1、考点二十三 不等式选讲 第一部分 刷考点A卷 解答题1已知函数 f(x)|x1|x2|.(1)求不等式2f(x)2|mn|.解(1)依题意，f(x)|x1|x2|3，x2，2x1，2x1，3，x1，由22x10，解得12x12，故 A12，12.(2)证明：m，nA，由(1)可知，m214，n20，所以|14mn|24|mn|2，故|14mn|2|mn|.2已知 f(x)|x2|xa|.(1)当 a4 时，解不等式 f(x)1；(2)当 a4 时，求直线 yx2 与函数 f(x)的图象围成的平面图形的面积解(1)当 a4 时，f(x)|x2|x4|1，x2x42，x2x41，4x2，x2x42
2、 或32x2，所以不等式 f(x)1 的解集为32，.(2)直线 yx2 与函数 f(x)的图象围成的平面图形如图中阴影部分所示，易求得 A(4,2)，B(0，2)，C(2，2)，所以阴影部分的面积S12(20)2(2)4.3已知函数 f(x)|x4|x1|3.(1)求不等式 f(x)2 的解集；(2)若直线 ykx2 与函数 f(x)的图象有公共点，求 k 的取值范围解(1)由 f(x)2，得x1，22x2 或1x4，02或x4，2x82，解得 0 x5，故不等式 f(x)2 的解集为0,5(2)f(x)|x4|x1|322x，x1，0，1x4，2x8，x4，作出函数 f(x)的图象，如图所
3、示，直线 ykx2 过定点 C(0，2)，当此直线经过点 B(4，0)时，k12；当此直线与直线 AD 平行时，k2.故由图可知，k(，2)12，.4(2019河北石家庄二模)设函数 f(x)|x2|2xa|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)当 f(x)|xa2|时，求实数 x 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x2|2x1|3x3，x12，x1，12x2，3x3，x2，不等式 f(x)3 可化为3x33，x12或x13，12x4 时，x 的取值范围为 2xa2.5(2019河南八市联考)已知函数 f(x)m|x1|.(1)若 m1，求不等式 f(x)x21 的
4、解集；(2)当 x(0,1)时，不等式 f(x)m1 恒成立，求 m 的取值范围解(1)由题意，不等式|x1|x21，可得x21x1x21，即x2x20，x2x0，解得 x1 或 x0，所以不等式的解集为x|x1 或 x0(2)因为 0 x1，所以 f(x)m(1x)，即 m(1x)m1 在 0 x0，即 m1x，又因为 g(x)1x在(0,1)是增函数，所以 g(x)1，所以 m1.6(2019广东潮州二模)已知 f(x)2|x2|x1|.(1)求不等式 f(x)6 的解集；(2)设 m，n，p 为正实数，且 mnpf(3)，求证：mnnppm12.解(1)当 x2 时，f(x)2x4x13
5、x3，由 f(x)6，3x36，x3，即 2x3.当1x2 时，f(x)42xx15x，由 f(x)6，5x1，即1x2.当 x1 时，f(x)42x1x33x，由 f(x)6，33x1，无解，综上，不等式 f(x)6 的解集为(1,3)(2)证明：f(x)2|x2|x1|，f(3)6，mnpf(3)6，且 m，n，p 为正实数，(mnp)2m2n2p22mn2mp2np36，m2n22mn，m2p22mp，n2p22np，m2n2p2mnmpnp，(mnp)2m2n2p22mn2mp2np3(mnmpnp)，又 m，n，p 为正实数，mnnppm12.B卷 解答题1(2019湖南长郡中学一模
6、)已知函数 f(x)|xa|2x1|.(1)当 a1 时，求 f(x)2 的解集；(2)若 f(x)|2x1|的解集包含集合12，1，求实数 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x1|2x1|，f(x)2|x1|2x1|2，可化为x12，1x12x2或12x1，1x2x12或x1，x12x12，解得 x12，x0或12x1，x2或x1，x43，0 x12或12x1 或 1x43，原不等式的解集为x0 x43.(2)f(x)|2x1|的解集包含集合12，1，当 x12，1 时，不等式 f(x)|2x1|恒成立，即|xa|2x1|2x1|在 x12，1 上恒成立，|xa|2x12x1，即
7、|xa|2，2xa2，x2ax2 在 x12，1 上恒成立，(x2)maxa(x2)min，1a52，a 的取值范围是1，52.2(2019河南许昌、洛阳第三次质检)已知 f(x)|x1|，g(x)2|x|a.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)若存在 x0R 使得 f(x0)g(x0)成立，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时原不等式可化为|x1|2|x|1，设(x)|x1|2|x|x1，x1，3x1，1x0，x1，x0，则x1，x11 或1x0，3x11 或x0，x11.即23x2.原不等式的解集为23，2.(2)若存在 x0R 使得 f(x0)g(x0)成立，等
8、价于|x1|2|x|a 有解，由(1)即(x)a 有解，即 a(x)max，由(1)可知，(x)在(，0)单调递增，在0，)单调递减(x)max(0)1，a1.3已知函数 f(x)3|xa|3x1|，g(x)|4x1|x2|.(1)求不等式 g(x)6 的解集；(2)若存在 x1，x2R，使得 f(x1)和 g(x2)互为相反数，求 a 的取值范围解(1)g(x)3x3，x2，5x1，214.当 x2 时，3x31，此时无解，当2x14时，5x175，即7514时，3x36，解得 x3，即14x3.综上，g(x)6 的解集为x75x0)(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)函
9、数 f(x)的最小值为 m，求证：m51m3m2.解(1)当 a1 时，f(x)|2x1|x12 0，即|2x1|x12，两边平方可得(2x1)2x122，解得 x32，16.故原不等式的解集为32，16.(2)证明：f(x)xa 12a，xa2，3xa 12a，a2 12a，所以 f(x)在，a2 上为减函数，在a2，上为增函数，f(x)的最小值 mfa2 a2 12a 2a2 12a1，当且仅当a2 12a即 a1 时取等号所以 m310，m210，所以 m51(m3m2)m3(m21)1m2(m31)(m21)0.所以 m51m3m2.5(2019安徽皖南八校第三次联考)已知函数 f(x
10、)|3x2|2x3|.(1)求不等式 f(x)x 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)2a2a 恰有 3 个整数解，求实数 a 的取值范围解(1)由题意，函数 f(x)|3x2|2x3|，得 f(x)x1，x23，5x5，23xx，所以当 x23时，x1x，即 x12；当23xx，即54xx，即 x32.所以不等式 f(x)x 的解集为，12 54，.(2)由(1)知 f(x)的单调减区间为，23，单调增区间为23，又 f(2)1，f(1)0，f(0)1，f(1)0，f(2)3，所以 02a2a1，所以1a12或 0a12，故 a 的取值范围为1，12 0，12.6已知函数 f(x)m
11、|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，cR，且1a 12b 13cm，求证：a2b3c9.解(1)因为 f(x2)m|x|，所以 f(x2)0 等价于|x|m.由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1.(2)证明：由(1)知1a 12b 13c1，又 a，b，cR，所以 a2b3c(a2b3c)1a 12b 13c1 a2b a3c2ba 12b3c3ca 3c2b13 a2b2ba a3c3ca 2b3c3c2b32a2b2ba 2a3c3ca 22b3c3c2b9，当且仅当 a3，b32，c1 时等号成立本课结束
