1、北京市东城区20042005学年度第一学期期末教学目标检测高三数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。共150分，考试时间120分钟。 第卷（选择题 共40分）参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）= P（A）+ P（B） 如果事件A、B相互独立，那么P（AB）= P（A）P（B） 如果事件A在一次实验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率（k）=(1P)球的表面积公式S=（其中R表示球的半径）球的体积公式V=（其中R表示球的半径）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设全集U
2、 = R ，A =，则UA= （ ）（A） （B）x | x 0 （C）x | x0 （D）0（2）在等差数列中，=5，则等于 （ ）（A）4 （B）5 （C）7 （D）8（3）函数y = (x1)的反函数是 （ ）（A）y =1 (x0) （B）y=+1 (x0)（C）y = x + 1 (xR) （D）y= x1 (xR)（4）若| ， 且（） ，则与的夹角是 （ ）（A） （B） （C） （D）（5）已知m、n为两条不同的直线，、，为 两个不同的平面，m，n ，则下列命题中的假命题是 （ ）（A）若n ，则 （B）若 ,则mn（C）若、相交，则m 、n相交 （D）若m、n相交，则、相交（
3、6）箱子里有5 个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为 （ ）（A） （B）（C） （D）（7）如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（ ）（A）240个 （B）285个 （C）231个 （D）243个（8）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为 （ ） （A） （B） （C） （D） 第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。（9）把y = sinx的图象向左平移个
4、单位，得到函数_的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数_的图象。（10）已知直线：x 2y + 3 = 0 ，那么直线的方向向量为_(注：只需写出一个正确答案即可)；过点（1，1），并且的方向向量2与1满足1= 0，则的方程为_。00，（11）设实数x、y满足0 ，则z = x + y的最大值是_.（12）若地球半径为R，地面上两点A、B的纬度均为北纬45，又A、B两点的球面距离为，则A、B两点的经度差为_。x 0，（13）定义“符号函数”f (x) = sgnx = x= 0，则不等式x + 2 ( x 2)的解集是_。（14）某网络公司，1996
5、年的市场占有率为A，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如图所示：则该公司1998年的市场占有率为_；如果把1996年作为第一年，那么第n年的市场占有率为_三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分13分）已知：tan= 2，求： （）tan的值； （）sin2的值 （16）（本小题满分13分） 某电路中有红灯、绿灯各一只，当开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，并且每次有且仅有一只灯亮，设第一次出现红灯和绿灯的概率相等，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是，前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是求： （）
6、第二次出现红灯的概率； （）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率（17）（本小题满分14分） 已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG = （）求证：EFB1C； （）求EF与C1G所成角的余弦值； （）求二面角FEGC1的大小（用反三角函数表示）（18）（本小题满分13分） 函数f (x)的定义域为D : x | x0，且满足对于任意x1，x2D，有f (x1 x2) = f (x1) + f (x2) （）求f (1)的值； （）判断f (x)的奇偶性并证明； （）如果f (4) = 1，f (3x + 1) + f (2x 6)
7、3，且f (x)在（0，+）上是增函数，求x的取值范围（19）（本小题满分14分） 已知等差数列an的首项a1 = 1，公差d 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项 （）求数列an与bn的通项公式； （）设数列cn对任意正整数n均有成立，其中m为不等于零的常数，求数列cn的前n项和Sn（20）（本小题满分13分） 已知常数a 0，向量，经过定点A (0， a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0，a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P，其中R （）求点P的轨迹C的方程； （）若，过E (0，1)的直线l交曲线C于M、N两点，求的取值范围参考答案一、选择题
8、（1）C （2）D （3）A （4）B （5）C （6）B （7）A （8）D二、填空题（9）y = sin，； （10）（2，1）或等，2x + y 3 = 0；（11）5； （12）90； （13）； （14）注：（9）、（10）、（14）小题第一个空2分，第二个空3分三、解答题（15）解：（）= 2，tan （5分） （）解法一： sin2+sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2 sin2 = 2sincos+ cos2（8分） = （11分） = （13分） （）解法二： sin2+ sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2 sin2 = 2sinco
9、s+ cos2 （1）（8分） tan=，为第一象限或第三象限角 当为第一象限角时，sin=，cos=，代入（1）得 2sincos+ cos2=；（10分） 当为第三象限角时，sin=，cos=，代入（1）得 2sincos+ cos2= （12分） 综上所述：sin2+ sin2+ cos2= （13分）（16）解：由于第一次出现红灯和绿灯的概率相等，由等可能事件的概率知，第一次出现红灯和绿灯的概率均为，由对立事件的概率可知，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是，则接着出现绿灯的概率是；前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是，则接着出现绿灯的概率是（2分） （）；（7分） （） （1
10、3分）（17）解：解法一： （）连接D1B、BC1， E、F是D1D、BD的中点，EFD1B，且EF =又D1C1平面BC1，D1B在平面BC1上的射影为BC1BC1B1C，由三垂线定理知B1CD1BEFB1C（4分） （）延长CD至点P，使DP = CG，连接D1P、PB D1C1PG四边形D1C1GP为平行四边形D1PC1G又由（）知，EFD1B，PD1B为异面直线EF与C1G所成的角设正方体的棱长为4，则D1P2 = 42 + 12 = 17，D1B2 = 42 + 42 + 42 = 48，PB2 = 42 + 52 = 41，cosPD1B = （8分）（）取DC的中点M，连接FM，
11、则FMDC过M做MNEG于N点，连接FN 由三垂线定理可证FNEG MNF的邻补角为二面角FEGC1的平面角设正方体的棱长为4，则FM = 2，在RtEDG中，EDG MNG， 在RtFMN中，MNF = 90， tanMNF =MNF = arctan二面角FEGC1的大小为（14分）解法二：如图建立空间直角坐标系Oxyz，设正方体的棱长为4，则E (0，0，2)，F (2，2，0)，C (0，4，0)，B (4，4，0)，C1(0，4，4)，B1(4，4，4)，G (0，3，0) （2分） （）， EFB1C （6分） （）， 又， （9分） （）（*有个别学生按超出课本要求的方法求解，按
12、此标准给分） 平面D1DCC1的法向量为，设平面EFG的法向量为， 即 令x = 1，则y = 2，z = 3 = (1，2，3) cos ， 二面角FEGC1的大小为 （14分）（18）（）解：令x1 = x2 = 1，有f (1 1) = f (1) + f (1)，解得f (1) = 0 （2分） （）证明：令x1 = x2 = 1，有f (1) (1) = f (1) + f (1)，解得f (1) = 0 令x1 = 1，x2 = x有f ( x) = f (1) + f (x)，f ( x) = f (x) f (x)为偶函数 （6分） （）f (4 4) = f (4) + f (4) = 2，f (16 4) = f (16) + f (4) = 3 f (3x + 1) + f (2x 6)3即f (3x + 1)(2x 6)f (64) （1） f (x)在(0，+)上是增函数， （1）等价于不等式组 3 x5或x 或 x 0且k2 10解得k1设两交点为M (x1，y1)、N (x2，y2)，则x1 + x2 =，x1x2 = （10分）此时= x1x2 + k2x1x2 = (k2 + 1) x1x2 =当 1 k 1时，k2 1 1或k 0，故综上所述，的取值范围是 （13分）
