1、 高三一轮（理） 2.11导数的应用【教学目标】1、了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次) 3、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次) 4、会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) 5、会利用导数解决某些简单的实际问题【重点难点】1.教学重点：导数在单调性、极值、最值中的应用；2.教学难点：导数与函数的综合应用；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图考试内容要求层次了解理解掌握利用导数研
2、究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题考纲再现: 导数是高考的热点进入新教材之后，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于基本初等函数，对函数的研究目标也是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都作为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新
3、，是高考命题的热点解题中需用到函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与划归思想真题再现：（见课件）学生自主解决问题，通过交流获得正确答案。教师引导，帮助学生对所学的知识进行整理。学生通过基本问题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 通过知识框图达到知识的系统化。环节二：1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f
4、(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值题型一导数与函数的单调性例1求函数f(x)的单调区间解函数f(x)的定义域为(0，)因为f(x)，所以f(x).当f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)思维升华确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0)令y0，得00)(1)若函数yf(x)的导
5、函数是奇函数，求a的值；(2)求函数yf(x)的单调区间解(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f(x)a.函数yf(x)的导函数是奇函数，f(x)f(x)，即aa，解得a.(2)由(1)知f(x)a1a.当a1时，f(x)0恒成立，a1，)时，函数yf(x)在R上单调递减当0a0得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln ，由f(x)0得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln .a(0,1)时，函数yf(x)在(ln ，)上单调递增，在(，ln )上单调递减综上，当a1时，f(x)在R上单调递减；当0a0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单
6、调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x(0, )时，f(x)0，故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，)上单调递增题型三利用函数单调性求参数例3设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)
7、，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，a0时恒成立即aln x0，在x0时恒成立所以aln x，在x0时恒成立令g(x)ln x(x0)，则g(x)(x0)，由g(x)0，得x1；由g(x)0，得0x0时恒成立，即aln x0，在x0时恒成立，所以aln x，在x0时恒成立，由上述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(，1题型四用导数解决函数极值问题例4已知函数f(x)ax33x21(aR且a0)，求函数f(x)的极大值与极小值解由题设知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.当a0时
8、，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，)(，0)0(0，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.综上，f(x)极大值f(0)1，f(x)极小值f1.思维升华(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那
9、么f(x)在x0处取极小值(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值跟踪训练4(1)函数y2x的极大值是_(2)设f(x)ln(1x)xax2，若f(x)在x1处取得极值，则a的值为_答案(1)3(2)解析(1)y2，令y0，得x1.当x0；当x1时，y0.当x1时，y取极大值3.(2)由题意知，f(x)的定义域为(1，)，且f(x)2ax1，由题意得：f(1)0，则2a2a10，得a，又当a时，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a.题型五用导数求函数的最值例5已
10、知aR，函数f(x)ln x1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f (2)处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值解(1)当a1时，f(x)ln x1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)因此f(2)，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为.又f(2)ln 2，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln 2)(x2)，即x4y4ln 240.(2)因为f(x)ln x1，所以f(x).令f(x)0，得xa.若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(
11、a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B. C. D1答案D解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0.f(x)maxfln a11，解得a1.题型六利用导数解决生活中的优化问题例6某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元
12、/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析由yx239x400，得x1或x40，由于0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值引导学生通过对常见问题的解决，并进行知
13、识和方法的总结，帮助学生形成解题模块。在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：方法与技巧1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较失误与防范1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。
