1、20102014年高考真题备选题库第7章 立体几何第5节 直线、平面垂直的判定与性质1(2014新课标全国,5分)正三棱柱ABCA1B1C1 的底面边长为2,侧棱长为 ,D为BC中点,则三棱锥AB1DC1 的体积为()A3 B.C1 D.解析:选C由题意可知ADBC,由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1,又AD2sin 60,所以VAB1DC1ADSB1D C121,故选C.2(2014福建,5分)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 BC2 D1解析:选A所得圆柱体的底面半径为1,母线长为1,所以其侧面积S2112,故选A. 3(20
2、14陕西,5分)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是()A4 B3C2 D 解析:选C由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,其侧面积S2rh2112.4(2014湖北,5分)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式VL2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式VL2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A. B.C. D.解析:
3、选BVL2hr2hL2r2,而L2r,则.5(2014山东,5分)一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为_解析:由题意可知,该六棱锥是正六棱锥,设该六棱锥的高为h,则622h2,解得h1,底面正六边形的中心到其边的距离为,故侧面等腰三角形底边上的高为2,故该六棱锥的侧面积为12212.答案:126(2014江苏,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且,则的值是_解析:设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1,r2,母线长分别是l1,l2.则由可得.又两个圆柱的侧面积相等,即2r1l12r2l2,则
4、,所以.答案:7(2014广东,13分)如图(1),四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB1,BCPC2,作如图(2)折叠,折痕EFDC.其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MFCF.(1)证明:CF平面MDF;(2)求三棱锥MCDE的体积解:(1)证明:PD平面ABCD, PDAD,又四边形ABCD是矩形,CDAD,PD平面PCD,CD平面PCD,且PDCDD,AD平面PCD,CF平面PCD,ADCF,又MFCF,MFADM,CF平面MDF.(2)PD平面ABCD,PDCD,又CDAB1,PC2,PD.由(1)知CF平面MDF,CFDF.由
5、SPCDPDCDPCDF得DF.CF,EFCD,DEDP.SCDECDDE1.AD平面PCD,即MD平面CDE,且MEPEPDED,MD ,三棱锥MCDE的体积为VMCDESCDEMD.8(2014福建,12分)如图,三棱锥 ABCD中,AB平面BCD,CDBD .(1)求证:CD平面ABD;(2)若ABBDCD1,M为AD中点,求三棱锥AMBC的体积解:(1)AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.又CDBD,ABBDB,AB平面ABD,BD平面ABD,CD平面ABD.(2)法一:由AB平面BCD,得ABBD,ABBD1,SABD.M是AD的中点,SABMSABD.由(1)知,CD平面AB
6、D,三棱锥CABM的高hCD1,因此三棱锥AMBC的体积VAMBCVCABMSABMh.法二:由AB平面BCD知,平面ABD平面BCD,又平面ABD平面BCDBD,如图,过点M作MNBD交BD于点N,则MN平面BCD,且MNAB,又CDBD,BDCD1,SBCD.三棱锥AMBC的体积VAMBCVABCDVMBCDABSBCDMNSBCD.9. (2014辽宁,12分)如图,ABC 和BCD 所在平面互相垂直,且 ABBCBD2,ABCDBC120 ,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点(1)求证:EF 平面BCG;(2)求三棱锥DBCG的体积附:锥体的体积公式VSh,其中S为底面面积,h为高
7、解:(1)证明:由已知得ABCDBC,因此ACDC.又G为AD中点,所以CGAD;同理BGAD,又BGCGG,因此AD平面BCG.又EFAD,所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内,作AOCB,交CB延长线于O.由平面ABC平面BCD,知AO平面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中,AOABsin 60,所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin 120.10. (2014陕西,12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC 的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点 E,F,G,H.(1)求四面体ABCD 的体积;(2)证
8、明:四边形EFGH 是矩形解:(1)由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BDCD2,AD1,AD平面BDC,四面体ABCD的体积V221.(2)证明:BC平面EFGH,平面EFGH平面BDCFG,平面EFGH平面ABCEH,BCFG,BCEH,FGEH.同理EFAD,HGAD,EFHG,四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDC,ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形11(2014重庆,12分)如图,四棱锥PABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面ABCD,AB2,BAD,M为BC上一点,且BM.(1)证明:BC平面POM;(2)若MPAP,求四棱锥PABMO的体积解:
9、(1)证明:如图,因四边形ABCD为菱形,O为菱形中心,连接OB,AM,则AOOB.因BAD,故OBABsinOAB2sin1,又因BM,且OBM,在OBM中,OM2OB2BM22OBBMcosOBM12221cos.所以OB2OM2BM2,故OMBM.又PO底面ABCD,所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,OP都垂直,所以BC平面POM.(2)由(1)可得,OAABcosOAB2cos.设POa,由PO底面ABCD知,POA为直角三角形,故PA2PO2OA2a23.由POM也是直角三角形,故PM2PO2OM2a2.在ABM中,AM2AB2BM22ABBMcosABM2222
10、2cos.由已知MPAP,故APM为直角三角形,则PA2PM2AM 2,即a23a2,得a,a(舍去),即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积VPABMOS四边形ABMOPO.12(2014江西,12分)如图,三棱柱 ABCA1B1C1中,AA1BC,A1BBB1 .(1)求证:A1CCC1 ;(2)若AB2,AC,BC,问 AA1为何值时,三棱柱ABCA1B1C1体积最大,并求此最大值解:(1)在三棱柱ABCA1B1C1中,由AA1BC,知BB1BC,又BB1A1B,且A1BBCB,故BB1平面BCA1,即BB1A1C,又BB1CC1,所以
11、A1CCC1.(2)法一:设AA1x,在RtA1BB1中,A1B.同理,A1C.在A1BC中,cosBA1C,sinBA1C,所以SA1BCA1BA1CsinBA1C.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因x,故当x,即AA1时,体积V取到最大值.法二:过A1作BC的垂线,垂足为D,连接AD.由AA1BC,A1DBC,故BC平面AA1D,BCAD,又BAC90,所以SABCADBCABAC得AD.设AA1x,在RtAA1D中,A1D ,SA1BCA1DBC.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因x ,故当x,即AA1时,体积V取到最大值.13(2
12、014北京,14分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1AC2,BC1,E,F分别是A1C1,BC的中点(1)求证:平面ABE平面B1BCC1 ;(2)求证:C1F平面ABE ;(3)求三棱锥EABC的体积解:(1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1底面ABC.所以BB1AB.又因为ABBC,BB1BCB,所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明:取AB中点G,连结EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FGAC.因为ACA1C1,且ACA1C1,所以FGEC1,且FGEC1.所以四
13、边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2,BC1,ABBC,所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.14.(2012广东,13分)如图所示,在四棱锥PABCD中,AB平面PAD,ABCD,PDAD,E是PB的中点,F是DC上的点且DFAB,PH为PAD中AD边上的高(1)证明:PH平面ABCD;(2)若PH1,AD,FC1,求三棱锥EBCF的体积;(3)证明:EF平面PAB.解:(1)证明:因为AB平面PAD,所以平面PAD平面ABCD;因为PH为PAD中AD边上的高,所以PHAD,又平面PA
14、D平面ABCDAD,PH平面PAD,所以PH平面ABCD.(2)因为E为PB的中点,所以E点到平面ABCD的距离为PH,SBCFCFAD1.所以三棱锥EBCF的体积V.(3)证明:如右图,取AB的中点M,连接MF、EM,取PA的中点N,连接NE、DN.因为ABCD,DFAB,所以NE綊AM綊DF,所以四边形DNEF为平行四边形,所以EF綊DN.因为PDAD,所以DNPA,又因为AB平面PAD,所以DNAB,PAABA,所以DN平面PAB,所以EF平面PAB.15.(2012福建,12分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD1,AA12,M为棱DD1上的一点(1)求三棱锥AMCC1
15、的体积;(2)当A1MMC取得最小值时,求证:B1M平面MAC.解:(1)由长方体ABCDA1B1C1D1知,AD平面CDD1C1,点A到平面CDD1C1的距离等于AD1,又SMCC1CC1CD211,VAMCC1ADSMCC1.(2)证明:将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开,与侧面ADD1A1共面(如图),当A1,M,C共线时,A1MMC取得最小值由ADCD1,AA12,得M为DD1中点连接C1M,在C1MC中,MC1,MC,CC12,CCMCMC2,得CMC190,即CMMC1.又由长方体ABCDA1B1C1D1知,B1C1平面CDD1C1,B1C1CM.又B1C1C1MC1,CM
16、平面B1C1M,得CMB1M;同理可证,B1MAM,又AMMCM,B1M平面MAC.16.(2011新课标全国,12分)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB60,AB2AD,PD底面ABCD.(1)证明:PABD;(2)设PDAD1,求棱锥DPBC的高解:(1)证明:因为DAB60,AB2AD,由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2,故BDAD.又PD底面ABCD,可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如图,作DEPB,垂足为E.已知PD底面ABCD,故PDBC.由(1)知BDAD,又BCAD,所以BCBD.故BC平面PBD,BCDE.则DE平面PBC
17、.由PDAD1知BD,PB2.由DEPBPDBD,得DE.即棱锥DPBC的高为.17(2010广东,14分)如图,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC平面BED,FBa.(1)证明:EBFD;(2)求点B到平面FED的距离解:(1)证明:点E为的中点,且ABBC,AC为直径,EBAC.FC平面BED,且BE平面BED.FCEB.FCACC,EB平面BDF,FD平面BDF,EBFD.(2)FC平面BED,且BD平面BED,FCBD.又BCDC,FDFBa.VEFBDSFBDEB2aa.EB平面BDF,且FB平面BDF,EBBF,EFa.EBBD,EDa.SFEDaa2.点B到平面FED的距离da.