1、第三章3.23.2.3一、选择题1函数yx2，xR的反函数为()Ax2yBxy2Cy2x，xR Dyx2，xR答案D解析由yx2得，xy2，yx2.xR，yx2R，函数yx2，xR的反函数为yx2，xR.2下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()Ayex By100lnxCylgx Dy1002x答案A解析指数函数图象的增长速度越来越快，而对数函数图象的增长速度逐渐变缓慢，又e2，yex的图象的增长速度比y1002x的图象的增长速度还要快，故选A.3已知函数f(x)，则ff()()A1 Blog2C. D答案D解析ff()flog2f(1)31.4已知函数yf(x)与yex互为反函数，函数y
2、g(x)的图象与yf(x)的图象关于x轴对称，若g(a)1，则实数a的值为()AeBCDe答案C解析函数yf(x)与yex互为反函数，f(x)lnx，又函数yg(x)的图象与yf(x)的图象关于x轴对称，g(x)lnx，g(a)lna1，lna1，a.5函数yf(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点()A(1,2) B(2,1)C(1,3) D(3,1)答案D解析互为反函数的图象关于直线yx对称，点(1,3)关于直线yx的对称点为(3,1)，故选D.6函数y1(x2)的反函数为()Ay(x1)21(x1) By(x1)21(x0)Cy(x1)21(x1) Dy(x1)21(x0)答
3、案D解析y1，1y，x1(1y)2，y(1x)21(x1)21.又x2，x11，1，1，10.函数y1(x2)的反函数为y(x1)21(x0)二、填空题7函数yx的反函数为_答案ylogx(x0)解析由yx，得xlogy，ylogx.x0，函数yx的反函数为ylogx(x0)8设f(x)，则满足f(x)的x值为_答案3解析由f(x)，得或，x3.三、解答题9已知f(x)，求f1()的值解析令y，yy3x13x，3x，xlog3，ylog3，f1(x)log3.f1()log3log32.故f1()的值为2.一、选择题1若f(10x)x，则f(5)()Alog510 Blg5C105 D510答
4、案B解析解法一：令u10x，则xlgu，f(u)lgu，f(5)lg5.解法二：令10x5，xlg5，f(5)lg5.2若函数y的图象关于直线yx对称，则a的值为()A1 B1C1 D任意实数答案B解析因为函数图象本身关于直线yx对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知(1，)与(，1)皆在原函数图象上，故可得a1.3函数y10x21(0)By(x)Cy(x1)Dy(x1)答案D解析由y10 x21 (0x1)，得x21lgy，即x.又0x1，即1x210，10 x211，即原函数的值域为(，1原函数的反函数为y(x
5、1)4已知函数f(x)loga(xk)的图象过点(4,0)，而且其反函数f1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是()A增函数 B减函数C奇函数 D偶函数答案A解析函数f(x)loga(xk)的图象过点(4,0)，loga(4k)0，k3.f(x)loga(x3)，又反函数f1(x)的图象过点(1,7)，f(x)过点(7,1)loga41，a4，f(x)为增函数二、填空题5若点(1,2)既在y的图象上，又在其反函数的图象上，则a_，b_.答案37解析由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y的图象上，解得.6已知函数f(x)e2(x1)，yf1(x)为yf(x)的反函数，若函数g(x)，则g
6、g(1)_.答案1解析由题意，得g(1)121，gg(1)g(1)f1(1)设f1(1)t，则有f(t)1，即e2(t1)1，t1，gg(1)1.三、解答题7求下列函数的反函数(1)f(x)；(2)f(x)1(1x0)；(3)f(x).解析(1)设yf(x).x，y0.由y，解得x.f1(x)(x0)(2)设yf(x)1.1x0，0y1.由y1，解得x.f1(x)(0x1)(3)设yf(x)，当0x1时，1y0，由yx21，得x；当1x0时，01)(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f1(x)；(3)判断f1(x)的单调性解析(1)要使函数f(x)有意义，需满足2x
7、0，即x2，故原函数的定义域为(，2)，值域为R.(2)由yloga(2x)得，2xay，即x2ay.f1(x)2ax(xR)(3)f1(x)在R上是减函数证明如下：任取x1，x2R且x11，x1x2，ax1ax2即ax1ax20，f1(x2)f1(x1)，yf1(x)在R上是减函数9设方程2xx30的根为a，方程log2xx30的根为b，求ab的值分析解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决解析将方程整理得2xx3，log2xx3.如图可知，a是指数函数y2x的图象与直线yx3交点A的横坐标，b是对数函数ylog2x的图象与直线yx3交点B的横坐标由于函数y2x与ylog2x互为反函数，所以它们的图象关于直线yx对称，由题意可得出A、B两点也关于直线yx对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)而A、B都在直线yx3上，ba3(A点坐标代入)，ab3(B点坐标代入)故ab3.
