1、包九中20152016学年度第一学期期中考试高三年级数学卷（文科）命题人：毛华清 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若全集U=1，2，3，4，5，6，M=1，4，N=2，3，则集合（UM）N等于( )A2，3B2，3，5，6C1，4D1，4，5，62设复数z满足（1i）z=2i，则z=( )A1+iB1iC1+iD1i3“x0”是“ln（x+1）0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4在ABC中，AC=1，B=30，ABC的面积为，则C=( )A30B45C60D755设Sn为等差
2、数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2Sn=36，则n=( )A5B6C7D86若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )ABCD7已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A3B3C1D8执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为( )A4B5C6D79已知函数，若，则f（a）=( )ABCD10在ABC中，若|+|=|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则=( )ABCD11函数y=的图象与函数y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A2B4C6D812定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）=4，则不
3、等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，+）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸上.）13已知，则sin+cos=_14已知an是等比数列，则a1a2+a2a3+anan+1=_15若直线l：（a0，b0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是_16已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，2AC=AB，若四面体PABC的体积为，则该球的体积为_三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17（12分
4、）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当x0，时，求函数f（x）的值域18（12分）等比数列an的前n 项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列（）求an的公比q；（）若a1a3=3，bn=nan求数列bn的前n 项和Tn19（12分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3（）求角C；（）若向量与共线，求a、b的值20（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图所示（）在CD上找一点F，使A
5、D平面EFB；（）求点C到平面ABD的距离21（12分）已知函数f（x）=alnx（a0），e为自然对数的底数（）若过点A（2，f（2）的切线斜率为2，求实数a的值；（）当x0时，求证：f（x）a（1）；（）在区间（1，e）上1恒成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CEAB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG（）求证：C是劣弧BD的中点；（）求证：BF=FG选修4-4：坐标系与参数方程23（10分）已知直线l：（t为参数），曲线C1：（为参数）（）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（）若把曲线C1上各点
6、的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值 选修4-5：不等式选讲24（10分）设函数f（x）=|2x+1|x4|（）解不等式f（x）0；（）若f（x）+3|x4|m对一切实数x均成立，求m的取值范围一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若全集U=1，2，3，4，5，6，M=1，4，N=2，3，则集合（UM）N等于( )A2，3B2，3，5，6C1，4D1，4，5，6考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算即可得到结论解答：解：由
7、补集的定义可得UN=2，3，5，则（UN）M=2，3，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2设复数z满足（1i）z=2i，则z=( )A1+iB1iC1+iD1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：根据所给的等式两边同时除以1i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果解答：解：复数z满足z（1i）=2i，z=1+i故选A点评：本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算3“x0”是“ln（x+1）0”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必
8、要条件考点：充要条件 专题：计算题；简易逻辑分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答：解：x0，x+11，当x+10时，ln（x+1）0；ln（x+1）0，0x+11，1x0，x0，“x0”是ln（x+1）0的必要不充分条件故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础4在ABC中，AC=1，B=30，ABC的面积为，则C=( )A30B45C60D75考点：三角形的面积公式 专题：解三角形分析：利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用ABC的面积确定C的大小，即可得出结论解答：解：ABC中，B=30，AC=1，
9、AB=，由正弦定理可得：=，sinC=，C=60或120，C=60时，A=90；C=120时A=30，当A=90时，ABC的面积为ABACsinA=，当A=30时，ABC的面积为ABACsinA=，不满足题意，则C=60故选：C点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题5设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2Sn=36，则n=( )A5B6C7D8考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由Sn+2Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n解答：解：由Sn+2Sn=36，得：an+1+an+2
10、=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，2+2n+2（n+1）=36解得：n=8故选：D点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题6若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )ABCD考点：平面图形的直观图 专题：空间位置关系与距离分析：逐一分析四个答案中几何体的三视图，比照已知中的三视图，可得答案解答：解：A中，的三视图为：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选：A点评：本题考查的知识点是三
11、视图的画法，能根据已知中的直观图，画出几何体的三视图是解答的关键7已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( )A3B3C1D考点：简单线性规划 专题：计算题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可解答：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，1）时，z最大是3，故选A点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题8执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为( )A4B5C6D7考点：程序框图 专题：计算题；规律型；算法和程序
12、框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+100时，k+1的值解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+100时，k+1的值第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环故最后输出k的值为4故选：A点评：本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果这是
13、算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模9已知函数，若，则f（a）=( )AB CD考点：函数的值 专题：计算题分析：利用f（x）=1+，f（x）+f（x）=2即可求得答案解答：解：f（x）=1+，f（x）=1，f（x）+f（x）=2；f（a）=，f（a）=2f（a）=2=故选C点评：本题考查函数的值，求得f（x）+f（x）=2是关键，属于中档题10在ABC中，若|+|=|，AB=2，A
14、C=1，E，F为BC边的三等分点，则=( )ABCD考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求解答：解：若|+|=|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）（+）=（）（）=（+）（+）=+=（1+4）+0=故选B点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题11函数y=的图象与函数y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A2B4C6D8考点：奇偶函数图象的对称性；三角函数的周
15、期性及其求法；正弦函数的图象 专题：压轴题；数形结合分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2由此不难得到正确答案解答：解：函数，y2=2sinx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1x4时，y10而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（2，1）上函数值为正数，且与y
16、2的图象有四个交点A、B、C、D且：xA+xH=xB+xGxC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8故选D点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在12定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）=4，则不等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（0，+）D（3，+）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算 专题：导数的综合应用分析：构造函数g（x）=exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和
17、函数值，即可求解解答：解：设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+3，g（x）3，又g（0）e0f（0）e0=41=3，g（x）g（0），x0故选：A点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸上.）13已知，则sin+cos=考点：三角函数的恒等变换及化简求值 专题：计算题分析：通过已知求出tan
18、，利用同角三角函数的基本关系式，结合角的范围，求出sin，cos的值即可解答：解：解得tan=，sin2+cos2=1tan=，解得sin=，cos=sin+cos=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力14已知an是等比数列，则a1a2+a2a3+anan+1=考点：数列的求和；等比数列的通项公式 专题：计算题分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列anan+1每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案解答：解：由 ，解得 数列anan+1仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为点评：本题主要考查等比数列通项的
19、性质和求和公式的应用应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息15若直线l：（a0，b0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2考点：直线的截距式方程 专题：直线与圆分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值解答：解：直线l：（a0，b0）经过点（1，2）=1，a+b=（a+b）（）=3+3+2，当且仅当b=a时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2故答案为：3+2点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题16已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面A
20、BC，2AC=AB，若四面体PABC的体积为，则该球的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以ABC在大圆所在平面内且有ACBC，由此能求出球的体积解答：解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，AC=R，由于AB是球的直径，所以ABC在大圆所在平面内且有ACBC，在RtABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2AC2=R2，所以RtABC面积S=BCAC=，又PO平面ABC，且PO=R，四面体PABC的体积为，VPABC=，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=R
21、3=3=4故选D点评：本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）当x0，时，求函数f（x）的值域考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（）先求2x的范围，可得sin（2x）的范围，从而可求函数f（x）的值
22、域解答：解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x =sin（2x）+函数f（x）的最小正周期为T=因为+2k2x+2k，解得+kx+k，kZ，所以函数f（x）的单调递增区间是+k，+k，kZ，（）当x0，时，2x，sin（2x），1，所以函数f（x）的值域为f（x）0，1+点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查18等比数列an的前n 项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求an的公比q；（2）若a1a3=3，bn=nan求数列bn的前n 项和Tn考点：数列的求和；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（
23、I）分类讨论利用等差等比是列的定义公式得出当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q1时，化简得出：2q2q1=0，求解即可（II）运用得出数列，等比数列的性质得出bn=nanan=n1，再利用错位相减求和即可解答：解：（）等比数列an的前n 项和为Sn，当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q1时，Sn=，S1，S3，S2成等差数列2S3=S1+S2，化简得出：2q2q1=0，解得：，（）a1a3=3，a1a1=3，a1=4bn=nanan=n1bn=nan=4n（）n1Tn=4Tn=4错位相减得出Tn=4nTn=4，Tn=（1（）n
24、）n（）nTn=（）nn（）n点评：本题考查了等比等差数列的性质，错位相减法求解数列的和，考查了学生的计算化简能力，属于中档题19已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值考点：余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理 专题：计算题分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin（2C30）=1，结合C的范围可求C（2）由（1）C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求解答：解：（1），sin（2C30）=10C180C=60（2）由（1）可得A+B=120与共线
25、，sinB2sinA=0sin（120A）=2sinA整理可得，即tanA=A=30，B=90c=3a=，b=2点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用20如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（1）在CD上找一点F，使AD平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在ACD中，可证ADEF，又EF平面EFB
26、AD平面EFB，可证AD平面EFB（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证ADBD，可得，又三棱锥BACD的高BC=2，SACD=2，由=即可解得点C到平面ABD的距离解答：（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在ACD中，E，F分别为AC，DC的中点，EF为ACD的中位线ADEF，EF平面EFB，AD平面EFBAD平面EFB（2）设点C到平面ABD的距离为h，平面ADC平面ABC，且BCAC，BC平面ADC，BCAD，而ADDCAD平面BCD，即ADBD三棱锥BACD的高BC=2，SACD=2，=可解得：h=2点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了
27、空间想象能力和转化思想，属于中档题21已知函数f（x）=alnx（a0），e为自然对数的底数（）若过点A（2，f（2）的切线斜率为2，求实数a的值；（）当x0时，求证：f（x）a（1）；（）在区间（1，e）上1恒成立，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（）构造函数，利用导数证明不等式即可；（）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论解答：解答：（I）函数的f（x）的导数f（x）=，过点A（2，f（2）的切线斜率为2，f（2）=2，解得a=4（）令g（
28、x）=f（x）a（1）=a（lnx1+）；则函数的导数g（x）=a（）令g（x）0，即a（）0，解得x1，g（x）在（0，1）上递减，在（1，+）上递增g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）a（1）成立（）令h（x）=alnx+1x，则h（x）=1，令h（x）0，解得xa当ae时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）h（1）=0当1ae时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，只需h（x）0，即ae1当a1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）0，h（e）=a+1e0不合题意综上，ae1点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间
29、的关系，考查学生的综合应用能力选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CEAB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG（）求证：C是劣弧BD的中点；（）求证：BF=FG考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明CAB=DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CEAB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论（II）由已知及（I）的结论，我们易证明BFC及GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论解答：解：（I）CF=FGCGF=FCGAB圆O的直径CEABCBA
30、=ACECGF=DGACAB=DACC为劣弧BD的中点（II）GBC=FCBCF=FB同理可证：CF=GFBF=FG点评：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CEAB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l：（t为参数），曲线C1：（为参数）（）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的
31、参数方程 专题：计算题分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可解答：解：（I）l的普通方程为y=（x1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，）所以|AB|=1；（II）曲线C2：（为参数）设所求的点为P（cos，sin），则
32、P到直线l的距离d=当sin（）=1时，d取得最小值点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2x+1|x4|（1）解不等式f（x）0；（2）若f（x）+3|x4|m对一切实数x均成立，求m的取值范围考点：绝对值不等式的解法；函数最值的应用 专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：（1）分类讨论，当x4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x4|的最小值为9，故m9解答：解：（1）当x4时f（x）=2x+1（x4）=x+50得 x5，所以，x4时，不等式成立当时，f（x）=2x+1+x4=3x30，得x1，所以，1x4时，不等式成立当时，f（x）=x50，得x5，所以，x5成立综上，原不等式的解集为：x|x1或x5（2）f（x）+3|x4|=|2x+1|+2|x4|2x+1（2x8）|=9，当，所以，f（x）+3|x4|的最小值为9，故 m9点评：本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想
