1、第13练以函数为背景的创新题型题型一新定义函数名称的问题例1定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A B C D破题切入点准确把握严格按照“保等比数列函数”的概念逐个验证答案C解析等比数列性质，anan2a，f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1)；f(an)f(an2)2an2an22anan2f2(an1)；f(an)f(an2)2f2(an1)；
2、f(an)f(an2)ln |an|ln |an2|(ln |an1|)2f2(an1)题型二新定义函数的性质或部分性质问题例2设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1D，存在唯一的x2D，使得C成立(其中C为常数)，则称函数yf(x)在D上的均值为C.现在给出下列4个函数：yx3；y4sin x；ylg x；y2x.则在其定义域上的均值为2的所有函数是()A BC D破题切入点如何求均值？按定义，能否使均值为2?答案D解析经验证，是符合题意的；对于，x2不唯一；对于，若满足题中的定义，则f(x1)f(x2)4，f(x2)4f(x1)，由x1的任意性，知f(x2)需满足能取到负值，而这是
3、不可能的，故选D.总结提高有关以函数为背景的创新题型，题型主要以选择、填空题尤其以多项选择题为主，一般是先叙述或新规定一些条件，若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质，解决办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决，注意严格准确把握新定义1设D(x，y)|(xy)(xy)0，记“平面区域D夹在直线y1与yt(t1,1)之间的部分的面积”为S，则函数Sf(t)的图象的大致形状为()答案C解析如图，平面区域D为阴影部分，当t1时，S0，排除D；当t时，SSmax，排除A、B.2设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意的xa，b，都有|f(x)
4、g(x)|k(k0)，则称f(x)与g(x)在a，b上是“k度和谐函数”，a，b称为“k度密切区间”设函数f(x)ln x与g(x)在，e上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是()Ae1,1 B1，e1Ce,1e D1e,1e答案B解析设h(x)f(x)g(x)ln xmln x，h(x)，故当x，1)时，h(x)1，所以h()h(e)，故函数h(x)的最大值为h()me1.故函数h(x)在，e上的值域为m1，me1由题意，得|h(x)|e，即eh(x)e，所以解得1m1e.3对于函数f(x)，若任意的a，b，cR，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形
5、函数”已知函数f(x)是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是()A，2 B0,1C1,2 D(0，)答案A解析因为对任意的实数x1，x2，x3R，都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，故f(x1)f(x2)f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立由f(x)1，设ex1m(m1)，则原函数可化为f(m)1(m1)，当t1时，函数f(m)在(1，)上单调递减，所以f(m)(1，t)，此时2f(x1)f(x2)2t,1f(x3)f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需t2，所以1t2；当t1时，f(x)1，显然满足题意；当t1时，函数f(m)在(1，)上单调递增，
6、所以y(t,1)，此时2tf(x1)f(x2)2，tf(x3)f(x3)对任意的x1，x2，x3R恒成立，需满足2t1，所以t1.综上t，2，故选A.4若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf(x)的图象上；P，Q关于原点对称则称点对P，Q是函数yf(x)的一对“友好点对”(点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”)已知函数f(x)则此函数的“友好点对”有()A0对 B1对 C2对 D3对答案C解析函数f(x)的图象及函数f(x)x24x(x0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)x24x(x0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”
7、有2对，选C.5(2014山东)对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是()Af(x) Bf(x)x2Cf(x)tan x Df(x)cos(x1)答案D解析由f(x)f(2ax)知f(x)的图象关于xa对称，且a0，A，C中两函数图象无对称轴，B中函数图象对称轴只有x0，而D中当ak1(kZ)时，xa都是ycos(x1)的图象的对称轴故选D.6(2014辽宁)已知定义在0,1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0,1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x，y0,1，|f
8、(x)f(y)|k恒成立，则k的最小值为()A. B.C. D.答案B解析取y0，则|f(x)f(0)|x0|，即|f(x)|x，取y1，则|f(x)f(1)|x1|，即|f(x)|(1x)|f(x)|f(x)|xx，|f(x)|.不妨取f(x)0，则0f(x)，0f(y)，|f(x)f(y)|0，要使|f(x)f(y)|k恒成立，只需k.k的最小值为.7设集合M(x，y)|yf(x)，若对于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，则称集合M为“垂直双点集”给出下列四个集合：M(x，y)|y；M(x，y)|ysin x1；M(x，y)|ylog2x；M(x，y)
9、|yex2其中是“垂直双点集”的序号是()A B C D答案D解析对于，y是以x轴，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90，在同一支上，任意(x1，y1)M，不存在(x2，y2)M，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x1，y1)M，在另一支上也不存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不是“垂直双点集”对于，M(x，y)|ysin x1，如图1所示，在曲线ysin x1上，对任意的点B(x1，y1)M，总存在点C(x2，y2)M，使得OBOC，即x1x2y1y20成立，故M(x，y)|ysin x1是“垂直双点集”对于，M(x，y)|ylog2x，如
10、图2所示，在曲线ylog2x上，取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”对于，M(x，y)|yex2，如图3所示，在曲线yex2上，对任意(x1，y1)M，总存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，例如取(0，1)，(ln 2,0)，满足“垂直双点集”的定义8下图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x
11、轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)n.现给出以下命题：f(2)0；f(x)的图象关于点(2,0)对称；f(x)在区间(3,4)上为常数函数；f(x)为偶函数其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案解析如图所示由定义可知2的象为0.即f(2)0；由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；结合图形可知m(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；因为函数的定义域为0,4，不关于原点对称，故函数不是偶函数综上可知命题是正确的9对于函数f(x)，若存在区间Ma，b(其中ag(x)恒成立，则实数b的取值范围是_答案(2，)解析由已知
12、得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)g(x)恒成立，即6x2b，3xb恒成立在同一坐标系内，画出直线y3xb及半圆y(如图所示)，可得2，即b2，故答案为(2，)11若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)2log2 x，f2(x)log2 (x2)，f3(x)(log2 x)2，f4(x)log2(2x)则“同形”函数是_答案f2(x)与f4(x)解析f4(x)log2(2x)1log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)log2(x2)的图象故根据新定义得，f2(x)log2 (x2
13、)与f4(x)log2 (2x)为“同形”函数12已知集合A1,2,3，2n(nN*)对于A的一个子集S，若S满足性质P：“存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1s2|m”，则称S为理想集对于下列命题：当n10时，集合BxA|x9是理想集；当n10时，集合CxA|x3k1，kN*是一个理想集；当n1 000时，集合S是理想集，那么集合T2 001x|xS也是理想集其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的元素是否具有性质P，并恰当构造反例，进行否定(1)当n10时，A1,2,3，19,20，BxA|x
14、910,11,12，19,20因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b110与b210m，使得|b1b2|m成立因而B不具有性质P，不是理想集，故为假命题(2)对于CxA|x3k1，kN*，因为可取m110，对于该集合中任意一对元素c13k11，c23k21，k1，k2N*，都有|c1c2|3|k1k2|1.故C具有性质P，为真命题；(3)当n1 000时，则A1,2,3，1 999,2 000，因为T2 001x|xS，任取t2 001x0T，其中x0S，SA，所以x01,2,3，2 000，从而12 001x02 000，即tA，所以TA.由S具有性质P，就是存在不大于1 000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1s2|m.对于上述正整数m，从集合T2 001x|xS中任取一对元素t12 001x1，t22 001x2，其中x1，x2S，则有|t1t2|x1x2|m，所以集合T2 001x|xS具有性质P，为真命题故填.
