1、数 列 失分点 15 忽视 n 的范围致误例 1已知数列an的首项为 a13，通项 an 与前 n 项和 Sn 之间满足 2anSnSn1(n2)(1)求证：1Sn是等差数列，并求其公差；(2)求数列an的通项公式错解(1)anSnSn1，2(SnSn1)SnSn1，1Sn 1Sn112，数列1Sn是等差数列，并且 d12.(2)由(1)知1Sn是等差数列，且公差 d12，1S1 1a113，1Sn13(n1)(12)53n6，Sn653n，anSnSn118(3n5)(3n8).找准失分点在(1)问中，anSnSn1 应写上条件 n2.漏掉 n2 即为不规范在第(2)问中，错误在于没有讨论
2、n1 的情况失分原因与防范措施 anSnSn1只有在n2时才能成立解题时往往忽视 n2 的条件致误解关于由 Sn求 an 的题目时，按两步讨论，可避免出错当 n1时，a1S1；当 n2 时，anSnSn1.检验 a1 是否适合由求的解析式，若符合，则统一，若不符合，则用分段函数表达：anS1 (n1)SnSn1(n2).正解(1)当 n2 时，2(SnSn1)SnSn1，两端同除以SnSn1，得1Sn 1Sn112，根据等差数列的定义，知1Sn是等差数列，且公差为12.(2)由第(1)问的结果可得1Sn13(n1)(12)，即 Sn653n.当 n1 时，a13；当 n2 时，anSnSn11
3、8(3n5)(3n8).所以 an3 (n1)，18(3n5)(3n8)(n2).变式训练 1已知等比数列an中，a2、a3、a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 a112，公比 q1.(1)求数列an的通项公式；(2)已知数列bn满足：a1b1a2b2anbn2n1(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)由已知得 a2a32(a3a4)，从而得 2q23q10，解得 q12或 q1(舍去)，所以 an(12)n.(2)当 n1 时，a1b11，b12；当 n2 时，a1b1a2b2an1bn1anbn2n1，a1b2a2b2an1bn12n3，两式相减得
4、 anbn2，bn2n1.因此 bn2，n1，2n1，n2.当 n1 时，SnS1b12；当 n2 时，Snb1b2bn28(12n1)122n26.综上，Sn2n26.失分点 16 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例2 已知四个数成等比数列，其积为 1，第二项与第三项之和为32，求这四个数错解设这四个数为 aq3、aq1、aq、aq3，显然 q2 为公比由题意得a41，a(1qq)32.由得 a1，代入得1qq32.|1qq|2，此题无解找准失分点这四个数的设法错误失分原因与防范措施因为本题的设法使数列公比为q2.这就限制了公比只能大于 0，从而导致错误.在解决本类问题时，一定要考虑到公比
5、为 1 和不为 1 的情况，公比为正和为负的情况，即根据题意，对公比进行讨论.正解 方法一(1)当所求等比数列的各项同号时，由上述解法知，此时无解(2)当所求等比数列的各项异号时，设这个数列的前四项依次为 aq3、aq1、aq、aq3，则有a41，a(q1q)32，得a1，aq232qa0.把 a1 代入，得 q232q10，解得 q12或 q2；把 a1 代入，得 q232q10，解得 q12或 q2.综上，可求得四个数为：8、2、12、18或18、12、2、8.方法二 设这四个数为 a、aq、aq2、aq3，则由题意知：a4q61，aq(1q)32，得a2q31，a2q2(1q)294.把
6、 a2q21q代入，得 q214q10，此方程无解；把 a2q21q代入，得 q2174 q10，解此方程得 q14或 q4.当 q14时，a8；当 q4 时，a18.所以这四个数为：8、2、12、18或18、12、2、8.变式训练 2已知 f(x)x3x1，数列an满足 a113，an1f(an)(nN*)(1)求证：数列1an是等差数列；(2)记 Sn(x)xa1x2a2xnan(x0)，求 Sn(x)(1)证明 由已知得 an1an3an1，1an13an1an3 1an，1an11an3.1an是首项为 3，公差为 3 的等差数列(2)解 由(1)得 1an33(n1)3n，Sn(x)
7、3x6x29x33nxn.当 x1 时，Sn(1)3693n3(n1)n2；当 x1 时，Sn(x)3x6x29x33nxn，故 xSn(x)3x26x33(n1)xn3nxn1，则(1x)Sn(x)3x3x23xn3nxn1，故 Sn(x)3x3(n1)xn13nxn2(1x)2.综上所述，当 x1 时，Sn(1)32n(n1)(nN*)；当 x1 时，Sn(x)3x3(n1)xn13nxn2(1x)2(nN*)失分点 17 忽视等比数列中的隐含条件致误例 3各项均为实数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S1010，S3070，则 S40 等于()A150 B200C150 或200
8、 D400 或50错解C找准失分点数列 S10，S20S10，S30S20，S40S30 的公比 q100.忽略了此隐含条件，就增加了增解200.失分原因与防范措施构造的新数列 S10、S20-S10，S30-S20、S40-S30的公比 r=q100.由 S10+（S20-S10）+（S30-S20）=S30=70 得 10+10r+10r2=70，即 r2+r-6=0，r=2 或 r=-3.由于 r=-3 没有舍去，从而出现错误.在解决类似问题时，注意挖掘隐含条件，或先判断数列的特征，可避免类似错误.正解 记 b1S10，b2S20S10，b3S30S20，b4S30S40，b1，b2，b
9、3，b4 是以公比为 rq100 的等比数列b1b2b31010r10r2S3070，r2r60，r2，r3(舍去)，S10b1b2b3b410(124)12150.故选 A.变式训练 3已知数列1，a1，a2，4 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列求a2a1b2的值解 1，b1，b2，b3，4 成等比数列，b22(1)(4)4.又 b2 与1，4 同号，b22.又1，a1，a2，4 成等差数列，2a1a21,2a2a14，2a22a1a1a23，即 3(a2a1)3，a2a11，a2a1b212.失分点 18 对数列的递推关系转化不当致误例 4已知函数 f(x)2xx1，数列a
10、n满足 a123，an1f(an)，bn an1an，nN*，求数列bn的通项公式错解f(x)2xx1，an1f(an)2anan1，an1anan12an0，an(an12)an10.找准失分点本解法不能进行下去的关键是递推关系转化不当，痛失此题失分原因与防范措施本解法失分的关键是递推关系转化不当，是由将分式化为整式的思维定势造成的.解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化.掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率.an+1=qan+10 形式可用待定系数法：an+1+=q(an+)；形式可用取倒数法；观察法，如 namaannn1.2)1(1)11(22221nana
11、anannnn正解 f(x)2xx1，an1f(an)2anan1，1an112 12an.1an1112(1an1)，又 bn an1an，1bn1an1，1bn112 1bn，bn12bn，又 b1 a11a12，bn是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列bn2n.变式训练 4已知函数 f(x)满足：对任意的 xR，x0，恒有 f(1x)x 成立，数列an、bn满足 a11，b11，且对任意 nN*，均有 an1 anf(an)f(an)2，bn1bn1an.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求数列an、bn的通项公式解(1)令 t1x，则 t0，f(1x)x，f(t)1t(t0)，即 f(x)1x(x0)(2)f(an)1an，an1 anf(an)f(an)211an2an2an1，1an1 1an2，即 1an1 1an2.1an是以 1 为首项，公差为 2 的等差数列 1an12(n1)2n1，an12n1.又 bn1bn1an2n1，bnbn12n3，bn1bn22n5，bn2bn32n7，b3b23，b2b11，bnb1135(2n3)(12n3)(n1)2n22n1，bnn22n2.返回
