1、20102014年高考真题备选题库第7章 立体几何第5节 直线、平面垂直的判定与性质1(2014新课标全国，5分)正三棱柱ABCA1B1C1 的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1 的体积为()A3 B.C1 D.解析：选C由题意可知ADBC，由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1，又AD2sin 60，所以VAB1DC1ADSB1D C121，故选C.2(2014福建，5分)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 BC2 D1解析：选A所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S2112，故选A. 3(20
2、14陕西，5分)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3C2 D 解析：选C由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S2rh2112.4(2014湖北，5分)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A. B.C. D.解析：
3、选BVL2hr2hL2r2，而L2r，则.5(2014山东，5分)一个六棱锥的体积为2 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则622h2，解得h1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为2，故该六棱锥的侧面积为12212.答案：126(2014江苏，5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1，r2，母线长分别是l1，l2.则由可得.又两个圆柱的侧面积相等，即2r1l12r2l2，则
4、，所以.答案：7(2014广东，13分)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕EFDC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积解：(1)证明：PD平面ABCD， PDAD，又四边形ABCD是矩形，CDAD，PD平面PCD，CD平面PCD，且PDCDD，AD平面PCD，CF平面PCD，ADCF，又MFCF，MFADM，CF平面MDF.(2)PD平面ABCD，PDCD，又CDAB1，PC2，PD.由(1)知CF平面MDF，CFDF.由
5、SPCDPDCDPCDF得DF.CF，EFCD，DEDP.SCDECDDE1.AD平面PCD，即MD平面CDE，且MEPEPDED，MD ，三棱锥MCDE的体积为VMCDESCDEMD.8(2014福建，12分)如图，三棱锥 ABCD中，AB平面BCD，CDBD .(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积解：(1)AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.又CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，CD平面ABD.(2)法一：由AB平面BCD，得ABBD，ABBD1，SABD.M是AD的中点，SABMSABD.由(1)知，CD平面AB
6、D，三棱锥CABM的高hCD1，因此三棱锥AMBC的体积VAMBCVCABMSABMh.法二：由AB平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCDBD，如图，过点M作MNBD交BD于点N，则MN平面BCD，且MNAB，又CDBD，BDCD1，SBCD.三棱锥AMBC的体积VAMBCVABCDVMBCDABSBCDMNSBCD.9. (2014辽宁，12分)如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBCBD2，ABCDBC120 ，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点(1)求证：EF 平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高
7、解：(1)证明：由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G为AD中点，所以CGAD；同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BCG.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)在平面ABC内，作AOCB，交CB延长线于O.由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半在AOB中，AOABsin 60，所以VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin 120.10. (2014陕西，12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC 的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点 E，F，G，H.(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证
8、明：四边形EFGH 是矩形解：(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDCD2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形11(2014重庆，12分)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积解：
9、(1)证明：如图，因四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，AM，则AOOB.因BAD，故OBABsinOAB2sin1，又因BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM12221cos.所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，OP都垂直，所以BC平面POM.(2)由(1)可得，OAABcosOAB2cos.设POa，由PO底面ABCD知，POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.由POM也是直角三角形，故PM2PO2OM2a2.在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM2222
10、2cos.由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM 2，即a23a2，得a，a(舍去)，即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积VPABMOS四边形ABMOPO.12(2014江西，12分)如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1 .(1)求证：A1CCC1 ；(2)若AB2，AC，BC，问 AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值解：(1)在三棱柱ABCA1B1C1中，由AA1BC，知BB1BC，又BB1A1B，且A1BBCB，故BB1平面BCA1，即BB1A1C，又BB1CC1，所以
11、A1CCC1.(2)法一：设AA1x，在RtA1BB1中，A1B.同理，A1C.在A1BC中，cosBA1C，sinBA1C，所以SA1BCA1BA1CsinBA1C.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因x，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.法二：过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.由AA1BC，A1DBC，故BC平面AA1D，BCAD，又BAC90，所以SABCADBCABAC得AD.设AA1x，在RtAA1D中，A1D ，SA1BCA1DBC.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VS直lSA1BCAA1.因x ，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.13(2
12、014北京，14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1 ；(2)求证：C1F平面ABE ；(3)求三棱锥EABC的体积解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.所以BB1AB.又因为ABBC，BB1BCB，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1.所以四
13、边形FGEC1为平行四边形所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因为AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.14.（2012广东，13分）如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.解：(1)证明：因为AB平面PAD，所以平面PAD平面ABCD；因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD，又平面PA
14、D平面ABCDAD，PH平面PAD，所以PH平面ABCD.(2)因为E为PB的中点，所以E点到平面ABCD的距离为PH，SBCFCFAD1.所以三棱锥EBCF的体积V.(3)证明：如右图，取AB的中点M，连接MF、EM，取PA的中点N，连接NE、DN.因为ABCD，DFAB，所以NE綊AM綊DF，所以四边形DNEF为平行四边形，所以EF綊DN.因为PDAD，所以DNPA，又因为AB平面PAD，所以DNAB，PAABA，所以DN平面PAB，所以EF平面PAB.15.（2012福建，12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M为棱DD1上的一点(1)求三棱锥AMCC1
15、的体积；(2)当A1MMC取得最小值时，求证：B1M平面MAC.解：(1)由长方体ABCDA1B1C1D1知，AD平面CDD1C1，点A到平面CDD1C1的距离等于AD1，又SMCC1CC1CD211，VAMCC1ADSMCC1.(2)证明：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C共线时，A1MMC取得最小值由ADCD1，AA12，得M为DD1中点连接C1M，在C1MC中，MC1，MC，CC12，CCMCMC2，得CMC190，即CMMC1.又由长方体ABCDA1B1C1D1知，B1C1平面CDD1C1，B1C1CM.又B1C1C1MC1，CM
16、平面B1C1M，得CMB1M；同理可证，B1MAM，又AMMCM，B1M平面MAC.16.(2011新课标全国，12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)设PDAD1，求棱锥DPBC的高解：(1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如图，作DEPB，垂足为E.已知PD底面ABCD，故PDBC.由(1)知BDAD，又BCAD，所以BCBD.故BC平面PBD，BCDE.则DE平面PBC
17、.由PDAD1知BD，PB2.由DEPBPDBD，得DE.即棱锥DPBC的高为.17(2010广东，14分)如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED，FBa.(1)证明：EBFD；(2)求点B到平面FED的距离解：(1)证明：点E为的中点，且ABBC，AC为直径，EBAC.FC平面BED，且BE平面BED.FCEB.FCACC，EB平面BDF，FD平面BDF，EBFD.(2)FC平面BED，且BD平面BED，FCBD.又BCDC，FDFBa.VEFBDSFBDEB2aa.EB平面BDF，且FB平面BDF，EBBF，EFa.EBBD，EDa.SFEDaa2.点B到平面FED的距离da.