1、2015-2016学年内蒙古包头市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合M=x|3x5，N=x|x5或x5，则MN=（）Ax|x5或x3Bx|5x5Cx|3x5Dx|x3或x52设a，b，cR，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（）Aadbc=0Bacbd=0Cac+bd=0Dad+bc=03已知随机变量服从正态分布N（2，2），且P（4）=0.8，则P（02）=（）A0.6B0.4C0.3D0.24如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A3B4C5D85若变量x，y
2、满足约束条件，则z=2xy的最大值为（）A1B0C3D46已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=x7（x+）5（xR）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A1BC1D28已知函数f（x）=Asin（x+）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A1BCD29设偶函数f（x）满足f（x）=2x4（x0），则x|f（x2）0=（）Ax|x2或x4Bx|x0或x4Cx|x0或x6Dx|x2或x210如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60的菱形，俯视图为正方形，
3、则此几何体的内切球表面积为（）A8B4C3D211设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点为P，则PAB的面积为（）ABCD12已知函数f（x）=，若对xR都有|f（x）|ax，则实数a的取值范围是（）A（，0B2，0C2，1D（，1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；若外的一条直线I与内的一条直线平行，则I设=I，若内有一条直线垂直于I，则直线I的充要条件是I与内的两条直线垂直其中所有的真命题的序号是14正方形
4、的四个顶点A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1）分别在抛物线y=x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是15已知二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，且其图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上函数f（x）在x0，2上的值域是16已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为三、解答题（本大题共5小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设Sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1=S1Sn，nN*（1）求a
5、1a2，并求数列an的通项公式，（2）求数列nan的前n项和Tn18空气质量指数PM2.5（单位：g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类型优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）（）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均
6、为优或良的概率；（）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1（1）证明PCAD；（2）求二面角APCD的正弦值20已知动点M（x，y）到直线：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求点A的坐标21已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（）求k的值；（）求f（x）的单
7、调区间；（）设g（x）=（x2+x）f（x），其中f（x）为f（x）的导函数证明：对任意x0，g（x）1+e2请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E，证明：（）BE=EC；（）ADDE=2PB2选修4-4；极坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为=4sin（）求直线l被圆截得的弦长
8、；（）从极点作圆C的弦，求各弦中点的极坐标方程选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围2015-2016学年内蒙古包头市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合M=x|3x5，N=x|x5或x5，则MN=（）Ax|x5或x3Bx|5x5Cx|3x5Dx|x3或x5【考点】并集及其运算【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集【解答】解：在数轴上画出集合M=x|3x5，N=x|x
9、5或x5，则MN=x|x5或x3故选A2设a，b，cR，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（）Aadbc=0Bacbd=0Cac+bd=0Dad+bc=0【考点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义【分析】本题考查的是复数的充要条件注意到复数a+bi（aR，bR）为实数b=0【解答】解：a，b，cR，复数（a+bi）（c+di）=（acbd）+（ad+bc）i为实数，ad+bc=0，故选D3已知随机变量服从正态分布N（2，2），且P（4）=0.8，则P（02）=（）A0.6B0.4C0.3D0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据随机变量X服从正
10、态分布N（2，2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（02）=P（04），得到结果【解答】解：随机变量X服从正态分布N（2，2），=2，得对称轴是x=2P（4）=0.8P（4）=P（0）=0.2，P（04）=0.6P（02）=0.3故选C4如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A3B4C5D8【考点】循环结构【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：x1248y1234当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4故选B5若变量x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为（）A1B
11、0C3D4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，截距最小，此时z最大，从而求出z=2xy的最大值【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3xz，作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，直线的纵截距最小，此时z最大，最大值为41=3故选C6已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到【解答】解：由双曲线的离心
12、率为，则e=，即c=a，b=a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x故选D7（x+）5（xR）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A1BC1D2【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值【解答】解：Tr+1=C5rx5r（）r=arC5rx52r，又令52r=3得r=1，由题设知C51a1=10a=2故选D8已知函数f（x）=Asin（x+）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A1BCD2【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义；平面向量数量积的运算【分
13、析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的周期T=2，则BC=1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知： =2， =2=2|2=212=2故选：D9设偶函数f（x）满足f（x）=2x4（x0），则x|f（x2）0=（）Ax|x2或x4Bx|x0或x4Cx|x0或x6Dx|x2或x2【考点】偶函数；其他不等式的解法【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x4（x0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案【解答】解：由偶函
14、数f（x）满足f（x）=2x4（x0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|4，则f（x2）=f（|x2|）=2|x2|4，要使f（|x2|）0，只需2|x2|40，|x2|2解得x4，或x0应选：B10如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（）A8B4C3D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意可知，该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心，进而可求此几何体的内切球的半径，即可得到此几何体的内切球表面积【解答】解：由于此几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的内切球的球心即为该
15、几何体的中心，即是正方形的中心由此几何体三视图可知，几何体每个面的三边长分别为，设此几何体的内切球的半径为r，则由体积相等得到： =解得r=，则此几何体的内切球表面积为故答案为 C11设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点为P，则PAB的面积为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】由焦点弦的性质求出AB，再求出P点到直线AB的距离，即可求出PAB的面积【解答】解：由焦点弦的性质可得，P点到直线AB的距离就是原点到直线AB的距离的2倍，为，那么故选：C12已知函数f（x）=，若对xR都有|f（x）|ax，则实数a的取值范围是（
16、）A（，0B2，0C2，1D（，1【考点】分段函数的应用【分析】作出函数的图象，利用不等式恒成立进行转化求解即可【解答】解：由y=|f（x）|的图象知：当x0时，y=ax只有a0时，才有可能满足|f（x）|ax，可排除C，D当x0时，y=|f（x）|=|x2+2x|=x22x故由|f（x）|ax得x22xax当x=0时，不等式为00成立当x0时，不等式等价于x2ax22，a2综上可知：a2，0，故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；若外的一条直线I与内的一条直线平行，
17、则I设=I，若内有一条直线垂直于I，则直线I的充要条件是I与内的两条直线垂直其中所有的真命题的序号是【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】结合判定定理，作出图形举出反例等进行判断【解答】解：由面面平行的判定定理可知正确；由线面平行的判定定理可知正确；当，斜交时，内存在无数条直线都与I垂直，显然，不垂直，故错误；若内的两条平行直线与I垂直，则不能保证I与垂直，故错误故答案为：14正方形的四个顶点A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1）分别在抛物线y=x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是【考点】几何概型【分析】利用几
18、何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论【解答】解：A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1），正方体的ABCD的面积S=22=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2（1）（1+）=2=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是故答案为：15已知二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，且其图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上函数f（x）在x0，2上的值域是1，8【考点】函数零点的判定定理【分析】由函数零点的定义设出f（x）的解析式，结合条件求出顶点坐标，代入函数解析式求出系数，即可求出f（x）的解析式，由配
19、方法和二次函数的性质求出值域【解答】解：二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，设f（x）=ax（x1），则定点的横坐标x=，f（x）图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上，y=log2=1，则顶点为，代入f（x）得， a（1）=1，解得a=4，则f（x）=4x（x1）=4，x0，2，当x=时，f（x）取到最小值是1；当x=2时，f（x）取到最大值是8，1f（x）8，即f（x）的值域是1，816已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由正弦定理化简已知可得2ab2
20、=c2bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc4，再利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：因为：（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC（2+b）（ab）=（cb）c2ab2=c2bc，又因为：a=2，所以：，ABC面积，而b2+c2a2=bcb2+c2bc=a2b2+c2bc=4bc4所以：，即ABC面积的最大值为故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设Sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1=S1Sn，nN*（1）求a1a2，并求数列an的通项公式，（2）求数列nan的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递
21、推式【分析】（1）利用递推式与等比数列的通项公式可得an；（2）利用“错位相减法”、等比数列前n项和公式即可得出【解答】解 （1）a10，2ana1=S1Sn，nN*令n=1得a1=1，令n=2得a2=2当n2时，由2an1=Sn，2an11=Sn1，两式相减得an=2an1， 又a10，则an0， 于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式；（2）由（1）知，nan=n2n1，Tn=1+22+322+n2n1，2Tn=2+222+323+（n1）2n1+n2n，Tn=1+2+22+2n1n2n=n2n=（1n）2n1，Tn=（n1）2n+118空气质量指数PM2.5（单位：g/m3
22、）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类型优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）（）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学
23、期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列【分析】（I）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好（II）由（I）的分析及相互独立事件的概率计算公式即可得出；（III）利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出【解答】解：（）甲城市空气质量总体较好（）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均
24、为优或良的概率为（）X的取值为0，1，2，P（X=2）=X的分布列为：X02P数学期望19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1（1）证明PCAD；（2）求二面角APCD的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）推导出DAPA，ACAD，从而DA面PAC，由此能证明DAPC（2）过A作AMPC交PC于M，连接DM，则AMD为所求角，由此能求出二面角APCD的正弦值【解答】证明：（1）PA平面ABCD，DA平面ABCD，DAPA，又ACAD，PAAC=A，DA面PAC，又PC面PAC，DAP
25、C（2）过A作AMPC交PC于M，连接DM，则AMD为所求角，在RtPAC中，AM=，在RtDAM中，DM=，在RtAMD中，sinAMD=二面角APCD的正弦值为20已知动点M（x，y）到直线：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求点A的坐标【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由已知得|x4|=2，由此能求出动点M的轨迹方程（2）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=x2，设直线m的方程为y=kx+3，代入椭圆，得（3+4k2）x2+24kx
26、+24=0，由此能求出点A的坐标【解答】解：（1）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则|x4|=2，即（x4）2=4（x1）2+4y2，整理得，所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为（2）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=x2，椭圆的上下顶点坐标分别是（0，3）和（0，3），经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在，设直线m的方程为y=kx+3，联立，得，所以，得，设直线m的方程为，则，得21已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行（）求k的值；（）求
27、f（x）的单调区间；（）设g（x）=（x2+x）f（x），其中f（x）为f（x）的导函数证明：对任意x0，g（x）1+e2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）先求出f（x）=，x（0，+），由y=f（x）在（1，f（1）处的切线与x轴平行，得f（1）=0，从而求出k=1；（）由（）得：f（x）=（1xxlnx），x（0，+），令h（x）=1xxlnx，x（0，+），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减；（）因g（x）=（1xxlnx），x（0，+），由（）h（x）=1xxlnx，x（0，+），
28、得1xxlnx1+e2，设m（x）=ex（x+1），得m（x）m（0）=0，进而1xxlnx1+e2（1+e2），问题得以证明【解答】解：（）f（x）=，x（0，+），且y=f（x）在（1，f（1）处的切线与x轴平行，f（1）=0，k=1；（）由（）得：f（x）=（1xxlnx），x（0，+），令h（x）=1xxlnx，x（0，+），当x（0，1）时，h（x）0，当x（1，+）时，h（x）0，又ex0，x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，fx）0，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减；证明：（）g（x）=（x2+x）f（x），g（x）=（1xxlnx），x（0，+），x0，g（x
29、）1+e21xxlnx（1+e2），由（）h（x）=1xxlnx，x（0，+），h（x）=（lnxlne2），x（0，+），x（0，e2）时，h（x）0，h（x）递增，x（e2，+）时，h（x）0，h（x）递减，h（x）max=h（e2）=1+e2，1xxlnx1+e2，设m（x）=ex（x+1），m（x）=ex1=exe0，x（0，+）时，m（x）0，m（x）递增，m（x）m（0）=0，x（0，+）时，m（x）0，即1，1xxlnx1+e2（1+e2），x0，g（x）1+e2请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，P是O外一
30、点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E，证明：（）BE=EC；（）ADDE=2PB2【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定【分析】（）连接OE，OA，证明OEBC，可得E是的中点，从而BE=EC；（）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得ADDE=2PB2【解答】证明：（）连接OE，OA，则OAE=OEA，OAP=90，PC=2PA，D为PC的中点，PA=PD，PAD=PDA，PDA=CDE，OEA+CDE=OAE+PAD=90，OEBC，E是的中点，BE=EC；（）PA是切线，A为切点，割线P
31、BC与O相交于点B，C，PA2=PBPC，PC=2PA，PA=2PB，PD=2PB，PB=BD，BDDC=PB2PB，ADDE=BDDC，ADDE=2PB2选修4-4；极坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为=4sin（）求直线l被圆截得的弦长；（）从极点作圆C的弦，求各弦中点的极坐标方程【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）求出直线的普通方程，以及圆的普通方程，利用圆心到直线的距离以及半径半弦长的关系，求直线l被圆截得的弦长；（）从极点作圆
32、C的弦，设A（0，0），弦OA的中点M（，），列出关系式，即可求各弦中点的极坐标方程【解答】解（）依题，把直线l的参数方程化为普通方程为y=x，把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2=4y，即x2+（y2）2=4，则点C（0，2）到直线l的距离d=，于是所求的弦长为； （）记所作的弦为OA，设A（0，0），弦OA的中点M（，），则，消去0，0，可得=2sin即中点的极坐标方程【注】其他方法比照上述方法酌情给分选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）由a0，f（x）=|x+|+|xa|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）2成立（）由f（3）=|3+|+|3a|5，分当a3时和当0a3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求【解答】解：（）证明：a0，f（x）=|x+|+|xa|（x+）（xa）|=|a+|=a+2=2，故不等式f（x）2成立（）f（3）=|3+|+|3a|5，当a3时，不等式即a+5，即a25a+10，解得3a当0a3时，不等式即 6a+5，即 a2a10，求得a3综上可得，a的取值范围（，）2016年7月31日
