1、2.1古典概型的概率计算公式课后训练巩固提升1.集合A=2,3,B=1,2,3,从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是()A.23B.12C.13D.16解析:样本空间=(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共含有6个等可能出现的样本点,事件“这两数之和等于4”包含的样本点有(2,2),(3,1),共2个.故所求概率为13.答案:C2.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,观察正面、反面出现的情况.恰好出现一次正面的概率是()A.12B.14C.34D.0解析:列举出所有样本点,找出事件“恰好出现一次正面”包含的样本点.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷2
2、次,样本空间=(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),共4个,且每个样本点出现的可能性相等而事件“恰好出现一次正面”包含(正,反),(反,正)2个样本点,故所求概率为24=12.答案:A3.某银行储蓄卡上的密码是一个由6位数字组成的号码,每位上的数字可在0,1,2,9这10个数字中选取,某人未记住密码的最后一位数字,若按下密码的最后一位数字,则正好按对密码的概率是()A.15B.19C.110D.1100解析:只考虑最后一位数字,共有10种等可能的不同结果,而正确密码只有1个,故概率为110.答案:C4.欲寄出两封信,现有两个邮筒供选择,则两封信都投到同一个邮筒的概率是()A.12B.
3、14C.34D.38解析:可记两封信为1,2,两个邮筒为甲、乙,则寄出两封信,有两个邮筒供选择,有以下4种等可能结果:1放在甲中,而2放在乙中;2放在甲中,而1放在乙中;1,2均放在甲中;1,2均放在乙中.由上可知,两封信都投到同一个邮筒的结果数为2.所以,两封信都投到同一个邮筒的概率为12.答案:A5.已知集合A=-5,0,3,在平面直角坐标系中,点(x,y)满足xA,yA,且xy,则点(x,y)在圆x2+y2=9外部的概率是()A.13B.23C.25D.35解析:易求满足xA,yA,且xy的点共有6个.当x=-5时,在圆x2+y2=9外部的点有(-5,0),(-5,3).当x=0时,在圆
4、外的点有(0,-5).当x=3时,在圆外的点有(3,-5).故点(x,y)在圆x2+y2=9外部的概率为46=23.故选B.答案:B6.从1,2,3,4,5,6这6个数中,不放回地任取2个数,2个数都是偶数的概率是.解析:样本空间的样本点共有15个,它们是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),且每个样本点出现的可能性相等.其中2个数都是偶数的有(2,4),(2,6),(4,6),共3个,故所求概率为315=15.答案:157.现有5根竹竿,它们的长度(单
5、位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为.解析:试验“从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的样本空间=(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共有10个等可能出现的样本点.因为事件“它们的长度恰好相差0.3m”包含样本点:(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个,所以由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为210=0.2.答案:0.28.若甲、乙、丙
6、三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为.解析:甲、乙、丙三人随机地站成一排有:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种等可能的排法,其中甲、乙相邻有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种排法.所以甲、乙两人相邻而站的概率为46=23.答案:239.口袋内装有3个白球和2个黑球,这5个球除颜色外完全相同,每次从袋中随机地取出一个,连续取出2个球:(1)列出所有等可能的结果;(2)求取出的2个球不全是白球的概率.解:(1)给球编号:其中白球记为1,2,3,黑球记为4,5.则所有等可能的结果如下
7、:共20种.(2)设“取出的2个球不全是白球”为事件A,则P(A)=1420=710.10.袋中装有大小、质地相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型?(2)若以球的颜色为划分样本点的依据,有多少种不同的摸法?以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型?解:(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小、质地相同,所以每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型是古典概型.(2)由于11个球共有3种颜色,因
8、此共有3种不同的摸法,分别记A为“摸到白球”,B为“摸到黑球”,C为“摸到红球”,又因为所有球大小、质地相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111,而白球有5个,故一次摸球摸中白球的可能性为511,同理可知摸中黑球、红球的可能性均为311,显然A,B,C三个事件出现的可能性不相等,即3种不同的摸法不是等可能的,所以以颜色为划分样本点的依据的概率模型不是古典概型.11.有7名歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7名歌手的支持情况,现用分层随机抽样
9、方法从各组中抽取若干评委,其中从二、B组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表:组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别抽取1人,求这2人都支持1号歌手的概率.解:(1)由题设知,分层随机抽样的抽取比例为6100,所以各组抽取的人数如下表:组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)设从一、A组抽到的3名评委为a1,a2,a3,其中a1,a2支持1号歌手;从二、B组抽到的6名评委为b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1号歌手.从a1,a2,a
10、3和b1,b2,b3,b4,b5,b6中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知样本空间的样本点总数是18,事件“2人都支持1号歌手”包含的样本点有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,共4个,故所求概率为418=29.12.某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)及体重指标(单位:kg/m2)如下表:ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78 m以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都
11、在区间18.5,23.9)(kg/m2)内的概率.解:(1)从身高低于1.80m的同学中任选2人,则样本空间=(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共有6个样本点.由于每个人被选到的机会均等,故各个样本点出现的可能性相等.事件“选到的2人身高都在1.78m以下”包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78m以下的概率为36=12.(2)从该小组同学中任选2人,样本空间=(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共有10个样本点.由于每个人被
12、选到的机会均等,故各个样本点出现的可能性相等.事件“选到的2人身高都在1.70m以上且体重指标都在区间18.5,23.9)(kg/m2)内”包含的样本点有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70m以上且体重指标都在区间18.5,23.9)(kg/m2)内的概率为310.13.某初级中学共有学生2 000名,各年级男生、女生人数如下表:七年级八年级九年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率是0.19.(1)求x的值.(2)已知y245,z245,求九年级女生比男生人数多的概率.解:(1)因为x2000=0.19,所以x=380.(2)九年级的人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500.设九年级女生比男生人数多的事件为A,九年级女生、男生人数记为(y,z).因为y+z=500,且y,zN+,所以样本空间的样本点有(245,255),(246,254),(247,253),(255,245)共11个,事件A包含的样本点有(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共5个,所以P(A)=511.
