1、北京市东城区2011-2012学年第二学期综合练习（一）高三数学（文科）学校_班级_姓名_考号_第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若，是虚数单位，且，则的值为（A） （B） （C） （D）（2）若集合，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）若点在不等式组表示的平面区域内，则的最大值为 （A） （B） （C） （D）（4）已知，若，成等差数列，则的值为 （A）（B）（C）（D）（5）右图给出的是计算的值的一个程序框图， 其中判断框内应
2、填入的条件是 （A） （B） （C） （D） （6）已知，且，则的值为 （A） （B） （C） （D）（7）已知函数其中的图象如右图所示，则函数的图象大致为 （A） （B） （C） （D）（8）设集合，函数若，且， 则的取值范围是 （A）( （B） ( （C）() （D） 0，第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知一个四棱w ww.ks 5u.c om锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 . (10) 命题“”的否定是 .(11) 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的
3、一组是 组(12)双曲线的离心率为 ；若抛物线的焦点恰好为该双曲线的右焦点，则的值为 . (13)已知中，于，则_(14) 已知数列，若中有且只有个不同的数字，则的不同取值共有 个三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分） 已知函数.（）求的最小正周期；（）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，当,时，求的最大值和最小值.（16）（本小题共13分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”若小区内有至少的
4、住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” 已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.（）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？（17）（本小题共14分） 如图，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，.（如图）（）若为中点，求证：平面；（）求证：. 图1 图2 （18）（本小题共13分）已知是函数的一个极值点 （）求
5、的值；（）当，时，证明：（19）（本小题共13分） 已知椭圆过点，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.（20）(本小题共14分) 对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和,即,.（）设函数，求集合和；（）求证：；（）设函数，且，求证：.北京市东城区2011-2012学年第二学期综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）D （4）C （5）B （6）D （7）
6、A （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11）84 乙（12） （13） （14）注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）因为 , 6分所以函数的最小正周期为. 8分 （）依题意, . 10分 因为，所以. 11分 当，即时，取最大值；当，即时， 取最小值. 13分 （16）（共13分） 解：（）设三个“非低碳小区”为，两个“低碳小区”为 2分用表示选定的两个小区，则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是，, ,，. 5分用表示：“选出的两个小区恰有一个
7、为非低碳小区”这一事件，则中的结果有6个，它们是：，, ，,. 7分故所求概率为. 8分（II）由图1可知月碳排放量不超过千克的成为“低碳族”. 10分由图2可知，三个月后的低碳族的比例为，12分所以三个月后小区达到了“低碳小区”标准. 13分（17）（共14分）证明：（）取中点，连结 在中，分别为的中点， 所以，且 因为， 所以,且， 所以，且 所以四边形为平行四边形 所以 5分 又因为平面，且平面， 所以平面 7分（） 取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形. 又因为, 所以. 所以在图2中有. 9分因为平面平面，平面平面，所以平面. 12分又平面，所以. 14分（18）（共13分）（
8、）解：， 2分由已知得，解得 4分 当时，在处取得极小值所以. 5分（）证明：由（）知，. 当时，在区间单调递减； 当时，在区间单调递增. 8分所以在区间上，的最小值为，又，所以在区间上，的最大值为. 12分对于，有所以. 13分（19）（共13分）（）解：由题意可知， 解得. 4分所以椭圆的方程为. 5分（）证明：由（）可知,，.设，依题意，于是直线的方程为，令，则.即. 7分又直线的方程为，令，则，即. 9分所以 ，11分又在上，所以,即，代入上式，得,所以为定值. 13分（20）（共14分）（）解：由，得，解得； 1分 由，得，解得. 3分 所以集合，. 4分（）证明：若，则显然成立； 若,设为中任意一个元素，则有， 所以，故，所以. 8分（）证明：由，得方程无实数解， 则. 10分 当时，二次函数（即）的图象在轴的上方，所以任意，恒成立，即对于任意，恒成立，对于实数，则有成立，所以对于任意，恒成立，则. 12分当时，二次函数（即）的图象在轴的下方，所以任意，恒成立，即对于任意，恒成立，对于实数，则有成立，所以对于任意，恒成立，则.综上，对于函数，当时，. 14分
