1、2014-2015学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，填对得3分，否则一律得零分1（3分）已知集合A=0，2，则集合A的子集个数为2（3分）命题“末尾数是0的整数，可以被5整除”的逆命题是3（3分）已知实数a、b、x满足a=x2+1，b=x，则a与b的大小关系是ab4（3分）不等式的解集是5（3分）已知不等式ax2+bx20的解集是，则ab=6（3分）函数y=的定义域是7（3分）集合A=x|（a1）x2+3x2=0有且仅有两个子集，则a=8（3分）已知全集U=R，集合A=x|xa，Bx|1x2，且AUB=R，则实数a的取值范围是9（3
2、分）已知全集I=R，集合A=，则AB中所有元素的和是10（3分）不等式x22x+3a22a1在R上的解集是，则实数a的取值范围是11（3分）若0x1，则函数f（x）=的最小值是12（3分）若集合A1、A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆请回答集合A=1，2，3，的不同分拆有种二.选择题（本大题满分16分）本大题共有3题，选对得4分，否则一律得零分13（4分）下列各组函数是同一函数的是（）与； f（x）=x与；f（x）=x0与； f（x）=x22x1与g（t）=t22t1ABCD14（4分）已知
3、a，b，cR，下列给出四个命题，其中假命题是（）A若abc0，则acbcB若aR，则C若|a|b|，则a2b2D若a0，b0，则15（4分）若非空集合A，B，C满足AB=C，且B不是A的子集，则（）A“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C“xC”是“xA”的充要条件D“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件16（4分）下列四个命题中：a，bR，a+b2；y=的最小值为2；设x，y都是正整数，若=1，则x+y的最小值为16；若x，yR，0，|x2|，|y2|，则|xy|2其中所有真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个三解答题（本
4、大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（8分）已知A=x|x29，B=x|0，C=x|x2|4（1）求AB及AC；（2）若U=R，求AU（BC）18（10分）已知集合A=x|x26x+50，xR，B=x|x23ax+2a20，xR（1）若AB=，求实数a的取值范围；（2）若BA，求实数a的取值范围19（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为A，当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完（）写出年利润L（x）（万元）
5、关于年产量x（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20（10分）已知a， b，c（0，1）（1）求证：a+bab+1；（2）利用（1）的结论证明：a+b+cabc+2；（3）由（1）（2）写出推广的结论（不必证明）21（10分）已知关于x的不等式kx22x+6k0，（k0）（1）若不等式的解集为x|2x3，求实数k的值；（2）若不等式对一切2x3都成立，求实数k的取值范围；（3）若不等式的解集为集合x|2x3的子集，求实数k的取值范围2014-2015学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分36分）本大
6、题共有12题，填对得3分，否则一律得零分1（3分）已知集合A=0，2，则集合A的子集个数为4考点：子集与真子集 专题：集合分析：利用集合子集的定义写出集合的子集，求解即可解答：解：集合的子集有，0，2，0，2，共4个，故答案为：4点评：集合中有n个元素，子集数为2n，注意不要漏掉空集2（3分）命题“末尾数是0的整数，可以被5整除”的逆命题是可以被5整除的整数，末尾数是0考点：四种命题间的逆否关系 专题：简易逻辑分析：直接利用逆命题的定义写出结果即可解答：解：命题“末尾数是0的整数，可以被5整除”的逆命题是：可以被5整除的整数，末尾数是0故答案为：可以被5整除的整数，末尾数是0点评：本题考查四种
7、命题的逆否关系，基本知识的考查3（3分）已知实数a、b、x满足a=x2+1，b=x，则a与b的大小关系是ab考点：不等关系与不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用“作差法”和二次函数的单调性即可得出解答：解：，ab故答案为点评：熟练掌握“作差法”和二次函数的单调性是解题的关键4（3分）不等式的解集是（，0）（2，+）考点：其他不等式的解法 专题：分类讨论分析：根据x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，综上，得到所有满足题意的x的范围即为原不等式
8、的解集解答：解：当x0时，去分母得：x2，所以原不等式的解集为：（2，+）；当x0时，去分母得：x2，所以原不等式的解集为：（，0），综上，原不等式的解集为：（，0）（2，+）故答案为：（，0）（2，+）点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道基础题学生做题时注意在不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号要改变5（3分）已知不等式ax2+bx20的解集是，则ab=5考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：本题可以利用不等式的解集得到相应方程的根，利用根与系数的关系，求出a、b的值，得到ab的值，得到本题结论解答：解：不等式ax2+bx20的解集是，方程ax
9、2+bx2=0的两个根分别为是2、，且a0由韦达定理知：，ab=5故答案为：5点评：本题考查了不等式与方程的关系、一元二次方程根与系数的关系，本题难度不大，属于基础题6（3分）函数y=的定义域是x|x0，且x1考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据被开方数大于等于0，分母不为0，0的0次幂无意义，可得自变量x须满足，解不等式组可得函数的定义域解答：解：若使函数y=的解析式有意义，自变量x须满足解得x0且x1故函数的定义域为x|x0，且x1故答案为：x|x0，且x1点评：本题考查的知识点是的定义域及其求法，其中根据使函数解析式有意义的原则，构造不等式式是解答此类问题的关键7
10、（3分）集合A=x|（a1）x2+3x2=0有且仅有两个子集，则a=1或考点：根的存在性及根的个数判断；子集与真子集 专题：计算题分析：先把集合A=x|（a1）x2+3x2=0中有且仅有一个元素即是方程（a1）x2+3x2=0有且仅有一个根，再对二次项系数a1分等于0和不等于0两种情况讨论，即可找到满足要求的a的值解答：解：集合A=x|（a1）x2+3x2=0中有且仅有一个元素即是方程（a1）x2+3x2=0有且仅有一个根当a=1时，方程有一根x=符合要求；当a1时，=324（a1）（2）=0，解得a=故满足要求的a的值为1或故答案为：1或点评：本题主要考查根的个数问题当一个方程的二次项系数含
11、有参数，又求根时，一定要注意对二次项系数a1分等于0和不等于0两种情况讨论8（3分）已知全集U=R，集合A=x|xa，Bx|1x2，且AUB=R，则实数a的取值范围是a2考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：由全集R及B，求出B的补集，根据A与B补集的并集为R，确定出a的范围即可解答：解：全集U=R，B=x|1x2，UB=x|x1或x2，A=x|xa，A（UB）=R，a2，则a的取值范围为a2故答案为：a2点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键9（3分）已知全集I=R，集合A=，则AB中所有元素的和是2006或2007或2考点：并集及其运算 专题：集合
12、分析：首先化简集合B=2008，然后分A中有两个相等的实数根，B=2008A，A中有两个不相等的实数根，三种情况讨论解答：解：由题意可知B=2008，（1）若A中有两个相等的实数根，则A=1，此时AB=1，2008，所有元素之和为2007；（2）若B=2008A，则AB=A，由韦达定理可知，所有元素之和为2；（3）若A中有两个不相等的实数根，且BA，则由韦达定理可知，所有元素之和为2006故答案为：2006或2007或2点评：本题考查元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的灵活运用10（3分）不等式x22x+3a22a1在R上的解集是，则实数a的取值范围是a|1a3
13、考点：一元二次不等式的解法 专题：计算题分析：把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围解答：解：由x22x+3a22a1移项得：x22x+3a2+2a+10，因为不等式的解集为，所以=44（3a2+2a+1）0，即a22a30，分解因式得：（a3）（a+1）0，解得：1a3，则实数a的取值范围是：a|1a3故答案为：a|1a3点评：此题考查学生掌握二次函数与x轴有无交点的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是一道综合题11（3分）若0x1
14、，则函数f（x）=的最小值是18考点：基本不等式 专题：导数的综合应用分析：利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出解答：解：0x1，函数f（x）=+=，当f（x）0时，解得，此时函数f（x）单调递增；当f（x）0时，解得，此时函数f（x）单调递减令f（x）=0，解得x=当x=时，函数f（x）取得极小值即最小值18故答案为：18点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题12（3分）若集合A1、A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆请回答集合A=1，2，3，的不同分拆有27种
15、考点：子集与真子集 专题：新定义分析：考虑集合A1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法解答：解：A1= 时，A2=A，此时只有1种分拆；A1为单元素集时，A2=CUA1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；A1为双元素集时，例如A1=1，2，A2=3，1，3，2，3，1， 2，3，A1有三种情况，拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法，故答案为：27
16、点评：本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在二.选择题（本大题满分16分）本大题共有3题，选对得4分，否则一律得零分13（4分）下列各组函数是同一函数的是（）与； f（x）=x与；f（x）=x0与； f（x）=x22x1与g（t）=t22t1ABCD考点：判断两个函数是否为同一函数 专题：函数的性质及应用分析：确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案解答：解：f（x）=与y=的对应法则和值域不同，故不是同一函数=|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数f（x）=x0与都可化为y=1且定义
17、域是x|x0，故是同一函数f（x）=x22x1与g（t）=t22t1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数由上可知是同一函数的是故选C点评：本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据14（4分）已知a，b，cR，下列给出四个命题，其中假命题是（）A若abc0，则acbcB若aR，则C若|a|b|，则a2b2D若a0，b0，则考点：命题的真假判断与应用 专题：计算题分析：可以根据不等式的性质对四个结论逐一进行判断，判断命题真假，得到正确的结论解答：解：由不等式的性质可以判断（A）、（C）、（D）均为正确的，对于（B）可以令，可得t1或t1，f
18、（t）在（1，+）上单调递增，=3，故（B）错故选B点评：本题考查了不等式的一些性质，可以用排除法，也可以逐个判断，在判断（B）时构造函数，用导数法判断15（4分）若非空集合A，B，C满足AB=C，且B不是A的子集，则（）A“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C“xC”是“xA”的充要条件D“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：作图题分析：找出A，B，C之间的联系，画出韦恩图解答：解：xAxC，但是xC不能xA，所以B正确另外画出韦恩图，也能判断B选项正确故选B点评：此题较为简单，
19、关键是要正确画出韦恩图，再结合选项进行判断16（4分）下列四个命题中：a，bR，a+b2；y=的最小值为2；设x，y都是正整数，若=1，则x+y的最小值为16；若x，yR，0，|x2|，|y2|，则|xy|2其中所有真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个考点：命题的真假判断与应用 专题：不等式的解法及应用分析：，由基本不等式a，bR+，a+b2可知错误；，由t=知，y=t+在 ，+）上单调递增，ymin=+2，可判断；，依题意，对x，y的取值情况分类讨论，可判断；，利用绝对值不等式的性质可判断解答：解：对于，由基本不等式的条件a，bR+，a+b2可知，错误；对于，令t=，则y=t+在，+）
20、上单调递增，ymin=+2，故错误；对于，显然x1，整理得：，当x=2时，y=18，此时x+y=20；当x3时，x与x1互质，因此必然有x1是9的因数，故x1=3，9x=4，10，当x=4，y=12时，x+y=16；当x=10，y=10时，x+y=20故（x+y）min=16，是正确的对于，由|x2|，|y2|，则|x2|+|y2|2，又|x2|+|y2|（x2）（y2）|=|xy|，由|x2|+|y2|2，必然有（|x2|+|y2|）min2，即|xy|2，故正确故选：B点评：本题考查不等式的性质及应用，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题三解答题（本大题满分48分）本大题共
21、有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（8分）已知A=x|x29，B=x|0，C=x|x2|4（1）求AB及AC；（2）若U=R，求AU（BC）考点：交集及其运算；并集及其运算；交、并、补集的混合运算；绝对值不等式的解法 专题：计算题分析：（1）先将A、B、C化简，然后根据交集、并集、补集的定义求解注意正确求解相应的不等式，这是求解该题的关键（2）利用补集的定义，结合（1）问的求解，写出相应的集合，先求出U（BC），再利用交集的定义求出AU（BC）解答：解：由x29，得x3，或x3，A=x|x3，或x3又由不等式0，得1x7，B=x|1x7又由|x2|4，得2x6，C=x|2x6（1）AB
22、=x|3x7，如图（甲）所示AC=x|x3，或x2，如图（乙）所示（2）U=R，BC=x|1x6，U（BC）=x|x1或x6，AU（BC）=x|x6或x3点评：本题考查一元二次不等式，简单的分式不等式，含绝对值的不等式的解法，考查集合交并运算的求解，考查学生数形结合思想的运用18（10分）已知集合A=x|x26x+50，xR，B=x|x23ax+2a20，xR（1）若AB=，求实数a的取值范围；（2）若BA，求实数a的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题分析：（1）先求出集合A、B，由条件AB=，我们易构造出一个关于a的不等式，解此不等式即可得到实数a的取值范围（2）由BA，可
23、知集合B中的元素都是A中的元素，构造出一个关于a的不等式，解此不等式即可得到实数a的取值范围解答：解：A=（1，5），B=x|（xa）（x2a）0（1）10a0时，B=（a，2a），AB=，则或得或a52分，20a=0则B=满足题意 3分30a0，B=（2a，a）也满足题意 4分，综上所述，.5分（2）BA，则10a0，B=（a，2a），1a2a5，得；20a=0，B=满足题意综上所述，.8分点评：本题的考点是集合的包含关系判断及应用，主要考查集合的关系、集合的运算，同时考查一元二次方程与一元二次不等式之间的关系集合关系中的参数取值问题，其中根据已知条件，构造出关于a的不等式组，是解答本题的关
24、键本题是一个中档题目19（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为A，当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完（）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：函数最值的应用 专题：应用题；函数的性质及应用分析：（）分两种情况进行研究，当0x80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入成本，列出函数关系式，当x80时，投入成本为C（x）=51x+，根
25、据年利润=销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0x80时，利用二次函数求最值，当x80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案解答：解：（）每件商品售价为0.05万元，x千件商品销售额为0.051000x万元，当0x80时，根据年利润=销售收入成本，L（x）=（0.051000x）10x250=+40x250；当x80时，根据年利润=销售收入成本，L（x）=（0.051000x）51x+1450250=1200（x+）综合可得，L（x）=（）由（）可知，当0x80时，L（x）=+40x250=，当x=
26、60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；当x80时，L（x）=1200（x+）12002=1200200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元综合，由于9501000，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力20（10分）已知a，b，c（0，1）（1）求证：a+bab+1；（2）利用（1）的结论证明：a+b+cabc+2；（3）由（1）（2）写出推广的结论（不必证明）考点：不等式的证明 专题：证明题；不等式的解法及应用分析
27、：（1）利用作差法进行证明即可；（2）由（1）得：a+b+c（ab+c）+1abc+1+1=abc+2（3）猜想：一般地，若a1，a2，a3，an（0，1），则有a1+a2+a3+ana1a2a3an+（n1）解答：解：（1）a，b（0，1），a10，1b0，a+b（ab+1）=a（1b）（1b）（1b）=（a1）（1b）0，a+bab+1（2）a，b，c（0，1），ab（0，1），c（0，1），由（1）得：a+b+c（ab+c）+1abc+1+1=abc+2（3）猜想：一般地，若a1，a2，a3，an（0，1），则有a1+a2+a3+ana1a2a3an+（n1）点评：本题考查不等式的证明，
28、考查学生分析解决问题的能力，正确运用作差法是关键21（10分）已知关于x的不等式kx22x+6k0，（k0）（1）若不等式的解集为x|2x3，求实数k的值；（2）若不等式对一切2x3都成立，求实数k的取值范围；（3）若不等式的解集为集合x|2x3的子集，求实数k的取值范围考点：一元二次不等式的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系 专题：计算题分析：（1）不等式解集区间的端点就是相应方程的根，所以方程kx22x+6k=0的两根分别为2和3，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得实数k的值；（2）原命题等价于函数y=kx22x+6k的最大值小于0，从而得出，解之可得实数k的取值范围是（0，；（3）原命题题等价于不等式组：0或，先解0，结合k0得k，再对照的解集，可得符合条件的k的取值范围解答：解：（1）由已知得，2和3是相应方程kx22x+6k=0的两根且k0， k=（4分）（2）令f（x）=kx22x+6k，原问题等价于解得k，又k0实数k的取值范围是（0，（4分）（3）对应方程的=424k2，令f（x）=kx22x+6k，则原问题等价于0或由0解得k或k，又k0，k（2分）由解得k（3分）综上，符合条件的k的取值范围是，+）（1分）点评：本题考查了一元二次方程根与一元二次不等式的关系，属于中档题解题时应该注意求解过程中的分类讨论思想与数形结思想的运用
