1、考点六 不等式及线性规划 第一部分 刷考点A卷 一、选择题1若 ab1bB 1ab1aCacbcDa2b2答案 A解析 由 ab0 得1a1bbaab 0，故 A 正确；由 ab0，得 aab0，即 1ab0 时，由 ab0，得 acbc，故 C 错误；由 ab|b|，即 a2b2，故 D 错误故选 A.2(2019安徽六安舒城中学模拟)集合 Pxx1x3 0，Qx|y4x2，则 PQ()A(1,2B1,2C(，3)(1，)D1,2)答案 A解析 因为 Px|x1，Qx|4x20 x|2x2，所以 PQ(1,23已知点 A(3，1)与点 B(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则实数 a 的
2、取值范围是()A(24,7)B(7,24)C(，24)(7，)D(，7)(24，)答案 B解析 由题意可得(92a)(1212a)0，所以7a24.故选 B.4如果关于 x 的不等式 x2axb 的解集是x|1x3，那么 ba 等于()A81B81C64D64答案 B解析 不等式 x2axb 可化为 x2axb0，其解集为x|1x3，所以1,3 是方程 x2axb0 的根，所以13a，13b，解得a4，b3，所以 ba(3)481.5设 x，y 满足约束条件2xy60，x2y60，y0，则目标函数 zxy 取最小值时的最优解是()A(6,0)B(3,0)C(0,6)D(2,2)答案 B解析 作
3、出2xy60，x2y60，y0表示的可行域(如图，三角形 ABC 内部及边界即为所作可行域)，由图知平移 yxz 至 B 点处达到最小值，联立y0，2xy60，解得x3，y0，即 B(3,0)，目标函数 zxy 取最小值时的最优解是(3,0)故选 B.6下列函数中，最小值是 4 的函数是()Ayx4xBysinx 4sinx(0 x)Cyex4exDylog3xlogx81答案 C解析 当 x0 时，yx4x4，排除 A；0 x，0sinx1.ysinx 4sinx4，但 sinx 4sinx无解，排除 B；ex0，yex4ex4.等号在ex4ex，即 ex2 时成立xln 2，C 正确；若
4、0 x1，则 log3x0，logx810，排除 D.故选 C.7已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0成立，则实数 m 的取值范围为()A32，22B 22，22C32，0D 22，0答案 D解 析 对 于 任 意x m，m 1，都 有f(x)0，所 以fm2m210，fm12m23m0，解得 22 m0，即实数 m 的取值范围是 22，0.8(2019安徽宣城期末)若实数 x，y 满足xy3，xy3，x2y6，则(x1)2y2的最小值为()A2 2B 10C8D10答案 C解析 作出可行域如图中阴影部分所示，(x1)2y2 的几何意义为可行域内的动点与定点(
5、1，0)的距离的平方，由图可知，最小值为点(1，0)到直线 xy3 的距离的平方，即|13|228.故选 C.二、填空题9已知变量 x，y 满足约束条件xy50，x2y10，x10，则 zx2y 的最小值是_答案 3解析 画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则直线 y12xz2经过 A 点时 z 最小，由x1，x2y10，得 A(1,1)，所以 zmin1213.10不等式 x5x122 的解集是_答案 12，1(1,3解析 x5x1220 等价于2x1x3x120等价于2x1x30，x10等价于12x3 且 x1.所以原不等式的解集为12，1(1,311(2019江苏沭阳期中调研)
6、有下面四个不等式：a2b2c2abbcca；a(1a)14；baab2；ab2 ab.其中恒成立的有_个答案 2解析 因为 2(a2b2c2)2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，所以 a2b2c2abbcca 成立，正确；因为 a(1a)a2aa1221414，所以正确；当 a，b 同号时，有abba2，当 a，b 异号时，abba2，所以错误；ab0 时，ab2 ab不成立其中恒成立的个数是 2 个12已知 f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，则 f(2)的取值范围为_答案 5,10解析 解法一：设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a2b
7、m(ab)n(ab)，即 4a2b(mn)a(nm)b.则mn4，nm2，解得m3，n1，f(2)3f(1)f(1)，又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故 5f(2)10.解法二：由1ab2，2ab4确定的平面区域如图中阴影部分所示，当 f(2)4a2b 过点 A32，12 时，取得最小值 4322125，当 f(2)4a2b 过点 B(3,1)时，取得最大值 432110，所以 5f(2)10.三、解答题13已知函数 f(x)xaxb(a，b 为常数)(1)若 b1，解不等式 f(x1)1xb2恒成立，求 b 的取值范围解(1)f(x)xaxb，b1，f(x)xax1，
8、f(x1)x1ax11x1ax，f(x1)0，x1ax0，等价于 xx(1a)0，即 a1 时，不等式的解集为(0,1a)；当 1a0，即 a1 时，不等式的解集为；当 1a1 时，不等式的解集为(1a,0)(2)a1，f(x)1xb2，x1xb 1xb2(xb)(x1)1，()显然 xb，易知当 x1 时，不等式()显然成立；当1 1x1x11x1x1，x10，1x1(x1)21x1x12，当且仅当 x0 时，等号成立，故 b1.xb0，xb，而b1,2，故 b1.综上所述，b1.14电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广
9、告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560 乙60525 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？解(1)由已知，x，y 满足的数学关系式为 70 x60y600，5x5y30，x2y，x0，y0，即7x6y60，xy6，x2y0，x
10、0，y0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分：(2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z60 x25y.将 z60 x25y 变形为 y125 x z25，这是斜率为125，随 z 变化的一组平行直线，z25为直线在 y 轴上的截距，当 z25取得最大值时，z 的值最大又因为 x，y 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线 z60 x25y 经过可行域上的点 M 时，截距 z25最大，即 z 最大解方程组7x6y60，x2y0，得点 M 的坐标为(6,3)所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时，才能使总收视人次最多B卷 一、选择题1(2019河北石
11、家庄模拟一)设变量 x，y 满足约束条件x2y20，x2y20，y2，则目标函数 zx3y 的最小值为()A6B8C4D3答案 C解析 由约束条件x2y20，x2y20，y2作出可行域如图中阴影部分所示联立y2，x2y20，解得 A(2,2)，化目标函数 zx3y 为 yx3z3，由图可知，当直线 yx3z3过 A 时，直线 yx3z3在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 4.故选 C.2(2019广东六校第四次联考)若 x，y 满足xy0，y10，y2x6，则|xy|的最大值为()A4B2C1D0答案 A解析 不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示，令 zxy，则 yxz，当直线 yxz
12、经过点 B(2，2)时，直线的纵截距z 最小，|z|4，当直线过点 A(1，1)时，纵截距z 最大，|z|2，故选 A.3 (2019 安 徽 合 肥 第 三 次 质 检)若 直 线 y k(x 1)与 不 等 式 组 2yx4，3xy3，2xy2表示的平面区域有公共点，则实数 k 的取值范围是()A(，1B0,2C2,1D(2,2答案 B解析 画出不等式组2yx4，3xy3，2xy2表示的平面区域，如图中阴影部分所示，直线 yk(x1)过定点 A(1,0)，要使得直线 yk(x1)与不等式组2yx4，3xy3，2xy2表示的平面区域有公共点，则 0kkAC，kAC20012，k0,2故选 B
13、.4(2019河南重点高中 4 月联合质检)已知实数 x，y 满足约束条件 2xy40，y2，4xy40，则目标函数 z2y3x 的取值范围是()A203，52B203，52C5，52D5，52答案 A解析 作出约束条件2xy40，y0，y0，且 1x11y12，则 xy 的最小值为()A3B5C7D9答案 C解 析 由 x y (x 1)y 1 (x 1)y1 1 (x 1)y21x11y 122 yx1x1y134yx1x1y 7.当且仅当 x3，y4 时取得最小值 7.故选 C.7已知实数 x，y 满足条件xy20，x2y20，2xy20，若 zyax 取得最大值时的最优解有且只有一个，
14、则实数 a 的取值集合为()A2，1BaR|a2CaR|a1DaR|a2 且 a1答案 D解析 不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示由 zaxy 得 yaxz，若 a0，直线 yaxz 可化为 yz，此时取得最大值时的最优解有且只有一个满足条件若 a0，则直线 yaxz 的纵截距最大时，z 取得最大值，若 zyax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则 a2.若 a0，则直线 yaxz 的纵截距最大时，z 取得最大值，若 zyax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则 a1.故选 D.8设 0b(ax)2 的解集中的整数恰有 4个，则 ba1的取值范围为()A(3,4B(3,4)C(2,3
15、D(2,3)答案 A解析 整理不等式得(1a)xb(1a)xb0，因为整数解只有 4 个，且 1a0，可得 1a1.其解集为b1a，b1a，又 0b1a，所以 b1a1，欲使解集中的整数只有 4 个，则4 b1a3，所以 ba1(3,4二、填空题9若不等式 x2ax40 对一切 x(0,1恒成立，则 a 的取值范围是_答案 5，)解析 由题意得，ax4x，设 f(x)x4x，x(0,1，则只要af(x)max，由于函数 f(x)在(0,1上单调递增，所以 f(x)maxf(1)5，故 a5.10(2019河北衡水中学模拟)已知实数 x，y 满足x2y20，2xy40，yx1，且 mx3y4x1
16、，则实数 m 的取值范围为_答案 2,7解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示mx3y4x1x13y1x113y1x1，y1x1可看作(x，y)与(1，1)连线的斜率，观察图象可知，kPCy1x1kPB，即13y1x12，所以 2m7.11已知正数 a，b 满足 a2ab30，则 4ab 的最小值为_答案 6解析 因为正数 a，b 满足 a2ab30，所以 3a(ab)9，则 4ab3a(ab)2 3aab2 96，当且仅当 3aab 时等号成立此时由3aab，a2ab30，解得a1，b2，所以 4ab 的最小值为 6.12某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生
17、产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A，B 的利润之和的最大值为_元答案 216000解析 设生产产品 A，B 分别为 x，y 件，利润之和为 z 元，那么 1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，y0.目 标 函 数z 2100 x 900y，二 元 一 次 不 等 式 组 等
18、价 于 3xy300，10 x3y900，5x3y600，x0，y0.作出二元一次不等式组表示的平面区域如图中阴影部分将 z2100 x900y 变形，得 y73x z900，当直线 y73x z900经过点M 时，z 取得最大值解方程组10 x3y900，5x3y600，得点 M(60,100)所以当 x60，y100 时，zmax210060900100216000.故生产产品 A，B 的利润之和的最大值为 216000 元三、解答题13某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修
19、建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为 y 万元(1)试将 y 表示成 x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建 k 个增压站，则(k1)x240，即 k240 x 1.所以 y400k(k1)(x2x)400240 x 1 240 x(x2x)96000 x240 x160.因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，所以 0 x240.故 y 与 x 的函数关系是y96000 x240 x160(0 x240)(2)y96000
20、 x240 x160296000 x240 x160248001609440，当且仅当96000 x240 x，即 x20 时等号成立，此时 k240 x 124020 111.故需要修建 11 个增压站才能使 y 最小，其最小值为 9440 万元14(2019全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明：(1)1a1b1ca2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又 abc1，故有 a2b2c2abbccaabbccaabc1a1b1c.当且仅当 abc1 时，等号成立所以1a1b1ca2b2c2.(2)因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333 ab3bc3ca33(ab)(bc)(ca)3(2 ab)(2 bc)(2 ca)24.当且仅当 abc1 时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.本课结束
