1、椭圆考试要求1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.若ac，则集合P为椭圆；若ac，则集合P为线段；若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybb
2、xbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内.(2)点P(x0，y0)在椭圆上.(3)点P(x0，y0)在椭圆外.2焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形设r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：(1)当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；(2)，当
3、|y0|b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)ac|PF1|ac.(4)|PF1|aex0，|PF2|aex0.(5)当PF2x轴时，点P的坐标为.(6)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .3椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2b2c2.4已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.5椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆1(ab0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有，即.6弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|x1x2| (k为直线的斜率)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)
4、(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)关于x，y的方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10D依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1D设
5、椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e，所以解得故椭圆C的标准方程为1.3若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_(3,4)(4,5)由已知得解得3k5且k4.4已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_或设P(xP，yP)，xP0，由题意知|F1F2|2.则SPF1F2|F1F2|yP|1，解得|yP|1.代入椭圆的方程，得1，解得xP，因此点P的坐标为或.第1课时椭圆及其性质 考点一椭圆的定义及其应用 椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆(2)应用定义转化：涉及
6、焦半径的问题，常利用|PF1|PF2|2a实现等量转换(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题 典例1(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)如图，椭圆1(a2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若F1PF260，那么PF1F2的面积为()A. B. C. D.(3)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最小值为_(1)D(2)D(3)5
7、(1)设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.(2)由题意知|PF1|PF2|2a，|F1F2|24a216，由余弦定理得4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即4a216(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，SPF1F2|PF1|PF2|sin 60，故选D.(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|PF2|10，则|PM|PF1|PM|(10|PF2|)|PM|PF2|10|F2M|10(当且仅当点P，M，F2三
8、点共线时等号成立)又F2(3,0)，则|F2M|5.|PM|PF1|5，即|PM|PF1|的最小值为5.点评：解答本例T(3)的关键是差式(|PM|PF1|)转化为和式(|PM|PF2|10)而转化的依据为|PF1|PF2|2a.1已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1D由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的轨迹方程为1，故选D.2已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点
9、，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b_.3法一：设|PF1|r1，|PF2|r2，则 所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.法二：PF1PF2，F1PF290，SPF1F2b2tan 459，b29，b3. 考点二求椭圆的标准方程 待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤典例2(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_(2)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(3,0)，且离心率e，则椭圆的标准方程为_(1)1(2)1(3)1或1(1)设椭圆
10、方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方程为1.(2)法一：椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24，所求椭圆的标准方程为1.法二：所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，则1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.(3)若焦点在x轴上，由题知a3，因为椭圆的离心率e，所以c，b2，所以椭圆方程是1.若焦点在y轴上，则b3，a2c29，又离心率e，解得a2，所以椭圆方程是1.点评：利用待定
11、系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为()A.y21 B.1C.1 D.1D由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以a3.因为椭圆的离心率e，所以c2，所以b2a2c25，所以椭圆C的方程为1，故选D.2(2020通州模拟)设椭圆的对称
12、轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为_，离心率为_1或1焦点与椭圆的最短距离为ac，a2c，c，a2，b3，椭圆方程为1或1.离心率e. 考点三椭圆的几何性质 (1)求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：直接求出a，c，利用离心率公式e求解由a与b的关系求离心率，利用变形公式e求解构造a，c的齐次式离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路将所求问题用椭圆上点的坐标表示，
13、利用坐标范围构造函数或不等关系将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围椭圆中的基本量a，b，c典例31嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆有四个结论：焦距长约为300公里长轴长约为3988公里两焦点坐标约为(150,0)离心率约为则上述结论正确的是()AB CDC设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径
14、约为3 4761 738，ac1001 7381 838，ac4001 7382 138，2a1 8382 1383 976，a1 988，c2 1381 988150，椭圆的离心率约为e，可得结论正确，错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以错误故选C.点评：探求椭圆的长轴、短轴、焦距等问题，只要抓住题设中的信息，直译解方程即可离心率典例32(1)(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1B2C D1(2)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率的取值范
15、围是_(1)D(2)(1)由题设知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故椭圆C的离心率e1.故选D.(2)若存在点P，则圆x2y2c2与椭圆有公共点，则F1BF290(B为短轴端点)，即bca，即b2c2，a2c2c2，a22c2，e1.点评：与几何图形有关的离心率问题，常借助勾股定理、正(余)弦定理求解；对于(2)这种探索性问题常采用临界点法求解与椭圆有关的最值(范围问题)典例33(1)(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB120，则m的取
16、值范围是()A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)(2)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2B3 C6D8(1)A(2)C(1)由题意知，当M在短轴顶点时，AMB最大如图1，当焦点在x轴，即m3时，a，b，tan tan 60，0m1. 图1 图2如图2，当焦点在y轴，即m3时，a，b，tan tan 60，m9.综上，m的取值范围(0,19，)，故选A.(2)由题意知，O(0,0)，F(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2y2x.又1，y23x2，x2x3(x2)22.2x2，当x2时，
17、有最大值6.点评：本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x的有界性解模的思路1已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A8B7 C6D5A因为椭圆1的长轴在x轴上，所以 解得6m10.因为焦距为4，所以c2m210m4，解得m8.2(2020攀枝花模拟)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为()A. B. C.1 D.1B由题意，F1(c,0)，F2(c,0)，因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，c)，将点P坐标代入1可得：1，整理得4c48a2c2a40，所以4e48e210，因0e1，故e.
