1、课时分层作业(八)(建议用时:40分钟)一、选择题1.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()ABCDD以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略),设AB1.则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),(0,1,2),(1,0,2),cos,异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.2在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1,AB1,BC2,AA13,则点B到直线A1C的距离为()A B C D1B过点B作BE垂直A1C,垂足为E,设点E的
2、坐标为(x,y,z),则A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),(1,2,3),(x,y,z3),(x1,y,z)因为,所以,解得,所以,所以点B到直线A1C的距离|.3已知长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB3,E为线段AB上一点,且AEAB,则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为()A B CDA以D为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则C(0,3,0),E(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,3,1),D(0,0,0),(0,3,1),(1,1,1),(0,3,1),设平面D1EC的法向量为n(x,y,z),则可
3、得平面D1EC的一个法向量为n(2,1,3),所以DC1与平面D1EC所成角的正弦值为sin cos,n.4如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为()A BCDC以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示:则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0)E为AB的中点,(1,1,1),(1,2,0),(1,0,1)设平面ACD1的法向量为n(a,b,c),则,即,可得可取n(2,1,2)点E到面ACD1的距离为d.5.如图所示,
4、已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,且PA平面ABCD,PAADAC,点F为PC的中点,则二面角CBFD的正切值为()A BCDD如图所示,设AC与BD交于点O,连接OF.以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1,则BD,所以O(0,0,0),B,F,C,易知为平面BDF的一个法向量,由,可得平面BCF的一个法向量为n(1,)所以cosn,sinn,所以tann,.故二面角CBFD的正切值为.二、填空题6若直线l的方向向量a(2,3,1),平面的一个法向量n(4,0,1),则直线l与平面所成角的正弦值为_由题意,得直线l与平
5、面所成角的正弦值为.7在空间直角坐标系中,定义:平面的一般方程为AxByCzD0(A,B,C,DR,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面的距离d,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离等于_作出正四棱锥PABCD,如图,以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(1,1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),设平面PAB的方程为AxByCzD0,将以上3个坐标代入计算得A0,BD,CD,所以平面PAB的方程为DyDzD0,即2yz20,所以点O到侧面的距离d.8.如图,已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC,C
6、C1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD的夹角的正弦值为_以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示则A(1,0,0),E,D1(0,0,1),(1,0,1),.设平面AEFD1的一个法向量为n(x,y,z),则x2yz.取y1,则n(2,1,2)又平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1),cosn,u,sinn,u.三、解答题9.如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA14,AB2,BAD60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点(1)证明:MN平面C1DE;(2)求面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值解(1)连接
7、B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且MEB1C.又因为N为A1D的中点,所以NDA1D.由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面EDC1,所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,DE为y轴正方向,DD1为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,2),N(1,0,2),(0,0,4),(1,2),(1,0,2),(0,0)设m(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则所以可取m(,1,0)设n(p,
8、q,r)为平面A1MN的法向量,则所以可取n(2,0,1)于是cosm,n,所以面AMA1与面MA1N的夹角的正弦值为.10.如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABCD,ADCD1,BAD120,ACB90.(1)求证:BC平面PAC;(2)若二面角DPCA的余弦值为,求点A到平面PBC的距离解(1)证明:PA底面ABCD,BC平面ABCD,PABC,ACB90,BCAC,又PAACA,BC平面PAC.(2)设APh,取CD的中点E,则AECD,AEAB.又PA底面ABCD,PAAE,PAAB,故建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,h),C,D,B(0,2,
9、0),(0,1,0),设平面PDC的法向量n1(x1,y1,z1),则即取x1h,n1.由(1)知平面PAC的一个法向量为,|cosn1,|,解得h,同理可求得平面PBC的一个法向量n2(3,2),所以,点A到平面PBC的距离为d.11(多选题)如图,ABCDA1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60ABC以D为坐标原点,分别以,所在方向为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体棱长为1,则可以证明AC1面CB1D1,可以作为面CB1D1的法向量,C正确(1,1,0),(1,1,1)
10、,110,BD面CB1D1即AB正确又(1,0,0),(1,0,1),cos,AD与CB1所成的角为45,D错,故应选ABC.12.如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12,ABBC1,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是()A BCDC建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2)设点P的坐标为(0,2),0,1,点Q的坐标为(1,0),0,1,|PQ|,当且仅当,时,线段PQ的长度取得最小值,为.13(一题两空)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PD平面ABCD且PDAD1,AB2
11、,点E是线段AB上一点,当面PEC与面ABCD的夹角为时,AE_,这时,点D到面PEC的距离为_2设AEa(0a2),以点D为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略),则D(0,0,0),E(1,a,0),C(0,2,0),P(0,0,1),则(1,a,1),(0,2,1),设平面PEC的法向量为m(x,y,z),则,即,令y1,可得x2a,z2,则m(2a,1,2),易知平面DEC的一个法向量为(0,0,1),则|cosm,|,解得a2或2(舍去),所以AE2.这时,平面PEC的法向量可以取(,1,2),又因(0,0,1)点D到平面PEC的距离为d.14在
12、空间中,已知平面过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a0),如果平面与平面xOy的夹角为45,则a_.平面xOy的法向量为n(0,0,1),设平面的法向量为u(x,y,z),则即3x4yaz,取z1,则u.而cosn,u,又a0,a.15.如图,在三棱台DEFABC中,AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点(1)求证:BD平面FGH;(2)若CF平面ABC,ABBC,CFDE,BAC45,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小解(1)法一:连接GD,CD,设CDGFO,连接OH.在三棱台DEFABC中,AB2DE,G为AC的中点,可得DFGC,DFGC,所
13、以四边形DFCG为平行四边形,则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OHBD,又OH平面FGH,BD平面FGH,所以BD平面FGH.法二:在三棱台DEFABC中,由BC2EF,H为BC的中点,可得 BHEF,BHEF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BEHF,在ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GHAB,又GHHFH,所以平面FGH平面ABED,因为 BD平面ABED,所以 BD平面FGH.(2)设AB2,则CF1,在三棱台DEFABC中,G为AC的中点,由DFACGC,可得 四边形DGCF为平行四边形,因此DGFC,又FC平面ABC,所以DG平面ABC,在ABC中,由ABBC,BAC45,G是AC中点,所以ABBC,GBGC,因此GB,GC,GD两两垂直,以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz,所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,0),D(0,0,1)可得H,F(0,1)故,(0,1),设n(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n(1,1,),因为是平面ACFD的一个法向量,(,0,0)所以cos,n.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.