1、第十章 平面解析几何 第三节 圆的方程最新考纲考情索引核心素养1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2018全国卷，T202017全国卷，T202016全国卷，T61.直观想象2.数学运算圆的定义及方程定义平面内与_的距离等于_的点的集合(轨迹)标准方程_(r0)圆心：_，半径：r一般方程_(D2E24F0)圆心：_，半径：_定点定长(xa)2(yb)2r2(a，b)x2y2DxEyF0D2，E212 D2E24F1点与圆的位置关系点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系：(1)点 M(x0，y0)在圆外，则(x0a
2、)2(y0b)2r2.(2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)20.()(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.()解析：由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确(2)中，当 t0 时，表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆，不正确答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 2P124A 组 T1 改编)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是()A(2，3)B(2，3)C(2，3)D(2，3)(2)(人 A 必修 2P124A
3、组 T4 改编)圆 C 的圆心在 x轴上，并且过点 A(1，1)和 B(1，3)，则圆 C 的方程为_解析：(1)圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)故选 D.(2)设圆心坐标为 C(a，0)，因为点 A(1，1)和 B(1，3)在圆 C 上，所以|CA|CB|，即（a1）21（a1）29，解得 a2，所以圆心为 C(2，0)，半径|CA|（21）21 10，所以圆 C 的方程为(x2)2y210.答案：(1)D(2)(x2)2y2103典题体验(1)(2019荆州模拟)圆(x1)2(y1)22 关于直线 ykx3 对称，则 k 的值是()A2 B2C1 D1(2)
4、(2016全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43B34C.3D2(3)(2019郑州质量预测)以点 M(2，0)，N(0，4)为直径的圆的标准方程为_解析：(1)因为圆(x1)2(y1)22 关于直线 ykx3 对称，所以直线 ykx3 过圆心(1，1)，即 1k3，解得 k2.故选 B.(2)圆 x2y22x8y130，得圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线 axy10 的距离 d|a41|a21 1，解得 a43.(3)圆心是 MN 的中点，即点(1，2)，半径 r12|MN|5，则以 MN 为直径的圆的标准方程为(x1)2(y2)25
5、.答案：(1)B(2)A(3)(x1)2(y2)25考点 1 圆的方程(讲练互动)【例 1】(2019海口调研)已知圆 M 与直线 3x4y0 及 3x4y100 都相切，圆心在直线 yx4 上，则圆 M 的方程为()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21解析：到两直线 3x4y0 和 3x4y100 的距离都 相 等 的 直 线 方 程 为 3x 4y 5 0，联立方程组3x4y50，yx4，解得x3，y1，所以圆 M 的圆心坐标为(3，1)，又两平行线之间的距离为1032422，所以圆 M 的半径为 1，所以圆 M 的方程为(x3)
6、2(y1)21，故选 C.答案：C【例 2】一题多解(2019广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，则该圆的方程为_解析：法一 因为所求圆的圆心在直线 x3y0 上，所以设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与 y 轴相切，所以半径 r3|a|，又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，圆心(3a，a)到直线 yx 的距离 d|2a|2，所以 d2(7)2r2，即 2a279a2，所以 a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即 x2y26x2y10 或x2y26x2y10.法二 设所求圆的方程为(
7、xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线 yx 的距离为|ab|2，所以 r2（ab）227，即 2r2(ab)214.由于所求圆与 y 轴相切，所以 r2a2，又因为所求圆的圆心在直线 x3y0 上，所以 a3b0，联立，解得a3，b1，r29，或a3，b1，r29.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即 x2y26x2y10 或x2y26x2y10.法三 设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心坐标为D2，E2，半径 r12D2E24F.在圆的方程中，令 x0，得 y2EyF0.由于所求圆与 y 轴相切，所以 0，则 E24F.圆心D2，E2 到直线
8、 yx 的距离为 dD2E22，由已知得 d2(7)2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心D2，E2 在直线x3y0上，所以D3E0.联立，解得D6，E2，F1，或D6，E2，F1.故所求圆的方程为 x2y26x2y10 或 x2y26x2y10.答案：(2)x2y26x2y10 或 x2y26x2y10求圆的方程的两种方法1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依
9、据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质变式训练1(2019豫北名校联考)圆(x2)2y24 关于直线 y 33 x 对称的圆的方程是()A(x 3)2(y1)24B(x 2)2(y 2)24Cx2(y2)24D(x1)2(y 3)24解析：设圆(x2)2y24 的圆心(2，0)关于直线 y 33 x 对称的点的坐标为(a，b)，则有 ba2 33 1，b2 33 a22，解得 a1，b 3，从而所求圆的方程为(x1)2(y 3)24.故选 D.答案：D2一题多解已知三点 A(1，0)，B(0，3)，C
10、(2，3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.2 53D.43解析：法一 在坐标系中画出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC 为等边三角形设 BC 的中点为D，点E为外心，同时也是重心所以|AE|23|AD|2 33，从而|OE|OA|2|AE|2143 213，故选 B.法二 设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，则1DF0，3 3EF0，72D 3EF0，解得D2，E4 33，F1.所以ABC 外接圆的圆心为1，2 33.因此圆心到原点的距离 d122 332 213.答案：B考点 2 与圆
11、有关的最值问题(典例迁移)【例】(经典母题)已知 M(x，y)为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点 Q(2，3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y3x2的最大值和最小值解：(1)由圆 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r2 2.又|QC|（22）2（73）24 2，所以|MQ|max4 22 26 2，|MQ|min4 22 22 2.(2)可知y3x2表示直线 MQ 的斜率 k.设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3|1k22 2，
12、可得 2 3k2 3，所以y3x2的最大值为 2 3，最小值为 2 3.结论迁移 在本例的条件下，求 yx 的最大值和最小值解：设 yxb，则 xyb0.当直线 yxb 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值，所以|27b|12（1）22 2，所以 b9 或 b1.因此 yx 的最大值为 9，最小值为 1.条件迁移 若本例中条件“点 Q(2，3)”改为“点Q 是直线 3x4y10 上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值解：因为圆心 C(2，7)到直线 3x4y10 上动点 Q的最小值为点 C 到直线 3x4y10 的距离，所以|QC|mind|23741|32427.又圆 C 的半径 r
13、2 2，所以|MQ|的最小值为 72 2.与圆有关的最值问题的三种几何转化法1形如 ybxa形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题2形如 taxby 形式的最值问题可转化为直线截距的最值问题3形如 m(xa)2(yb)2 形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题变式训练1(2019石家庄模拟)已知圆 C：(x1)2(y4)210 和点 M(5，t)，若圆 C 上存在两点 A，B，使得 MAMB，则实数 t 的取值范围为()A2，6 B3，5C2，6 D3，5解析：过点 M 作圆 C 的两条切线 MA与 MB，切点为 A，B，若满足圆 C 上存在两点 A，B 使得 AMBM，则
14、只需满足AMB90，即|AC|CM|22，所以|CM|2 5，即(51)2(t4)220，解得 2t6，故选 C.答案：C2(2019广东七校联考)圆 x2y22x6y10 关于直线 axby30(a0，b0)对称，则1a3b的最小值是()A2 3B.203C4 D.163解析：由圆 x2y22x6y10 知其标准方程为(x1)2(y3)29，因为圆 x2y22x6y10 关于直线 axby30(a0，b0)对称，所以该直线经过圆心(1，3)，即a3b30，所以 a3b3(a0，b0)，所以1a3b13(a3b)1a3b 1313ab 3ba 9 131023ab 3ba 163，当且仅当3b
15、a 3ab，即 ab 时取等号，故选 D.答案：D考点 3 与圆有关的轨迹问题【例】已知 A(2，0)为圆 x2y24 上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程解：(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2，2y)因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)，在 RtPBQ 中，|PN|BN|，设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|
16、ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.求与圆有关的轨迹问题的四种方法1直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解2定义法：根据圆的定义列方程求解3几何法：利用圆的几何性质得出方程求解4代入法(相关点法)：指出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解变式训练(2019武威模拟)设定点 M(3，4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为 x2，y2，线段MN的中点坐标为x032，y042.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y042.从而x0 x3，y0y4.又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点95，125 和215，285(点P在直线OM上的情况)
