1、阶段提升课第四课 圆锥曲线的方程思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一 圆锥曲线的定义及应用 1已知动点 M 的坐标满足方程 5 x2y2|3x4y12|，则动点 M 的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D以上都不对【解析】选 C.把轨迹方程 5 x2y2|3x4y12|写成 x2y2|3x4y12|5.所以动点 M 到原点的距离与它到直线 3x4y120 的距离相等所以点 M 的轨迹是以原点为焦点，直线 3x4y120 为准线的抛物线 2在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点
2、，且 ABF2 的周长为 16，那么椭圆C 的方程为_【解析】设椭圆方程为x2a2 y2b2 1(ab0)，因为 AB 过点 F1 且 A，B 在椭圆上，如图所示，则 ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，所以a4.又离心率 eca 22，所以 c2 2，所以 b2a2c28，所以椭圆 C 的方程为x216 y28 1.答案：x216 y28 1“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形
3、的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决 题组训练二 圆锥曲线的方程 1已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于12，则椭圆 C 的方程是()Ax23 y24 1 Bx24 y23 1Cx24 y22 1 Dx24 y23 1【解析】选 D.由题意得c1，ca12，解得a2c1，则 b2a2c23，故椭圆 C 的方程为x24 y23 1.2抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 l 上，线段 PF 与抛物线 C 交于点 A，若FA 12 AP，点 A 到 y
4、轴的距离为 1，则抛物线 C 的方程为()Ax24 3 y Bx23 3 yCx22 3 y Dx2 3 y【解析】选 C.由题可知点 F0，p2，PxP，p2，因为点 A 到 y 轴的距离为 1，且 A 在抛物线上，所以不妨设点 A1，12p，因为FA 12 AP，所以 12p p2 12 p2 12p，解得 p 3 或 3(舍去).所以抛物线的方程为 x22 3 y.3已知抛物线 y28x 的准线过双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_【解析】由题意得c2ca2，解得a1c2，则 b2c2a23，因此双曲线方程为 x2y23 1.
5、答案：x2y23 1 求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定型，后定式，再定量”的步骤(1)定型二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“型”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2ny21(m0，n0).(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 题组训练三 圆锥曲线的几何性质 1如图所示，F1，F2 是椭圆 C1：x24 y21 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是()A.
6、2 B 3C32 D 62【解析】选 D.由椭圆可知|AF1|AF2|4，|F1F2|2 3.因为四边形 AF1BF2 为矩形，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，所以 2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|1248，所以|AF2|AF1|2 2，因此对于双曲线有 a 2，c 3，所以 C2 的离心率 eca 62.2已知 ab0，椭圆 C1 的方程为x2a2 y2b2 1，双曲线 C2 的方程为x2a2 y2b2 1，C1 与 C2 的离心率之积为 32，则 C2
7、 的渐近线方程为_【解析】设椭圆 C1 和双曲线 C2 的离心率分别为 e1 和 e2，则 e1 a2b2a，e2a2b2a.因为 e1e2 32，所以 a4b4a2 32，即4ba（）14，所以ba 22.故双曲线的渐近线方程为 yba x 22x，即 x 2 y0.答案：x 2 y0 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2b2c2(a2b2c2)以及 eca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求
8、离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观 题组训练四 直线与圆锥曲线的位置关系 1若点 A 为抛物线 y14 x2 的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于 B，C 两点，则AB AC()A3 B3 C4 D4【解析】选 A.由题意可得 A(0，0)，抛物线的焦点为(0，1)，所以直线 BC 的方程为：ykx1，联立ykx1y14x2可得14 x2kx10，设 B()x1，y1，C()x2，y2，则 x1x24k，x1x24，所以 y1y
9、2()kx11()kx21k2x1x2k()x1x21，所以AB AC x1x2y1y2()k21x1x2k()x1x21()4()1k24k213.2(2020全国卷)已知 A，B 分别为椭圆 E：x2a2 y21(a1)的左、右顶点，G为 E 的上顶点，AG GB 8，P 为直线 x6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D.(1)求 E 的方程；(2)证明：直线 CD 过定点【解析】(1)依据题意作图如图所示：由题设得 A(a，0)，B(a，0)，G(0，1).则AG(a，1)，GB(a，1).由AG GB 8 得 a218，即 a3.所以 E 的方程为
10、x29 y21.(2)设 P()6，y0，则直线 AP 的方程为：yy006（3）()x3，即：yy09()x3，联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得：x29 y21，yy09()x3，整理得：()y20 9x26y20 x9y20 810，解得：x3 或 x3y20 27y20 9，将 x3y20 27y20 9代入直线 yy09()x3可得：y 6y0y20 9，所以点 C 的坐标为3y20 27y20 9，6y0y20 9.同理可得：点 D 的坐标为3y20 3y20 1，2y0y20 1，所以直线 CD 的方程为：y2y0y20 16y0y20 92y0y20 13y20 27y20
11、93y20 3y20 1x3y20 3y20 1，整理可得：y 2y0y20 1 8y0()y20 36()9y40 x3y20 3y20 1 8y06()3y20 x3y20 3y20 1，整理得：y4y03()3y20 x 2y0y20 34y03()3y20 x32故直线 CD 过定点32，0.直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：(1)相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0 是直线与双曲线相交的充分不必要条件；0直线与抛物线 相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件(2)相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切(3)相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离
