1、压轴题(二)第二部分刷题型12设实数 m0，若对任意的 xe，不等式 x2ln xmemx 0 恒成立，则 m 的最大值是()A1eBe3C2eDe答案 D解析 不等式 x2ln xmemx 0 x2ln xmemx xln xmxemx eln xln xmxemx，设 f(x)xex(x0)，则 f(x)(x1)ex0，所以 f(x)在(0，)上是增函数，因为mx0，ln x0，所以mxln x，即 mxln x 对任意的 xe 恒成立，此时只需 m(xln x)min，设 g(x)xln x(xe)，g(x)ln x10(xe)，所以 g(x)在e，)上为增函数，所以 g(x)ming(
2、e)e，所以 me，即 m 的最大值为 e.故选 D.16祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型，设某双曲线型冷却塔是曲线x2a2y2b21(a0，b0)与直线x0，y0 和 yb 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所得，如图所示，试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为_答案 43a2b解析 如题图，A 点在双曲线上，B 点在渐近线上，则图中
3、圆环的面积为 x2Ax2Ba2y2Ab2 a2 ayAb2a2，从而根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何体的体积等于底面半径为 a、高为 b 的圆柱的体积，所以此冷却塔的体积为 a2b13a2b43a2b.20(2019河南开封三模)已知函数 f(x)exa，g(x)a(x1)(常数 aR)(1)当 g(x)与 f(x)的图象相切时，求 a 的值；(2)设(x)f(x)g(x2)，讨论(x)在(0，)上零点的个数解(1)设切点为 A(x0，ex0 a)，因为 f(x)ex，所以过 A 点的切线方程为 yex0 aex0 (xx0)，即 yex0 xx0ex0
4、ex0 a，由题意可得ex0 a，ex0 x0ex0 aa，解得 ae.(2)由题意可得(x)exax2，设函数 h(x)1ax2ex，(x)在(0，)上零点的个数与 h(x)在(0，)上零点的个数相同，当 a0 时，h(x)0，h(x)没有零点；当 a0 时，h(x)ax(x2)ex，x(0,2)时，h(x)0，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增故h(2)14ae2是 h(x)在(0，)上的最小值.若 h(2)0，即 ae24时，h(x)在(0，)上没有零点；若 h(2)0，即 ae24时，h(x)在(0，)上只有一个零点；若 h(2)e24时，由于 h(0)1，所以 h(
5、x)在(0，)上有两个零点，综上，当 ae24时，(x)在(0，)上有两个零点21(2019全国卷)已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x，y)满足直线AM 与 BM 的斜率之积为12.记 M 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G.证明：PQG 是直角三角形；求PQG 面积的最大值解(1)由题意，得 yx2yx212，化简，得x24y221(|x|2)，所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点(2)证明：设直
6、线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ykx(k0)由ykx，x24y221，得 x212k2.设 u212k2，则 P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线 QG 的斜率为k2，方程为 yk2(xu)由yk2xu，x24y221，得(2k2)x22uk2xk2u280.(*)设 G(xG，yG)，则u 和 xG 是方程(*)的解，故 xGu3k222k2，由此，得 yG uk32k2.从而直线 PG 的斜率为uk32k2uku3k222k2u1k.所以 PQPG，即PQG 是直角三角形由，得|PQ|2u 1k2，|PG|2uk k212k2，所以PQG 的面积S12|PQ|PG|8k1k212k22k281kk121kk 2.设 tk1k，则由 k0，得 t2，当且仅当 k1 时取等号因为 S8t12t2在2，)上单调递减，所以当 t2，即 k1 时，S 取得最大值，最大值为169.因此，PQG 面积的最大值为169.本课结束
