1、四川省雅安中学2019-2020学年高二数学6月月考（期中）试题 理（含解析）本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），第卷1至2页，第卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回.第卷（选择题共60分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第卷共12小题.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知，则( )A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】，整理，得，；解得,或(不合题意,舍去
2、)；n的值为12.故选B.2.如图所示，在复平面内点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】【详解】【分析】因为xyi的共轭复数是xyi，由复数的几何意义知，z与其共轭复数关于x轴对称，故选B.3.：，若为假命题，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求为真命题时的的取值范围，然后可得为假命题时的范围.【详解】若为真命题，则， 即，所以若为假命题，则.故选：D.【点睛】本题主要考查利用命题的真假求解范围问题，可以采用间接法进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.4.已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系
3、数为5，则aA. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【详解】由题意知：，解得，故选D.【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.已知正四棱柱中，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设，面积为考点：线面角6.以下结论不正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】直接根据导数公式及复合函数的求导法则，得到答案.【详解】由幂函数的导数公式可得A,B,C正确，对D，用复合函数的求导法则，得，D错.故选：D【点睛】
4、本题考查了函数的求导公式，以及复合函数的求导法则，属于容易题.7.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（ ）A. 96B. 84C. 92D. 86【答案】A【解析】【分析】首先确定连号的情况，然后把这二张连号捆绑在一起与其它三张全排列即可.【详解】2张参观券连号有(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)四种情况，将2张连号的参观券捆绑在一起与其它三张全排列为：故选：A.【点睛】本题考查了排列与组合的应用，正确理解题意是解题的关键,属于中档题.8.已知函数f(x)=,下列结论中错误的是A. , f()=
5、0B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形C. 若是f(x)极小值点，则f(x)在区间（-,）单调递减D. 若是f（x）的极值点，则()=0【答案】C【解析】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x时，函数值，当x时，函数值也，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定x0R，f(x0)0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为yx3nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果
6、存在极值点x1，x2，则极小值点x2x1，即函数在到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.考点：函数零点、对称性、单调性、极值9.某射击手每次射击击中目标的概率为0.8，则这名射击手在4次射击中至少击中目标1次的概率为（ ）A. 0.9728B. 0.9984C. 0.9948D. 0.9782【答案】B【解析】【分析】先求出其对立事件“一次都未击中”的概率，然后可得结论【详解】事件“一次都未击中”的概率是，所以4次射击中至少击中目标1次的概率为故选：B【点睛】本题考查独立重复试验的概率公式，在遇到“至多”，“至少”等事件时可通
7、过求其对立事件的概率得出结论10.方程的正整数解共有（ ）组A. 165B. 120C. 38D. 35【答案】A【解析】【分析】本题可以将“方程的正整数解”转化为“在12个球中插入隔板”，然后通过排列组合即可求出结果.【详解】如图，将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、，显然满足，故是方程的一组解，反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程的正整数解的数目为：，故选：A.【点睛】本题考查通过排列组合解决方程的解的数目，能否将“方程的正整数解”转化为“在12个球中插入隔板”是解决本题
8、的关键，考查推理能力，考查排列组合的实际应用，是中档题.11. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是A. 若, 则z是实数B. 若, 则z是虚数C. 若z是虚数, 则D. 若z是纯虚数, 则【答案】C【解析】设z=a+bi，a，bR，z2=a2-b2+2abi，对于A，z20，则b=0，所以z是实数，真命题；对于B，z20，则a0，且b0，z是虚数；所以B为真命题；对于C，z是虚数，则b0，所以z20是假命题对于D，z是纯虚数，则a=0，b0，所以z20是真命题；故选C12.设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设，则，若函数在xR上有大于零
9、的极值点即有正根，当有成立时，显然有，此时由，得参数a的范围为故选B考点：利用导数研究函数的极值第卷（非选择题共90分）注意事项：必须使用黑色签字笔或钢笔在答题卡上作答.第卷分为填空题和解答题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上.13.设为虚数单位），则复数的模为 【答案】5【解析】，.14.某动物从出生开始能活到20岁的概率为，活到25岁的概率为，现有一20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率为_.【答案】【解析】【分析】利用条件概率的计算公式即可得出.【详解】设事件A表示某动物活到20岁，则；事件B表示该动物活到25岁，则，所以.故答案为.
10、【点睛】本题考查条件概率的计算，考查分析解决问题的能力，属基础题.15.的展开式中系数最大的项的系数为_.【答案】672【解析】【分析】设第项的系数最大，则，即可求出展开式中系数最大的项【详解】的展开式的通项为设第项的系数最大，则解得，又展开式中系数最大的项为即展开式中系数最大的项的系数为672故答案为：672【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查方程思想，正确计算是关键16.设，定义为的导数，即，若的内角满足，则_.【答案】【解析】【分析】根据导数公式直接进行求导，得到函数具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论【详解】，具备周期性，周期为4且，因为，所以.故答案为：【点睛】本
11、题主要考查导数的计算和函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共6小题，共70分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.（1）求观众甲选中3号歌手的概率；（2）表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由
12、于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为.（2）表示观众甲、乙只有一人投票给3号歌手,分别求出观众甲投票给3号歌手,而乙没有投票给3号歌手和观众乙投票给3号歌手,而甲没有投票给3号歌手的投票方法总数，从而得出答案.【详解】（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，则观众甲选3名歌手有种选法.观众甲选中3号歌手有种选法.所以观众甲选中3号歌手的概率（2）表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和,表示观众甲、乙只有一人投票给3号歌手.观众甲投票给3号歌手,而乙没有投票给3号歌手有种观众乙投票给3号歌手,而甲没有投票给3号歌手有种【点睛】本题考查古
13、典型概率的求解问题，关键是弄清楚基本事件的总数和某事件所包含的基本事件数，属于基础题.18.已知函数.（1）求在点处的切线方程；（2）求的单调减区间.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)本题首先可根据函数解析式得出并求出，然后根据直线的点斜式方程即可求出结果；(2)本题可令导函数，然后求解即可得出函数的单调减区间.【详解】(1)因为函数，所以，因为，所以在点处的切线方程为，化简得，(2)，当时，解得，故函数的单调减区间为.【点睛】本题考查根据导函数求函数的切线方程以及单调区间，若函数的导函数为，当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，考查计算能力，是简单题.19.如图，是半圆的直径，是
14、半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，.（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥体积最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）可先证明，平面，得平面，从而得证面面垂直；（2）由（1）的证明得，由基本不等式可得的最大值，从而得体积最大值【详解】（1）证明：因为是半圆上的点，所以，又平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为，所以是平行四边形，所以，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）由己知，所以，又，当且仅当时等号成立，所以的最大值为8，所以的最大值为【点睛】本题考查证明面面垂直，考查棱锥的体积，掌握面面垂直的判定定理是解题关键求棱锥的体积时可用换底法，以使得高易得，
15、本题中有20.某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.（1）求摸奖者第一次摸球时恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，有种方法，恰好摸到1个红球有种方法，然后可求概
16、率；（2）求出的所有可能值，分别求解其对应的概率，然后可得分布列.【详解】设表示摸到个红球，表示摸到个蓝球，则与独立.（1）从装有3个红球与4个白球袋中任意摸出3个球，有种方法，恰好摸到1个红球有种方法，故所求概率为.（2）的所有可能值为：0，10，50，200，且，.综上知的分布列为01050200【点睛】本题主要考查古典概率和随机变量的分布列，分布列求解时主要分为两个步骤：一是求解随机变量所有的取值；二是求解每个取值对应的概率.侧重考查数学建模的核心素养.21.如图，四棱锥中，底面是正方形，且四个侧面均为等边三角形.延长至点使，连接，.（1）证明：；（2）求二面角平面角的余弦值.【答案】（
17、1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，推导出平面，从而，由此能证明（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】（1）连接，交于点，连接，如图底面是正方形四棱锥中四个侧面均为等边三角形又，故为、的中点平面，为的中点平面（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，0，0，设平面的法向量，则，取，得，1，设平面的法向量，则，取，得，1，设二面角的平面角为，则观察图形知二面角的平面角为钝角二面角的余弦值为【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题22.设函数（是自然
18、对数的底数，）.（1）求的最值；（2）讨论方程的根的个数.【答案】（1）最大值为，无最小值（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由题意有，求出函数的单调区间，根据单调区间可得出函数的最值.（2）当时，则，当时，则,讨论出函数的单调性，在上单调递增, 在上单调递减, 当时，,根据函数的最值的符号情况分析其零点个数.【详解】（1），由，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，所以的最大值为，无最小值.（2）令，（1）当时，则，所以，因为，所以，因此在上单调递增.（2）当时，则，所以，因为，又，所以，所以，因此在上单调递减.综合（1）（2）可知，当时，当，即时，没有零点，故关于的方程根的个数为0；当，即时，只有一个零点，故关于的方程根的个数为1；当，即时，当时，由（1）知，要使，只需使，即；当时，由（1）知；要使，只需使，即；所以当时，有两个零点,故关于的方程根的个数为2；当时，关于的方程根的个数为0；当时，关于的方程根的个数为1；当时，关于的方程根的个数为2.【点睛】本题考查求函数的最值，讨论函数的零点个数，关键是分析出函数的单调性，进一步得到函数的零点情况，属于难题.
