1、2015-2016学年山东省济宁一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在复平面内，复数i（2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3利用数学归纳法证明不等式1+f（n）（n2，nN*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）
2、A1项Bk项C2k1项D2k项4曲线y=x32在点（1，） 处切线的斜率为（）AB1C1D5设函数f（x）=xex，则（）Ax=1为f（x）的极大值点Bx=1为f（x）的极小值点Cx=1为f（x）的极大值点Dx=1为f（x）的极小值点6若复数z满足|z|=2，则|1+i+z|的取值范围是（）A1，3B1，4C0，3D0，47已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A1a2B3a6Ca3或a6Da1或a28观察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，则52013的末四位数字是（）A3125B5625C8125D06259在
3、区间0，1上给定曲线y=x2，如图所示，0t1，S1，S2是t的函数，则函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为（）A（，1）B（，2C0，1D（1，210已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）Af（cosA）f（cosB）Bf（sinA）f（cosB）Cf（sinA）f（sinB）Df（sinA）f（cosB）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11数列an中，a1=1，an+1=，则a2016=_12复数z=的共轭复数为，则的虚部为_13设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：
4、设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列14f（x）是定义在非零实数集上的函数，f（x）为其导函数，且x0时，xf（x）f（x）0，记a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为_15已知函数f（x）=xlnx，且0x1x2，给出下列命题：1x2f（x1）x1f（x2）当lnx1时，x1f（x1）+x2f（x2）2x2f（x1）x1+f（x1）x2+f（x2）其中正确的命题序号是_三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16复数z1=+（10a2）i，z2=+（2a5）i，若+z2是实数，求实数a的值17（）求证： +2（）已知a0，b0
5、且a+b2，求证：，中至少有一个小于218数列an满足Sn=2nan（nN*）（）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（）用数学归纳法证明（）中的猜想19已知函数f（x）=x32ax23x（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3）的切线方程；（2）对一切x（0，+），af（x）+4a2xlnx3a1恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a0时，试讨论f（x）在（1，1）内的极值点的个数20某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1a3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7x9）元时，一年的销售量为（10x）2万件（）求该连锁分店一年
6、的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值21已知函数f（x）=exx2ax（aR）（）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（）如果函数g（x）=f（x）（a）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a2015-2016学年山东省济宁一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在复平面内，复数i（2i）对应的点位于（
7、）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限【解答】解：复数z=i（2i）=i2+2i=1+2i复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法【分析】直接利用命题的否定写出假设即
8、可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根故选：A3利用数学归纳法证明不等式1+f（n）（n2，nN*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A1项Bk项C2k1项D2k项【考点】数学归纳法【分析】依题意，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边为1+，与n=k时不等式的左边比较即可得到答案【解答】解：用数学归纳法证明等式1+f（n）（n2，nN*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+，则当n=k+1时，左边=1+，由n=k递推到n=k+1时不等
9、式左边增加了： +，共（2k+11）2k+1=2k项，故选：D4曲线y=x32在点（1，） 处切线的斜率为（）AB1C1D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求曲线在某点处的切线的斜率，就是求曲线在该点处的导数值，先求导函数，然后将点的坐标代入即可求得结果【解答】解：y=x32的导数为：y=x2，将点（1，）的横坐标代入，即可得斜率为：k=1故选：B5设函数f（x）=xex，则（）Ax=1为f（x）的极大值点Bx=1为f（x）的极小值点Cx=1为f（x）的极大值点Dx=1为f（x）的极小值点【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由题意，可先求出f（x）=（x+1）ex，利用导数研究出
10、函数的单调性，即可得出x=1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xex，可得f（x）=（x+1）ex，令f（x）=（x+1）ex=0可得x=1令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（1，+）上是增函数令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（，1）上是减函数所以x=1为f（x）的极小值点故选D6若复数z满足|z|=2，则|1+i+z|的取值范围是（）A1，3B1，4C0，3D0，4【考点】复数求模【分析】设z=a+bi（a，bR），可得a2+b2=4，知点Z（a，b）的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1+i+z|表示点Z（a，b）到点M（1，）的距离，结合图形可求【
11、解答】解：设z=a+bi（a，bR），则=2，即a2+b2=4，可知点Z（a，b）的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1+i+z|表示点Z（a，b）到点M（1，）的距离，（1，）在|z|=2这个圆上，距离最小是0，最大是直径4，故选：D7已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A1a2B3a6Ca3或a6Da1或a2【考点】利用导数研究函数的极值【分析】题目中条件：“函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值”告诉我们其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决【解答】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1
12、，有f（x）=3x2+2ax+（a+6）若f（x）有极大值和极小值，则=4a212（a+6）0，从而有a6或a3，故选C8观察下列各等式：55=3125，56=15625，57=78125，则52013的末四位数字是（）A3125B5625C8125D0625【考点】进行简单的合情推理【分析】由上述的几个例子可以看出末四位数字的变化，3125，5625，8125，0625即末四位的数字是以4为周期的变化的，故2013除以4余1，即末四位数为3125【解答】解：55=3125的末四位数字为3125，56=15625的末四位数字为5625，57=78125的末四位数字为8125，58=390625
13、的末四位数字为0625，59=1953125的末四位数字为3125，根据末四位数字的变化，3125，5625，8125，0625即末四位的数字是以4为周期的变化的，故2013除以4余1，即末四位数为3125则52013的末四位数字为3125故选A9在区间0，1上给定曲线y=x2，如图所示，0t1，S1，S2是t的函数，则函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为（）A（，1）B（，2C0，1D（1，2【考点】定积分【分析】首先利用定积分分别求出S1，S2，得到函数g（t），然后分析其单调性【解答】解：由题意S1=（t2x2）dx=（t2xx3）|=t3，S2=（x2t2）=（t2x+x3）|=t
14、2+t3，所以g（t）=S1+S2=t3t2+，g（t）=4t22t=2t（2t1），令g（t）0解得t或t0，又0t1，所以函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为（，1）；故选：A10已知函数f（x）的导函数图象如图所示，若ABC为锐角三角形，则一定成立的是（）Af（cosA）f（cosB）Bf（sinA）f（cosB）Cf（sinA）f（sinB）Df（sinA）f（cosB）【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】根据导数函数图象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+）单调递减，由ABC为锐角三角形，得A+B，0BA，再根据正弦函数，f（x）单调性判断【解答】解：根据导数函数图
15、象可判断；f（x）在（0，1）单调递增，（1，+）单调递减，ABC为锐角三角形，A+B，0BA，0sin（B）sinA1，0cosBsinA1f（sinA）f（sin（B），即f（sinA）f（cosB）故选；D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11数列an中，a1=1，an+1=，则a2016=2【考点】数列递推式【分析】由a1=1，an+1=，可得an=an+3，利用周期性即可得出【解答】解：a1=1，an+1=，a2=，a3=2，a4=1，an=an+3，则a2016=a3=2故答案为：212复数z=的共轭复数为，则的虚部为1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数
16、的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数z=1+i，=1i，则的虚部为1故答案为：113设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列【考点】类比推理；等比数列的性质【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列下面证明该结论的正确性【解答】解：设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4=b14q6，T8=b18q1+2+7=b18q28，T12=b112q1
17、+2+11=b112q66，=b14q22， =b14q38，即（）2=T4，故T4，成等比数列故答案为： 14f（x）是定义在非零实数集上的函数，f（x）为其导函数，且x0时，xf（x）f（x）0，记a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为cab【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】令g（x）=，得到g（x）在（0，+）递减，通过20.20.22，从而得出答案【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，x0时，xf（x）f（x）0，g（x）在（0，+）递减，又=2，120.22，0.22=0.04，20.20.22，g（）g（20.2）g（0.22），cab，故答案为：cab15已知函数f（
18、x）=xlnx，且0x1x2，给出下列命题：1x2f（x1）x1f（x2）当lnx1时，x1f（x1）+x2f（x2）2x2f（x1）x1+f（x1）x2+f（x2）其中正确的命题序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可【解答】解：f（x）=lnx+1，x（0，）时，f（x）0，f（x）在（0，）单调递减，x（，+），f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增令g（x）=f（x）x=xlnxx，则g（x）=lnx，设x1，x2（1，+），则g（x）0，函数g（x）在（1，+）上是增函数，由x2x1得g（x2）g
19、（x1）；f（x2）x2f（x1）x1，1；故错误；令g（x）=lnx，则g（x）=，（0，+）上函数单调递增，x2x10，g（x2）g（x1），x2f（x1）x1f（x2），即正确，当lnx11时，f（x）单调递增，x1f（x1）+x2f（x2）2x2f（x1）=x1f（x1）f（x2）+x2f（x2）f（x1）=（x1x2）f（x1）f（x2）0x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），x2f（x1）x1f（x2），利用不等式的传递性可以得到x1f（x1）+x2f（x2）2x2f（x1），故正确令h（x）=f（x）+x=xlnx+x，则h（x）=lnx+2，x（0，）时
20、，h（x）0，函数h（x）在（0，）上单调递减，设x1，x2（0，），所以由x1x2得h（x1）h（x2），f（x1）+x1f（x2）+x2，故错误；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16复数z1=+（10a2）i，z2=+（2a5）i，若+z2是实数，求实数a的值【考点】复数的基本概念【分析】可求得+z2=+（a2+2a15）i，利用其虚部为0即可求得实数a的值【解答】解：z1=+（10a2）i，z2=+（2a5）i，+z2是=+（a210）i+ +（2a5）i=（+）+（a210+2a5）i=+（a2+2a15）i，+z2是实数，a2
21、+2a15=0，解得a=5或a=3又分母a+50，a5，故a=317（）求证： +2（）已知a0，b0且a+b2，求证：，中至少有一个小于2【考点】不等式的证明【分析】（）利用了分析法，和两边平方法，（）利用了反证法，假设：，都不小于2，则2，2，推得即a+b2，这与已知a+b2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立【解答】（）证明：因为和都是正数，所以为了证明+2，只要证 （+）2（2）2只需证：1020，即证：210，即证：5，即证：2125，因为2125显然成立，所以原不等式成立（）证明：假设：，都不小于2，则2，2，a0，b0，1+b2a，1+a2b，1+b+1+a2（a+b）即 a+b2
22、这与已知a+b2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立18数列an满足Sn=2nan（nN*）（）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（）用数学归纳法证明（）中的猜想【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理【分析】（）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；（）直接利用数学归纳法证明检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明【解答】（本小题满分8分）解：（）当n=1时，a1=s1=2a1，所以a1=1当n=2时，a1+a2=s2=22a2，所以同理：，由此猜想（）证明：当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立假设n=k（k1且kN*）时，结论成
23、立，即，那么n=k+1时，ak+1=sk+1sk=2（k+1）ak+12k+ak=2+akak+1，所以2ak+1=2+ak，所以，这表明n=k+1时，结论成立由知对一切nN*猜想成立19已知函数f（x）=x32ax23x（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3）的切线方程；（2）对一切x（0，+），af（x）+4a2xlnx3a1恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a0时，试讨论f（x）在（1，1）内的极值点的个数【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求导数，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在点（3，f
24、（3）的切线方程；（）由题意：2ax2+1lnx，即，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围；（）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论f（x）在（1，1）内的极值点的个数【解答】解：（）由题意知，所以f（x）=2x23又f（3）=9，f（3）=15所以曲线y=f（x）在点（3，f（3）的切线方程为15xy36=0（）由题意：2ax2+1lnx，即设，则当时，g（x）0；当时，g（x）0所以当时，g（x）取得最大值故实数a的取值范围为（）f（x）=2x24ax3，当时，存在x0（1，1），使得f（x0）=0因为f（x）=2x24ax3开口向上，所以在（1，x0）内f（x）0，在（x0，1）内f（
25、x）0即f（x）在（1，x0）内是增函数，f（x）在（x0，1）内是减函数故时，f（x）在（1，1）内有且只有一个极值点，且是极大值点当时，因 又因为f（x）=2x24ax3开口向上所以在（1，1）内f（x）0，则f（x）在（1，1）内为减函数，故没有极值点综上可知：当，f（x）在（1，1）内的极值点的个数为1；当时，f（x）在（1，1）内的极值点的个数为020某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a（1a3）元的管理费，预计当每件商品的售价为x（7x9）元时，一年的销售量为（10x）2万件（）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）
26、；（）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用【分析】（）根据条件建立利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；（）利用导数求利润函数的最值即可【解答】解：（）由题得该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为L（x）=（x4a）（10x）2，x7，9（）求函数的导数L（x）=（10x）22（x4a）（10x）=（10x）（18+2a3x），令L（x）=0，得或x=10，1a3，当，即时，x7，9时，L（x）0，L（x）在x7，9上单调递减，故L（x）max=L（7）=279a当，
27、即时，时，L（x）0；时，L（x）0，L（x）在上单调递增；在上单调递减，故答：当每件商品的售价为7元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为279a万元；当每件商品的售价为元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为万元21已知函数f（x）=exx2ax（aR）（）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（）如果函数g（x）=f（x）（a）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再
28、根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f（x）0在R上恒成立，利用参变量分离转化成aexx在R上恒成立，利用导数求h（x）=exx的最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论【解答】解：（）f（x）=exx2ax，f（x）=exxa，根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f（0）=1a，切线方程为y=2x+b，则k=2，1a=2，解得a=1，f（x）=exx2+x，f（0）=
29、1，即切点（0，1），1=20+b，解得b=1；（）由题意f（x）0即exxa0恒成立，aexx恒成立设h（x）=exx，则h（x）=ex1当x变化时，h（x）、h（x）的变化情况如下表：x（，0）0（0，+）h（x）0+h（x）减函数极小值增函数h（x）min=h（0）=1，a1；（）g（x）=f（x）（a）x2，g（x）=exx2axax2+x2=exax2ax，g（x）=ex2axa，x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1x2），ex2axa=0（*）有两个不同的实数根x1，x2当时，方程（*）不成立则，令，则由p（x）=0得：当x变化时，p（x），p（x）变化情况如下表：xp（x）0+p（x）单调递减单调递减极小值单调递增当时，方程（*）至多有一解，不合题意；当时，方程（*）若有两个解，则所以，2016年10月9日
