F（m）max=
16、10e30合题意，整数k的最小值为：5故选：C二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）112log510+log50.25=2【考点】对数的运算性质【分析】根据对数运算法则nlogab=logabn和logaM+logaN=loga（MN）进行求解可直接得到答案【解答】解：2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故答案为：212（x2）6的二项展开式中x2的系数为15（用数字表示）【考点】二项式系数的性质【分析】根据二项展开式的通项公式Tr+1，令x项的次数为2，求出r的值，再计算含x2的系数【解答】解：（x2）6的二项展开式的通项公式
17、为：Tr+1=（x2）6r=（1）r，令122r=2，解得r=4；所以展开式中x2的系数为（1）4=15故答案为：1513若a1，b0，且a+b=2，则+的最小值为9【考点】基本不等式【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：a1，b0，且a+b=2，a1+b=1，+=（+）（a1+b）=5+5+2=9，故答案为：914在ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC=【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量的数量积，及余弦定理，即可求得BC的值【解答】解：设，则AB=2， =12acos=1又由余弦定理可得：9=4+a2+4acosa2=3，a=故答案为：15定义在R上的
18、偶函数f（x）满足对任意xR，有f（x+2）=f（x）f（1），且当x2，3时，f（x）=x2+6x9，若函数y=f（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有3个零点，则实数a的取值范围是0a【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理【分析】利用函数是偶函数，求出f（1）=0，然后得出函数的周期，利用函数的周期性，由y=f（x）loga（x+1）=0得到f（x）=loga（x+1），分别作出函数y=f（x）和y=loga（x+1）的图象，利用图象确定a的取值范围【解答】解：偶函数f（x）满足对任意xR，有f（x+2）=f（x）f（1），令x=1得f（1+2）=f（1）f（1），即f
19、（1）=f（1）f（1）=0，则f（x+2）=f（x）f（1）=f（x），即函数是周期为2的周期函数，若x0，1，则x+22，3，则f（x）=f（x+2）=（x1）2，当x1，0，则x0，1，函数f（x）是偶函数，f（x）=f（x）=（x+1）2，由y=f（x）loga（x+1）=0得到f（x）=loga（x+1），分别作出函数y=f（x）和g（x）=loga（x+1）的图象，若a1，则不满足条件（图1）如0a1，要使函数y=f（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点，则满足当x=2时，f（2）=1，g（2）1，即loga（2+1）1，loga31，解得0a故答案为：0a三、解答题
20、：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16等差数列an中，a2+a3+a4=15，a5=9（）求数列an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（）先设出公差为d首项为a1，根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，再解方程组；（）把（）求出的an代入bn求出bn，再求出的表达式，根据式子的特点，利用错位相减法求出此数列的前n项和【解答】解：（）设数列an的公差为d首项为a1，由题意得，即，解得a1=1，d=2，数列an的通项公式an=2n1，（）由（）可得=3n，=n3n，Sn=13+232+333+n3n，3S
21、n=132+233+334+n3n+1，得，2Sn=3+32+33+3nn3n+1=n3n+1=n3n+1，Sn=17已知函数f（x）=2cos（2x+）2cos2x+1（0）的最小正周期为（）求f（x）的对称中心；（）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若ABC为锐角三角形且f（A）=0，求的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理【分析】（）求出f（x）的表达式，根据2x+=k，求出f（x）的对称中心即可；（）先求出A的值，得到B，C的范围，由正弦定理得到=（1+），从而求出其范围即可【解答】解：（）f（x）=2cos（2x+）2cos2x+1=2
22、（cos2xsin2x）2cos2x+1=cos2xsin2x2cos2x+1=2（cos2x+sin2x）+1=2sin（2x+）+1，T=，故=1，f（x）=2sin（2x+）+1，由2x+=k，解得x=，故f（x）的对称中心是（，1）；（）f（A）=0，2sin（2A+）+1=0，解得A=，B+C=，而ABC是锐角三角形，45C90，tanC1，=（1+），tanC1，（，）18某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：80，90），90，100），100，110），110，120
23、（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据频率分布直方图，求出a的值，计算成绩在各分数段内的学生数，计算满足条件的事件的概率即可；（2）根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，求出X的分布列与数学期望即可【解答】解：（1）由频率分布直方图，得；10a=1（+）10=，解得a
24、=；成绩在80，90）分的学生有3610=3人，成绩在90，100）分的学生有3610=6人，成绩在100，110）分的学生有3610=18人，成绩在110，120）分的学生有3610=9人；记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件的事件”，包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在90，100）分之间”，事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=+=；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；P（X=0）=，p（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=
25、；X的分布列为X0123P数学期望为EX=0+1+2+3=219圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若DOB的平分线交弧于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点（）证明：平面OGF平面CAD；（）若二面角CABD为直二面角，且AB=2，CAB=45，DAB=60，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定【分析】（I）利用中位线定理和圆的性质分别证明OFAC，OGAD，故而得出平面OGF平面CAD；（II）连结DG，则可证四边形OADG是菱形，OC平面ABD，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面
26、BCD的法向量和的坐标，则直线FG与平面BCD所成角的正弦值为|cos|【解答】证明：（）OF为ABC的一条中位线，OFAC，又OF平面ACD，AC平面ACD，OF平面ACD又OG为DOB的平分线，OGBD，AB是O的直径，ADBD，OGAD，又OG平面ACD，AD平面ACD，OG平面ACD，又OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，平面OGF平面CAD（）O为AB的中点，COAB，平面CAB平面DAB，平面CAB平面DAB=AB，OC平面ABC，CO平面DAB，又RtDAB中，AB=2，DAB=60，AD=1，又OGAD，OG=1，OA=1，四边形ADGO为菱形，AOG=120，设DG中点为
27、M，则AOM=90，即OMOB，直线OM，OB，OC两两垂直，以O为原点，以OM，OB，OC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz则B（0，1，0），C（0，0，1），D（，G（，F（0，）=（， =（0，1，1），=（，0）设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1， =（，1，1）=1，|=1， =直线FG与平面BCD所成角的正弦值为20设椭圆C： +=1（ab0），其离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为4+2（）求椭圆C的方程；（）设曲线C的上、下顶点分别为A、B，点P在曲线C上，且异于点A、B，直线AP，BP与直线l：y=2分别交于点M，N（1）设
28、直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（2）求线段MN长的最小值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆C： +=1（ab0），其离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为4+2，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）（1）由题意，A（0，1），B（0，1），令P（x0，y0），则x00，直线AP的斜率k1=，BP的斜率k2=由点P在椭圆上能证明k1k2为定值（2）由题设可以得到直线AP的方程为y1=k1（x0），直线BP的方程为y（1）=k2（x0），求出直线AP与直线l的交点M，直线BP与直线l的交点N，由此能求出线段MN长的最小值【解答】解：（）椭圆
29、C： +=1（ab0），其离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为4+2，解得a=2，b=1，c=，椭圆C的方程为：证明：（）（1）椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，由题意，A（0，1），B（0，1），令P（x0，y0），则x00，直线AP的斜率k1=，BP的斜率k2=又点P在椭圆上，=1（x00），从而有k1k2=即k1k2为定值 解：（2）由题设可以得到直线AP的方程为y1=k1（x0），直线BP的方程为y（1）=k2（x0），由，得，由，得，直线AP与直线l的交点M（，2），直线BP与直线l的交点N（，2）又k1k2=，|MN|=|=|=|+|4k1|2=4，当且仅当|
30、=|4k1|，即k1=时等号成立，故线段MN长的最小值是421已知函数f（x）=ex2ax，g（x）=ax2+1（aR）（）设函数h（x）=g（x）f（x），其导函数为h（x），若h（x）在0，+）上具有单调性，求a的取值范围；（）在（）的条件下，求证：f（1）+f（）+f（）+f（）n+（nN*）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调性，求出a的范围即可；（）求出函数的导数，得到，依次令，累加即可【解答】解：（）h（x）=g（x）f（x）=ax2+2axex+1，h（x）=2axex+2a，设m（x）=h（x）=2axex+2a，则m（x）=2aex，（1）若m（x）=2aex0在0，+）上恒成立，则2aex，故；（2）若m（x）=2aex0在0，+）上恒成立，则2aex，此时，ex1，+），故不存在a使2aex恒成立综上所述，a的范围是：；（）由（）知当时，h（x）=xex+1，h（x）h（0）=0，h（x）在0，+）上为减函数，所以h（x）h（0）=0，即，所以，依次令，得：，累加得：故2016年9月9日
