1、第2课四种命题和充要条件【自主学习】第2课 四种命题和充要条件(本课时对应学生用书第34页)自主学习回归教材1. (选修2-1P8习题1改编)命题：“若x21，则-1x1”的逆否命题是.【答案】若x1或x-1，则x212. (选修2-1P7练习改编)命题“若x0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为.【答案】2【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x20，则xAC，则CB”的否命题为命题.(2)命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题为命题.【答案】(1)真(2)假4. (选修2-1P9习题4(2)改编)“sin =sin ”是“=”的(从“充分不必要”“必要不充
2、分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.【答案】必要不充分5. (选修2-1P20习题改编)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的条件，p是q的条件.【答案】充要必要【解析】qsrq，所以r是q的充要条件；qsrp，所以p是q的必要条件.1. 记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p”，逆否命题为“若非q则非p”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数.2. 对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作pq，称p是q的充分条件，q是p的必
3、要条件；当它是假命题时，记作p/ q，称p是q的非充分条件，q是p的非必要条件.3. (1)若pq，且q/ p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p/ q，且qp，则p是q的必要不充分条件；(3)若pq，且qp，则p是q的充要条件，记作pq；(4)若p/ p，且q/ p，则p是q的既不充分也不必要条件.4. 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).【要点导学】要点导学各个击破命题真假的判断例1在ABC中，已知命题p：若C=60，则sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C.(1)求证：命题p是真命题.(2)写出命题p
4、的逆命题，判断逆命题的真假，并说明理由.【思维引导】(1)利用正弦定理将待证式转化为a2+b2-ab=c2，然后利用余弦定理即证；(2)分清命题p的条件与结论，正确地对原命题的条件和结论进行互换或否定.【解答】设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)因为C=60，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos 60，即c2=a2+b2-ab.由正弦定理=，得sin2C=sin2A+sin2B-sin Asin B，故命题p是真命题.(2)命题p的逆命题：在ABC中，若sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，则C=60.它是真命题.证明如下：由sin2A+sin2B
5、-sin Asin B=sin2C和正弦定理得c2=a2+b2-ab.而由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，得cos C=.因为0C180，所以C=60.【精要点评】对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.变式给出以下四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q-1，则x2+x+q=0有实数根”的逆否命题；若a+b是偶数，则整数a，b都是偶数.其中真命题是.(填序号)【答案】【解析】显然正确；不全等的三角形的面积不相等，故不正确；原命题正确，所以它的逆否命题也
6、正确；若a+b是偶数，则整数a，b都是偶数或都是奇数，故不正确.【精要点评】对命题真假的判断，真命题要加以论证；假命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式.在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系，要注意四种命题之间的真假关系，原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.因此，四种命题中真命题的个数只能是0，2或4.充要条件的判断例2从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个.(1)(2015泰安期末)已知aR，则“a2a”是“a1”的条件； (2)(2015保定期末)若集合A=0，1，B=-1，a2，则“AB=1”是“a=1”的条
7、件.【思维引导】(1)求出不等式a2a的解集为(0，1)，然后根据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断.(2)判断充要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足；若由结论能推出条件，则必要性满足.【答案】(1)充分不必要(2)必要不充分【解析】(1)因为由a2a，可得0a1，所以“a2a”是“a1”的充分不必要条件.(2)若AB=1，则a2=1，a=1，所以充分性不满足，必要性满足，故“AB=1”是“a=1”的必要不充分条件.【精要点评】在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个是条件，哪个是结论；其次，要从两个方面即“充分性”与“必要性”分别考查.判定时，对于有
8、关范围的问题也可以从集合观点看，如p，q对应的范围为集合A，B，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A，B互为充要条件.变式从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”中选填一个.(1)“x=2k+(kZ)”是“tan x=1”的 ；(2)“”是“”的 ；(3)“m|an|(nN*)”是“数列an为递增数列”的；(5)“函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-，+)上单调递增”是“m对任意的x0恒成立”的 .【思维引导】判定p是q的什么条件，实际上就是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，这部分内容经常与其他知识点相结合考查.【
9、答案】(1)充分不必要条件(2)充分不必要条件(3)必要不充分条件(4)充分不必要条件(5)充要条件【解析】(1)因为x=2k+(kZ)tan x=1，但反过来不一定成立，即tan x=1x=k+(kZ).(2)因为x2，y2，根据不等式的性质易得x+y4，xy4，但反过来不一定成立，如x=，y=24.(3)一元二次方程x2+x+m=0有实数解m，因为mm|an|(nN*)，所以当n2时，an0，即当n2时，an+1an.若a10，有a2|a1|=a1；若a1a1显然成立，充分性得证.当数列an为递增数列时，设an=，则a2|a1|不成立.(5)函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-，+)
10、上单调递增f(x)=3x2+4x+m0恒成立=16-12m0m.m对任意x0恒成立m，又=，所以m.【精要点评】在判断时注意反例的应用；在判断“若p则q”较繁琐时，可以利用它的逆否命题“若非q则非p”，判断其是否正确；有时将某些条件转化为与它等价的条件再与另一条件进行判断会更简单 .结合充要条件求参数例3已知集合M=x|x5，P=x|(x-a)(x-8)0.(1)求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要不充分条件.【思维引导】求a的取值范围使它成为M
11、P的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a的取值范围.【解答】(1)由MP=x|5x8，得-3a5，因此MP=x|5x8的充要条件是-3a5.(2)即在集合a|-3a5中取一个值，如取a=0，此时必有MP=x|5x8；反之，MP=x|5x8未必有a=0，故a=0是所求的一个充分不必要条件.(3)即求一个集合Q，使a|-3a5是集合Q的一个真子集.如果a|a5，那么未必有MP=x|5x8，但是MP=x|50成立的充分不必要条件是xa，则实数a的取值范围是.【答案】1，+)【解析】由不等式x-0，得0，得-1x1.由充分不必要条件的含义可知x|xa为不等式解集的真子集，进而得到a1.充
12、要条件的证明例4已知a，b，c都是实数，求证：方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.【思维引导】证明充分性，由“ac0”推出“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，证明必要性是由“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”推出“ac0”，主要根据判别式、一元二次方程的根与系数的关系进行论证.【解答】设原方程的两根分别为x1，x2.充分性：由ac0，且x1x2=0.故方程ax2+bx+c=0有一正一负两个实根.所以ac0，x20，则x1x20，即0，所以a，c异号，即ac0.故ac0是原方程有一正一负两个实根的必要条件.综上，ac0是原方程有一正一负两个实
13、根的充要条件.【精要点评】充要条件的证明应注意：(1)一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性.(2)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论.变式设数列an，bn，cn满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2(n=1，2，3，)，求证：数列an为等差数列的充要条件是数列cn为等差数列且bnbn+1(n=1，2，3，).【解答】必要性：设an是公差为d1的等差数列，则bn+1-bn=(an+1-an+3)-(an-an+2)=(an+1-an)-(an+3-an+2)=d1-d1=0，所以bnbn+1(n=1，2，3，)成立.又c
14、n+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1，2，3，)，所以数列cn为等差数列.充分性：设数列cn是公差为d2的等差数列，且bnbn+1(n=1，2，3，).因为cn=an+2an+1+3an+2，所以cn+2=an+2+2an+3+3an+4，-，得cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+1+3bn+2.因为cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2，所以bn+2bn+1+3bn+2=-2d2，从而有bn+1+2bn+
15、2+3bn+3=-2d2，-，得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0.因为bn+1-bn0，bn+2-bn+10，bn+3-bn+20，所以由得bn+1-bn=0(n=1，2，3，).由此不妨设bn=d3(n=1，2，3，)，则an-an+2=d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2cn=4an+2an+1-3d3，从而cn+1=4an+1+2an+2-3d3，两式相减得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3，因此an+1-an=(cn+1-cn)+d3=d2+d3(常数)(n=1，2，3，)，所以数列an为等差数列.综上，数列an为等差
16、数列的充要条件是cn为等差数列且bnbn+1(n=1，2，3，).1.(2014安徽卷)“x0”是“ln(x+1)0”的 条件.【答案】必要不充分【解析】由ln(x+1)0，得01+x1，所以-1x0，而(-1，0)是(-，0)的真子集，所以“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件.2.(2015安徽卷)若p：1x1，则p是q的(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.【答案】充分不必要【解析】由q：2x1=20，解得x0，所以pq，但q/ p，所以p是q的充分不必要条件.3.(2015南通模考)已知集合M=x|x-20，N=x|xa，若“xM”是“
17、xN” 的充分条件，则实数a的取值范围是.【答案】2，+)【解析】由题意得M=x|x-20=x|x2，因为“xM”是“xN”的充分条件，所以MN，所以a2.4.求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0m.【解答】充分性：因为0m0，且0，所以方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根.必要性：若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则有所以0mb，则a+1b”的逆否命题是.2(2014启东中学模拟)若使“x1”与“xa”恰有一个成立的充要条件为x|0x1”是“lo(x+2)0”的(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中
18、选填一个)条件.4设集合S=0，a，T=xZ|x20不成立”是真命题，则实数a的取值范围是.6设nN*，则一元二次方程x2-4x+n=0有整数解的充要条件是n=.7已知p：|x|a，q：0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.8(2015郑州质检)给定方程：+sin x-1=0，有下列命题：该方程没有小于0的实数解；该方程有无数个实数解；该方程在(-，0)内有且只有一个实数解；若x0是方程的实数解，则x0-1其中正确的命题是.(填序号)二、 解答题 9(2014惠州一模)已知集合A=，B=x|x+m21.若p：xA，q：xB，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围.10设a，b，c
19、为ABC的三边的长度，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c211已知函数f(x)=4sin2-2cos 2x-1，且p：x，xR.若q：-2f(x)-m2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围.三、 选做题12已知集合A=x|x2+2x-30，B=x|(x-2a)x-(a2+1)0.若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.13(2015黄山质检)在平面直角坐标系中，定义P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题：已知P(2，3)，Q(sin2，c
20、os2)两点，则d(P，Q)为定值；原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)的最小值为；若PQ表示P，Q两点间的距离，那么PQd(P，Q).其中为真命题的是.(填序号)【检测与评估答案】第2课四种命题和充要条件1若a+1b，则ab20【解析】由题意可得 或 成立的充要条件为x|0x1，所以a=0.3充分不必要【解析】lo(x+2)1x-1，故“x1”是“lo(x+2)0不成立”是真命题，则有a=0或解得a-3，0.6 3或4【解析】由x2-4x+n=0，得(x-2)2=4-n，即x=2.因为nN*，方程有整数解，所以n=3或4，故当n=3或4时方程有整数解.7 (-，0)【
21、解析】由p：|x|aq：0x1因为p是q的必要不充分条件，所以q中不等式的解集是p中不等式解集的子集，所以a-1，故正确.(第8题)9由y=x2-x+1，配方得y=+.因为x，所以ymin=，ymax=2，即y，所以A=.由x+m21，得x1-m2，B=x|x1-m2.因为p是q的充分条件，所以AB，所以1-m2，解得m或m-.故实数m的取值范围是.10设m是两个方程的公共根，显然m0.由题设知m2+2am+b2=0，m2+2cm-b2=0，由+得2m(a+c+m)=0，所以m=-(a+c)，将代入得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0，化简得a2=b2+c2，所以所给的两个方程有公共根的必
22、要条件是a2=b2+c2下面证明充分性.因为a2=b2+c2，所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0，它的两个根分别为x1=-(a+c)，x2=c-a.同理，方程x2+2cx-b2=0的两个根分别为x3=-(a+c)，x4=a-c.因为x1=x3，所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述，方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c211由q可得因为p是q的充分条件，所以在x的条件下，恒成立.由已知得f(x)=2-2cos 2x-1=2sin 2x-2cos 2x+1=4sin+1.由x，知2x-
23、，所以34sin+15.故当x=时，f(x)max=5；当x=时，f(x)min=3.所以只需成立，即3m5.所以m的取值范围是(3，5).12【解析】因为集合A=x|x2+2x-30=x|-3x1，B=x|2axa2+1.因为“xA”是“xB”的充分不必要条件，所以AB，所以且等号不能同时取得，解得a-，故实数a的取值范围是.13【解析】已知P(2，3)，Q(sin2，cos2)两点，则d(P，Q)=|2-sin2|+|3-cos2|=2-sin2+3-cos2=4，所以正确；设直线上任意一点为(x，x+1)，则原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)=|x|+|x+1|x+1-x|=1，即其最小值为1，所以错误；由基本不等式a2+b2(a+b)2得PQ=(|x1-x2|+|y1-y2|)=d(P，Q)，所以成立.综上所述，正确的命题为.
