1、课时跟踪检测(五十四)定点、定值、探索性问题(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分1已知F为抛物线y22px(p0)的焦点，抛物线上点G(2,2)满足|GF|3.(1)求抛物线的方程；(2)M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，A，B两点的横坐标均不为4，连接AM，BM并延长交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k2，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由2(2015开封模拟)已知抛物线C：x24y.(1)设P为直线l：xy20上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(2)当点P在直线l
2、上移动时，求|AF|BF|的最小值3(2015武汉调研)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为PQN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由B卷：增分提能1(2014山东高考改编)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点
3、E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标2已知直线l：yx，圆O：x2y25，椭圆E：1(ab0)的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值3(2014福建高考)已知曲线 上的点到点F(0,1) 的距离比它到直线y3 的距离小2.(1)求曲线的方程；(2)曲线在点 P处的切线l 与x 轴交于点A.直线y3分别与直线l 及y 轴交于点M，N.以 MN为直径作圆C，过点A 作圆 C的切线，切点为 B试探究：当点 P在曲线上运动(点 P与原点不重合)时，线段 AB的长度是否发生变化？证
4、明你的结论答 案A卷：夯基保分1解：(1)根据抛物线定义知|GF|23，解得p2，所以抛物线方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则k1，同理k2.设AC所在直线的方程为xty4，与y24x联立，得y24ty160，所以y1y316，同理y2y416，所以k2.设AB所在直线的方程为xmy1，与y24x联立，得y24my40，所以y1y24，所以k2，所以是定值，且4.2解：(1)抛物线C的方程为x24y，即yx2，求导得yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx
5、1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0的两组解故直线AB的方程为x0x2y2y00.(2)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，由根与系数的关系可得y1y2x2y0，y1y2y，所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y02，所以y
6、x2y012y2y0522，所以当y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.3解：(1)设F(c,0)，则，知ac.过点F且与x轴垂直的直线方程为xc，代入椭圆方程，有1，解得yb.于是b，解得b1.又a2c2b2，从而a，c1.所以椭圆C的方程为y21.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为PQN的垂心设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为N(0,1)，F(1,0)，所以kNF1.由NFPQ，知kPQ1.设直线l的方程为yxm，由得3x24mx2m220.由0，得m23，且x1x2，x1x2.由题意，有0.因为(x1，y11)，(x21，y2)，所以x1(x21)y2(y11
7、)0，即x1(x21)(x2m)(x1m1)0，所以2x1x2(x1x2)(m1)m2m0，于是2m(m1)m2m0，解得m或m1.经检验，当m1时，PQN不存在，故舍去m1.当m时，所求直线l存在，且直线l的方程为yx.B卷：增分提能1解：(1)由题意知F.设D(t,0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：由(1)知F(1,0)，设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜
8、率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1，0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1,0)2解：(1)设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d，则l被圆O截得的弦长为2，所以b.由题意得又b，a23，b22.椭圆E的方程为1.(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为yy0k(xx0)，整理得ykxy0kx0，联立直线l0与椭圆E的方
9、程得消去y得2kx(y0kx0)23x260，整理得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，l0与椭圆E相切，4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得(2x)k22x0y0k(y3)0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2.点P在圆O上，xy5，k1k21.两条切线斜率之积为常数1.3解：(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.(2)当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变证明如下：由(1)知抛物线的方程为yx2，设P(x0，y0)(x00)，则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得A.由得M.又N(0,3)，所以圆心C，半径r|MN|，|AB|.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变
